课前预习

序号 知识点 预习笔记
1 完全平
方公式 $(a+b)^2=$
;
$(a-b)^2=$
。
2 用完全平
方公式因
式分解 $^2+2ab+b^2=$
;
$a^2-2ab+b^2=$
。
困惑疑问:

1.$a^{2}+2ab+b^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}$ 2.$(a+b)^{2}$ $(a-b)^{2}$

【分析】
首先回忆完全平方公式的推导逻辑：两个数的和（或差）的平方，可通过多项式乘多项式的法则展开得到结果；而用完全平方公式因式分解是整式乘法的逆运算，即把符合完全平方结构的多项式转化为整式的平方形式。
1. 对于$(a+b)^2$和$(a-b)^2$，可通过多项式乘法展开后合并同类项得到结果；
2. 对于因式分解，需识别多项式是否符合“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”的结构，再逆用完全平方公式将其转化为乘积形式。
【解析】
1. 推导完全平方公式：
计算$(a+b)^2$：根据多项式乘法法则，$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$；
计算$(a-b)^2$：同理，$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$；
2. 逆用完全平方公式进行因式分解：
$a^2+2ab+b^2$是$(a+b)^2$的展开形式，因此分解为$(a+b)^2$；
$a^2-2ab+b^2$是$(a-b)^2$的展开形式，因此分解为$(a-b)^2$。
【答案】
1.$a^{2}+2ab+b^{2}$；$a^{2}-2ab+b^{2}$
2.$(a+b)^{2}$；$(a-b)^{2}$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式及其逆用，完全平方公式是整式乘法与因式分解的核心公式，要明确整式乘法和因式分解是互逆运算，需牢记公式的结构特征，注意和、差形式对应的符号差异，为后续代数变形运算打好基础。
【难度系数】
0.9

1.下列各式中,能用完全平方公式因式分解的是。(填序号)
①$x^2-10x+25$;②$4a^2+4a-1$;③$x^3-2x-1$;④$m^2-m+\frac{1}{4}$;⑤$4x^4-x^3+\frac{1}{4}$。

1.①④

【分析】
要判断一个式子能否用完全平方公式因式分解，需先明确完全平方公式的结构特征：式子必须是二次三项式，其中两项为非负的平方项（即某个数或整式的平方，且符号相同），第三项是这两个平方项底数乘积的2倍（可正可负）。接下来我们按以下步骤逐个分析：
1. 先判断式子的项数和次数，排除不符合二次三项式的选项；
2. 再检查是否存在两个同号的平方项；
3. 最后验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍。
【解析】
完全平方公式的标准形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，据此逐一分析：
① $x^2-10x+25$：$x^2=(x)^2$，$25=5^2$，$-10x=-2× x×5$，完全符合完全平方公式的结构，可分解为$(x-5)^2$，能用完全平方公式因式分解；
② $4a^2+4a-1$：$4a^2=(2a)^2$，但$-1$是负的平方项，与$4a^2$符号不同，不满足平方项同号的要求，不能用完全平方公式因式分解；
③ $x^3-2x-1$：该式是三次三项式，而完全平方公式仅适用于二次三项式，次数不符，不能用完全平方公式因式分解；
④ $m^2-m+\frac{1}{4}$：$m^2=(m)^2$，$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$，$-m=-2× m×\frac{1}{2}$，符合完全平方公式的结构，可分解为$(m-\frac{1}{2})^2$，能用完全平方公式因式分解；
⑤ $4x^4-x^3+\frac{1}{4}$：$4x^4=(2x^2)^2$，$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$，但中间项$-x^3$不是$2×2x^2×\frac{1}{2}=\pm2x^2$，次数和形式均不匹配，不能用完全平方公式因式分解。
综上，能用完全平方公式因式分解的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
完全平方公式因式分解、二次三项式结构特征
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，解题时需紧扣三个关键：式子为二次三项式、平方项同号、中间项是平方项底数乘积的2倍。学生需牢记公式细节，避免因忽略符号或次数问题判断失误。
【难度系数】
0.7

2.因式分解:
(1)$9a^2-6a+1=$;
(2)$a^2+ab+\frac{1}{4}b^2=$;
(3)$-a^2-2ab-b^2=$;
(4)$2x-1-x^2=$;
(5)$(x+y)^2+6(x+y)+9=$。
知识点2 因式分解的一般步骤

2.(1)$(3a-1)^{2}$ (2)$(a+\dfrac{1}{2}b)^{2}$ (3)$-(a+b)^{2}$
(4)$-(x-1)^{2}$ (5)$(x+y+3)^{2}$

【分析】
本题考查利用完全平方公式进行因式分解，解题思路如下：
1. 先回忆完全平方公式的两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；
2. 逐个分析每个式子：
对于(1)(2)(5)，直接观察式子是否符合完全平方公式的结构，找准公式中的“a”和“b”，其中(5)需要把$(x+y)$看作一个整体当作公式中的“a”；
对于(3)(4)，式子整体带有负号，先提取负号，将括号内的式子转化为符合完全平方公式的形式，再进行因式分解。
【解析】
(1) $9a^2-6a+1=(3a)^2 - 2×3a×1 +1^2$，符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（其中$a=3a$，$b=1$），因此分解为：$(3a-1)^2$；
(2) $a^2+ab+\frac{1}{4}b^2=a^2 + 2×a×\frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2$，符合完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（其中$a=a$，$b=\frac{1}{2}b$），因此分解为：$(a+\frac{1}{2}b)^2$；
(3) $-a^2-2ab-b^2=-(a^2+2ab+b^2)$，括号内的式子$a^2+2ab+b^2$符合完全平方和公式，即$(a+b)^2$，因此分解为：$-(a+b)^2$；
(4) $2x-1-x^2=-(x^2-2x+1)$，括号内的式子$x^2-2x+1$符合完全平方差公式，即$(x-1)^2$，因此分解为：$-(x-1)^2$；
(5) 令$m=x+y$，则原式变为$m^2+6m+9=m^2+2×m×3+3^2$，符合完全平方和公式$(m+3)^2$，将$m=x+y$代回，得到：$(x+y+3)^2$。
【答案】
(1)$(3a-1)^{2}$；(2)$(a+\dfrac{1}{2}b)^{2}$；(3)$-(a+b)^{2}$；(4)$-(x-1)^{2}$；(5)$(x+y+3)^{2}$
【知识点】
完全平方公式因式分解，整体思想，提公因式法
【点评】
本题围绕完全平方公式展开因式分解，重点考查对公式结构的识别能力，部分题目需要通过提取负号、整体代换的方式转化为可利用公式的形式，既巩固了完全平方公式的应用，也训练了灵活转化式子的思维，是因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.7

(1)该多项式中(填“有”或“没有”)公因式;
(2)若有公因式,提取公因式,另一个因式是,此因式(填“能”或“不能”)用公式法进行因式分解,原多项式因式分解的结果是。
因此,因式分解的一般步骤是:
①多项式的各项有除1外的公因式时,首先用法进行因式分解。
②再考虑能否用法进行分解。
③因式分解,必须分解到每个多项式的所有因式都不能再分解为止。

Ⅱ.(1)有 (2)$-x$ $x^{2}-2x+1$ 能 $-x(x-1)^{2}$
①提公因式 ②公式法

【分析】
首先，判断多项式是否有公因式，需观察各项是否存在共同的因式，通过分析可知该多项式各项存在公因式，所以第一问填“有”。接着提取公因式$-x$后，得到另一个因式$x^2 - 2x + 1$，这个因式符合完全平方公式的形式，因此可以用公式法继续分解，进而得到原多项式因式分解的最终结果。对于因式分解的一般步骤，要遵循先提公因式，再用公式法，直到每个因式都不能再分解的原则。
【解析】
(1) 观察多项式的各项，发现各项含有共同的因式，因此填“有”。
(2) 提取公因式$-x$：
假设原多项式为$-x^3 + 2x^2 - x$，提取公因式$-x$可得：
$-x^3 + 2x^2 - x = -x(x^2 - 2x + 1)$
其中$x^2 - 2x + 1$符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（$a=x$，$b=1$），能分解为$(x-1)^2$，所以原多项式因式分解的结果是$-x(x-1)^2$。
① 当多项式的各项有除1外的公因式时，首先使用提公因式法进行因式分解；
② 提公因式后，再考虑能否用公式法继续分解。
【答案】
(1) 有 (2)$-x$ $x^{2}-2x+1$ 能 $-x(x-1)^{2}$
①提公因式 ②公式法
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题围绕因式分解的步骤展开，考查了公因式的判断、提公因式法和公式法的应用，明确了因式分解需分解到每个因式都不能再分解的要求，有助于学生掌握因式分解的完整流程。
【难度系数】
0.6

3.已知 $a+b=3,ab=2$,求代数式 $a^3b+2a^2b^2+ab^3$ 的值为()。

A.6
B.18
C.28
D.50

3.B

【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现可通过因式分解将其转化为用已知条件$a+b$和$ab$表示的形式。第一步先提取公因式$ab$，得到$ab(a^2+2ab+b^2)$，括号内的式子符合完全平方公式，可变形为$(a+b)^2$，这样所求代数式就转化为$ab(a+b)^2$，最后代入已知的$a+b=3$，$ab=2$计算即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}a^3b+2a^2b^2+ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
当$a+b=3$，$ab=2$时，代入上式：
$ab(a+b)^2=2×3^2=2×9=18$
【答案】
B
【知识点】
因式分解、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题主要考查因式分解的应用及代数式求值，解题关键是通过因式分解将所求代数式转化为含有已知条件的形式，利用整体代入法简化计算，体现了转化思想的应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8