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1. 如图,在$6×6$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,请在给定网格中按下列要求画图并回答问题:
(1)在网格中画$△ ABC$,使$△ ABC$的三个顶点都在小正方形的格点上,$AB$、$BC$、$AC$三边的长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{8}$、$\sqrt{10}$.
(2)判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(3)求作点$P$,使$BP=CP$,且点$P$到$BA$、$BC$的距离相等.(保留作图痕迹)
(第1题图)
(1)在网格中画$△ ABC$,使$△ ABC$的三个顶点都在小正方形的格点上,$AB$、$BC$、$AC$三边的长分别为$\sqrt{2}$、$\sqrt{8}$、$\sqrt{10}$.
(2)判断$△ ABC$的形状,并说明理由.
(3)求作点$P$,使$BP=CP$,且点$P$到$BA$、$BC$的距离相等.(保留作图痕迹)
(第1题图)
答案
1. (1)如图,△ABC 即为所求.
(2)△ABC 是直角三角形.
理由:
∵ $AB=\sqrt{2},BC=\sqrt{8},AC=\sqrt{10}$,
∴ $AB^2+BC^2=AC^2$.
∴ $∠ABC=90°$.
∴ △ABC 是直角三角形.
(3)如图,点 P 即为所求.
2. 我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”。如图，大正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，AB = c，BE = a，AE = b(b＞a)。
(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$。
(2)若$Rt△ ABE$的面积为54，c=15，求小正方形EFGH的边长。
(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$。
(2)若$Rt△ ABE$的面积为54，c=15，求小正方形EFGH的边长。
答案
2. (1)
∵ 正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,AB = c,BE = a,AE = b(b＞a),
∴ $c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$.
整理,得 $a^2+b^2=c^2$.
(2)
∵ $Rt△ABE$ 的面积为 54,$c=15$,
∴ $\frac{1}{2}ab=54$,$a^2+b^2=c^2=15^2=225$.
∴ $ab=108$.
∴ 小正方形 EFGH 的面积
$=(b-a)^2$
$=a^2+b^2-2ab$
$=225-2×108=9$.
∴ 小正方形 EFGH 的边长为 3.
∵ 正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,AB = c,BE = a,AE = b(b＞a),
∴ $c^2=4×\frac{1}{2}ab+(b-a)^2$.
整理,得 $a^2+b^2=c^2$.
(2)
∵ $Rt△ABE$ 的面积为 54,$c=15$,
∴ $\frac{1}{2}ab=54$,$a^2+b^2=c^2=15^2=225$.
∴ $ab=108$.
∴ 小正方形 EFGH 的面积
$=(b-a)^2$
$=a^2+b^2-2ab$
$=225-2×108=9$.
∴ 小正方形 EFGH 的边长为 3.
3. 我国古代有一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地。送行二步与人齐，五尺人高曾记。仕女家人争蹴，终朝笑语欢嬉。良工高士好奇，算出索长有几？”其大意为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板距离地面 $ PA = 1 $ 尺，将它向前水平推送10尺（即 $ P'C = 10 $ 尺）时，秋千踏板离地的距离 $ P'B $ 和身高5尺的人一样高（即 $ P'B = 5 $ 尺）。试问绳索有多长？”设秋千的绳索 $ OP $ 长为 $ x $ 尺，根据题意可列方程为 ______。
（第3题图）
（第3题图）
答案
3. $(x-4)^2+10^2=x^2$
