3. 如图，画线段 $ AB $ 的垂直平分线交 $ AB $ 于点 $ O $，在这条垂直平分线上截取 $ OC = OA $，以 $ A $ 为圆心，$ AC $ 为半径画弧交 $ AB $ 于点 $ P $，则线段 $ AP $ 与 $ AB $ 的比是()。

A.$\sqrt{3} : 2$
B.$ 1 : \sqrt{3} $
C.$\sqrt{2} : \sqrt{3}$
D.$\sqrt{2} : 2$

3. D

4. 下列各组中的四条线段成比例的是()。

A.$ a = 1 $，$ b = 3 $，$ c = 2 $，$ d = 4 $
B.$ a = 4 $，$ b = 6 $，$ c = 5 $，$ d = 10 $
C.$ a = 2 $，$ b = 4 $，$ c = 3 $，$ d = 6 $
D.$ a = 2 $，$ b = 3 $，$ c = 4 $，$ d = 8 $

4. C

5. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AD $ 平分 $ ∠ BAC $，与 $ BC $ 边的交点为 $ D $，且 $ DC = \frac{1}{3}BC $，$ DE // AC $，与 $ AB $ 边的交点为 $ E $，若 $ DE = 4 $，则 $ BE $ 的长为。

5. 8

6. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ B = ∠ C = 36^{\circ} $，$ AB $ 的垂直平分线交 $ BC $ 于点 $ D $，交 $ AB $ 于点 $ H $，$ AC $ 的垂直平分线交 $ BC $ 于点 $ E $，交 $ AC $ 于点 $ G $，连接 $ AD $，$ AE $，则下列结论正确的有。(只填序号)
①$\frac{BD}{BC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$；②$ AD $，$ AE $ 将 $ ∠ BAC $ 三等分；③$ △ ABE ≌ △ ACD $；④$ S_{△ ADH} = S_{△ CEG} $。

6. ②③④

7. 【再读教材】
宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$(约为 $ 0.618 $)的矩形叫做黄金矩形。
下面，我们用宽为 $ 4 \mathrm{ cm} $ 的矩形纸片折叠一个黄金矩形。
第一步，在矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平。
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平。
第三步，折出内侧矩形的对角线 $ AB $，并把它折到图③中所示的 $ AD $ 处。
第四步，展平纸片，按照所得的 $ D $ 点折出 $ DE $，如图④。
【问题解决】
(1)图③中 $ AB =$(保留根号)。
(2)你发现图④中有几个黄金矩形？请都写出来，并选择其中一个说明理由。

7. 解：(1)$2\sqrt{5}$cm
(2)题图④中的黄金矩形：矩形$BCDE$和矩形$MNDE$。理由如下：
$\because AD = 2\sqrt{5}$，$AN = AC = 2$，
$\therefore CD = 2\sqrt{5} - 2$，$ND = 2\sqrt{5} + 2$，
$\therefore \frac{CD}{BC} = \frac{2\sqrt{5} - 2}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
故矩形$BCDE$是黄金矩形。
$\because \frac{MN}{ND} = \frac{4}{2\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，
故矩形$MNDE$是黄金矩形。