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10. 如图,AB= AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD= ∠ACE.求证:BD= CE.
答案
∵ AD⊥AE,AB⊥AC,
∴ ∠DAE=∠BAC=90°,
∴ ∠DAE - ∠BAE=∠BAC - ∠BAE,
∴ ∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中,∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠ABD=∠ACE,
∴ △ABD≌△ACE(ASA),
∴ BD=CE
11. 如图,AB= AC,BD= CD,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F.求证:DE= DF.
]
]
答案
连接AD. 在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD(SSS),
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ DE⊥AE,DF⊥AF,
∴ ∠E=∠F=90°. 在△AED和△AFD中,∠E=∠F,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴ △AED≌△AFD(AAS),
∴ DE=DF
∴ △ABD≌△ACD(SSS),
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ DE⊥AE,DF⊥AF,
∴ ∠E=∠F=90°. 在△AED和△AFD中,∠E=∠F,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴ △AED≌△AFD(AAS),
∴ DE=DF
12. 如图,在△ABC中$,l_1$是AB的垂直平分线$,l_2$是AC的垂直平分线$,l_1$与$l_2$交于点O,则点O在 ( )
A.∠A的平分线上
B.BC的垂直平分线上
C.边BC的中线上
D.边BC的高上
A.∠A的平分线上
B.BC的垂直平分线上
C.边BC的中线上
D.边BC的高上
答案
B
解析
∵$l_1$是AB的垂直平分线，
∴$OA=OB$。
∵$l_2$是AC的垂直平分线，
∴$OA=OC$。
∴$OB=OC$。
∴点O在BC的垂直平分线上。
B
13. 如图,依据尺规作图的痕迹,可得∠α的度数为______.
答案
60°
14. 如图,∠AOE= 15°,OE平分∠AOB,DE//OB交OA于点D,EC⊥OB,垂足为C.若EC= 2,则OD的长为______.
答案
4
解析
过点E作EF⊥OA于点F。
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，EF⊥OA，
∴EF=EC=2。
∵∠AOE=15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOE=30°。
∵DE//OB，
∴∠ADE=∠AOB=30°。
在Rt△DEF中，∠EDF=30°，EF=2，
∴DE=2EF=4。
∵DE//OB，
∴∠DEO=∠EOB=∠AOE，
∴OD=DE=4。
4
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，EF⊥OA，
∴EF=EC=2。
∵∠AOE=15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOE=30°。
∵DE//OB，
∴∠ADE=∠AOB=30°。
在Rt△DEF中，∠EDF=30°，EF=2，
∴DE=2EF=4。
∵DE//OB，
∴∠DEO=∠EOB=∠AOE，
∴OD=DE=4。
4
15. 如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,G,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F,连接AD,AE.若△ADE的周长为13,DE= 2,则BC= ______.
答案
9
解析
∵DG是AC的垂直平分线，
∴AD=DC。
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=EB。
∵△ADE的周长为13，
∴AD+DE+AE=13。
∵DE=2，
∴AD+AE=13 - DE=13 - 2=11。
∵BC=BD+DE+EC，BD=BE - DE，EC=DC - DE，AD=DC，AE=EB，
∴BC=AE - DE + DE + AD - DE=AE + AD - DE=11 - 2=9。
9
16. (分类讨论思想)在△ABC中,AB= AC,O为平面上一点,且OB= OC.点A到BC的距离为8,点O到BC的距离为3,求AO的长.
答案
∵ AB=AC,
∴ 点A在线段BC的垂直平分线上.
∵ OB=OC,
∴ 点O也在线段BC的垂直平分线上,
∴ AO所在的直线即为线段BC的垂直平分线. 设直线AO与线段BC交于点M. 由题意,得AM=8,OM=3. 如图①,当点A,O在BC的同侧时,AO=AM - OM=8 - 3=5;如图②,当点A,O在BC的异侧时,AO=AM+OM=8+3=11. 综上所述,AO的长为5或11
