1.抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点的坐标分别为$(-1,0),(3,0)$，其形状及开口方向与抛物线$y=-2x^2$相同，则$y=ax^2+bx+c$的函数解析式为（）

A.$y=-2x^2 -x +3$
B.$y=-2x^2 +4x +5$
C.$y=-2x^2 +4x +8$
D.$y=-2x^2 +4x +6$

1.D

【分析】
解题时先明确两个关键条件：①抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，与$y=-2x^2$相同说明$a=-2$；②已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可选用交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1、x_2$为与x轴交点的横坐标）快速求解，也可将交点坐标代入一般式列方程组求解，最终化简为一般式对比选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$的形状及开口方向与$y=-2x^2$相同
∴ 二次项系数$a=-2$
∵ 抛物线与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$
∴ 设抛物线的交点式为$y=-2(x+1)(x-3)$
展开化简：
$y=-2(x^2-3x+x-3)$
$y=-2(x^2-2x-3)$
$y=-2x^2+4x+6$
即所求函数解析式为$y=-2x^2+4x+6$。
【答案】
D
【知识点】
二次项系数的意义；待定系数法求解析式；二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查二次项系数对抛物线的影响，以及利用交点式简化求解解析式的方法，熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景，能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.8

2.抛物线 $ y=2x^2 -4x +3 $ 关于x轴对称的抛物线对应的函数解析式为()

A.$ y=-2x^2 +4x -3 $
B.$ y=2x^2 +4x +3 $
C.$ y=2x^2 -4x -3 $
D.$ y=-2x^2 -4x +3 $

2.A 点拨:抛物线 $ y=ax^2+bx+c $ 关于x轴对称的抛物线对应的函数解析式为 $ y=-ax^2-bx-c $,关于y轴对称的抛物线对应的函数解析式为 $ y=ax^2-bx+c $.

【分析】
要解决抛物线关于x轴对称的解析式问题，可从坐标对称的规律入手：平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数。我们可以先设所求抛物线上任意一点的坐标，找到其在原抛物线上的对称点，代入原解析式整理即可得到结果；也可以直接使用二次函数关于x轴对称的解析式变化规律快速求解。
【解析】
方法一：利用坐标对称性质求解
设点$(x,y)$是所求抛物线上的任意一点，则该点关于x轴对称的点为$(x,-y)$，且该对称点在原抛物线$y=2x^2-4x+3$上。
将$x$、$-y$代入原抛物线解析式得：
$-y=2x^2-4x+3$
等式两边同时乘以$-1$，整理得：
$y=-2x^2+4x-3$
方法二：利用对称规律求解
二次函数$y=ax^2+bx+c$关于x轴对称的抛物线解析式为$y=-ax^2-bx-c$。
本题中原解析式$a=2$，$b=-4$，$c=3$，代入规律得：
$y=-2x^2-(-4)x+(-3)=-2x^2+4x-3$
综上，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.关于x轴对称的点的坐标特征
2.二次函数的对称变换
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数的轴对称变换，解题关键是掌握坐标对称的基本性质，也可直接记忆二次函数关于坐标轴对称的解析式变化规律，提升解题效率。
【难度系数】
0.8

3.在平面直角坐标系中,若将抛物线$y=2x^2 -4x +3$先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是()

A.$(-2,3)$
B.$(-1,4)$
C.$(1,4)$
D.$(4,3)$

3.D

【分析】
解题核心是抛物线平移时其顶点也会按照相同规则平移，所以首先需要将原抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，求出原抛物线的顶点坐标，再根据“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的平移规律，计算出两次平移后新抛物线的顶点坐标即可。
【解析】
1. 将原抛物线解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+3\\&=2(x^2-2x)+3\\&=2(x^2-2x+1-1)+3\\&=2[(x-1)^2-1]+3\\&=2(x-1)^2+1\end{aligned}$
由此可得原抛物线的顶点坐标为$(1,1)$。
2. 按平移规则计算新顶点坐标：
向右平移3个单位长度，横坐标加3：$1+3=4$；
向上平移2个单位长度，纵坐标加2：$1+2=3$。
因此平移后所得抛物线的顶点坐标为$(4,3)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数配方、二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数图象的平移性质，解题关键是抓住抛物线平移时顶点同步平移的特点，熟练掌握配方法求顶点坐标和“左加右减、上加下减”的平移规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 一跳水运动员从10米高跳台上跳下,他的高度h(米)与所用时间t(秒)的关系为$h=-5(t-2)(t+1)$,则他跳起秒达到最大高度,最大高度是米.

4. 0.5 11.25

【分析】
高度h与时间t的关系是二次函数，由于二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点对应函数的最大值，也就是运动员的最大高度，顶点的横坐标就是达到最大高度的时间。解题时可先将给出的交点式转化为一般式，用对称轴公式求顶点横坐标，再代入解析式求最大高度；也可直接利用交点式的两个零点求对称轴，再计算最值，注意时间t需符合非负的实际意义。
【解析】
解：方法1：转化为一般式求解
先展开函数解析式：
$h=-5(t-2)(t+1)=-5(t^2-t-2)=-5t^2+5t+10$
式中二次项系数$a=-5＜0$，抛物线开口向下，顶点处h取最大值。
根据二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-5$、$b=5$得：
$t=-\frac{5}{2×(-5)}=0.5$（秒）
将$t=0.5$代入原解析式求最大高度：
$h=-5×(0.5-2)×(0.5+1)=-5×(-1.5)×1.5=11.25$（米）
方法2：利用交点式性质求解
函数$h=-5(t-2)(t+1)$与t轴的交点为$t=2$和$t=-1$，二次函数对称轴为两个交点横坐标的中点，即：
$t=\frac{2+(-1)}{2}=0.5$（秒）
代入解析式计算得最大高度为11.25米。
【答案】
0.5；11.25
【知识点】
二次函数的最值；二次函数图象性质；二次函数交点式应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的最值应用，解题核心是明确开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，可灵活选择一般式或交点式的性质求解，属于二次函数基础应用题。
【难度系数】
0.7

1. 如图26－2－18，已知二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$的图象经过$A(2,0),B(0,-6)$两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与$x$轴交于点$C$，连接$BA$，$BC$，求$△ ABC$的面积.

1. 解:(1)把 $A(2,0),B(0,-6)$ 的坐标分别代入 $y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}-2+2b+c=0,\\c=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=4,\\c=-6.\end{cases}$
$\therefore y=-\frac{1}{2}x^2+4x-6$.
(2)
∵该抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{4}{2×(-\frac{1}{2})}=4$,
∴点C的坐标为$(4,0)$.
$\therefore AC=OC-OA=4-2=2$.
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· OB=\frac{1}{2}×2×6=6$.

【分析】
(1) 求二次函数解析式时，题目已经给出函数的一般式，且已知图象经过A、B两个点，我们采用待定系数法，将两点坐标分别代入函数表达式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可得到解析式。
(2) 求△ABC的面积时，首先需要确定点C的坐标：C是二次函数对称轴与x轴的交点，先利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出对称轴，即可得到C点坐标；接着观察△ABC的特征，边AC在x轴上，长度为C、A两点横坐标的差，AC边上的高为点B到x轴的距离（即OB的长度），最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把$A(2,0),B(0,-6)$的坐标分别代入$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-2+2b+c=0\\c=-6\end{cases}$
将$c=-6$代入第一个方程，解得$b=4$，
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+4x-6$。
(2) 对于二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+4x-6$，$a=-\frac{1}{2}$，$b=4$，
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-\frac{1}{2})}=4$，
$\because$ 点C是对称轴与x轴的交点，$\therefore C(4,0)$，
$\therefore AC=OC-OA=4-2=2$，
又$\because$ 点B坐标为$(0,-6)$，$\therefore$ 点B到x轴的距离为$OB=6$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· OB=\frac{1}{2}×2×6=6$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+4x-6$；(2) $6$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数对称轴；三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，核心考查待定系数法的应用、二次函数对称轴的计算，结合坐标特点求三角形面积，解题时注意结合图象分析线段长度，能简化计算过程。
【难度系数】
0.7

2.【分类讨论思想】在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$y=ax^2 - 2a^2x(a≠0)$。
(1)当$a=1$时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$是抛物线上的两点.若对于$x_1=3a$，$3≤x_2≤4$，都有$y_1＜y_2$，求$a$的取值范围.

2. 解:(1)把 $a=1$ 代入 $y=ax^2-2a^2x$,得 $y=x^2-2x=(x-1)^2-1$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$.
(2)抛物线的对称轴是直线 $x=-\frac{-2a^2}{2a}=a$.
分两种情况：
当$a＞0$时,如答图26-2-8①,
此时 $3a＜3$,解得 $a＜1$,
又$\because a＞0,\therefore 0＜a＜1$.

当$a＜0$时,如答图26-2-8②,
此时 $-a＞4$,解得 $a＜-4$,
又$\because a＜0,\therefore a＜-4$.
综上,$a$的取值范围为 $0＜a＜1$ 或 $a＜-4$.

【分析】
(1) 第一问求顶点坐标，可直接将a=1代入抛物线解析式，通过配方法转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标，也可利用顶点坐标公式计算。
(2) 第二问首先求出抛物线对称轴为直线$x=a$，二次函数的增减性由开口方向（即a的正负）决定，因此需分类讨论：
① 当$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴右侧y随x增大而增大，要使$x_1=3a$对应的$y_1$小于$3≤x_2≤4$对应的所有$y_2$，需保证区间$[3,4]$整体在$x=3a$右侧，列不等式求解即可；
② 当$a＜0$时抛物线开口向下，对称轴右侧y随x增大而减小，由抛物线对称性可知$y(3a)=y(-a)$，要使$y_1＜y_2$对$3≤x_2≤4$恒成立，需保证区间$[3,4]$整体在$x=-a$左侧，列不等式求解即可；最后合并两种情况的结果。
【解析】
(1) 把$a=1$代入$y=ax^2-2a^2x$，得：
$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
根据顶点式的性质，抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
(2) 抛物线的对称轴为直线：
$x=-\frac{-2a^2}{2a}=a$
分两种情况讨论：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，如答图①，
此时需满足$3a＜3$，解得 $a＜1$，结合$a＞0$，得$0＜a＜1$；

当$a＜0$时，抛物线开口向下，如答图②，
由对称性可知$y(3a)=y(-a)$，需满足$-a＞4$，解得$a＜-4$，结合$a＜0$，得$a＜-4$。
综上，$a$的取值范围为 $0＜a＜1$ 或 $a＜-4$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$\boxed{(1,-1)}$；
(2) $a$的取值范围为$\boxed{0＜a＜1}$或$\boxed{a＜-4}$。

【知识点】
1. 二次函数顶点坐标求解
2. 二次函数的增减性
3. 分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质的应用，解题的核心是结合开口方向和对称轴判断函数的增减性，需要注意分类讨论时不要遗漏$a＜0$的情况，是二次函数性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.6