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1. 如图，OA和OB是$\odot O$的半径，并且$OA ⊥ OB$，P是OA上任意一点，BP的延长线交$\odot O$于点Q，过点Q的$\odot O$的切线交OA的延长线于点R.求证：$RP=RQ$.
答案
如图,连结 OQ,
∵ RQ 是 $\odot O$ 的切线,
∴ ∠OQB+∠BQR = 90°.
∵ OA ⊥ OB,
∴ ∠OPB+∠B = 90°. 又
∵ OB = OQ,
∴ ∠OQB = ∠B.
∴ ∠PQR= ∠BPO= ∠RPQ.
∴ RP=RQ.
解析
【分析】
要证明$RP=RQ$，可通过“等角对等边”证明两条边所对的角相等，即证$∠ RPQ=∠ RQP$。已知$RQ$是圆的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此首先连接辅助线$OQ$得到直角，再结合$OA⊥ OB$的直角条件、同圆半径相等的性质，通过角的等量代换即可推出所需的等角关系。
【解析】
证明：如图，连结$OQ$，
∵ $RQ$是$\odot O$的切线，
∴ $OQ⊥ RQ$，即$∠ OQB+∠ BQR = 90°$。
∵ $OA ⊥ OB$，
∴ $∠ OPB+∠ B = 90°$。
又
∵ $OB = OQ$（同圆的半径相等），
∴ $∠ OQB = ∠ B$。
∴ $∠ BQR= ∠ OPB$，
又
∵ $∠ OPB=∠ RPQ$（对顶角相等），
∴ $∠ PQR= ∠ RPQ$，
∴ $RP=RQ$（等角对等边）。
【答案】
如图,连结 OQ,
∵ RQ 是 $\odot O$ 的切线,
∴ ∠OQB+∠BQR = 90°.
∵ OA ⊥ OB,
∴ ∠OPB+∠B = 90°. 又
∵ OB = OQ,
∴ ∠OQB = ∠B.
∴ ∠PQR= ∠BPO= ∠RPQ.
∴ RP=RQ.
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题是圆中线段相等证明的典型基础题，解题的关键是正确作出过切点的半径这条常用辅助线，结合切线性质、直角三角形两锐角互余、同圆半径相等的性质完成角的等量代换，即可快速求证。
【难度系数】
0.75
要证明$RP=RQ$，可通过“等角对等边”证明两条边所对的角相等，即证$∠ RPQ=∠ RQP$。已知$RQ$是圆的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此首先连接辅助线$OQ$得到直角，再结合$OA⊥ OB$的直角条件、同圆半径相等的性质，通过角的等量代换即可推出所需的等角关系。
【解析】
证明：如图，连结$OQ$，
∵ $RQ$是$\odot O$的切线，
∴ $OQ⊥ RQ$，即$∠ OQB+∠ BQR = 90°$。
∵ $OA ⊥ OB$，
∴ $∠ OPB+∠ B = 90°$。
又
∵ $OB = OQ$（同圆的半径相等），
∴ $∠ OQB = ∠ B$。
∴ $∠ BQR= ∠ OPB$，
又
∵ $∠ OPB=∠ RPQ$（对顶角相等），
∴ $∠ PQR= ∠ RPQ$，
∴ $RP=RQ$（等角对等边）。
【答案】
如图,连结 OQ,
∵ RQ 是 $\odot O$ 的切线,
∴ ∠OQB+∠BQR = 90°.
∵ OA ⊥ OB,
∴ ∠OPB+∠B = 90°. 又
∵ OB = OQ,
∴ ∠OQB = ∠B.
∴ ∠PQR= ∠BPO= ∠RPQ.
∴ RP=RQ.
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题是圆中线段相等证明的典型基础题，解题的关键是正确作出过切点的半径这条常用辅助线，结合切线性质、直角三角形两锐角互余、同圆半径相等的性质完成角的等量代换，即可快速求证。
【难度系数】
0.75
2. 已知:如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,连结CD.
(1)求证:PA//BC;
(2)求⊙O的半径及CD的长.
(1)求证:PA//BC;
(2)求⊙O的半径及CD的长.
答案
(1)如图,
∵ PA 是⊙O 的切线,
∴ ∠PAB=∠2(弦切角定理). 又
∵ AB = AC,
∴ ∠1 = ∠2,
∴ ∠PAB= ∠1.
∴ PA//BC.
(2)如图,连结 OA 交 BC 于点 G,则 OA ⊥ PA. 由(1)可知,PA // BC,
∴ OA ⊥ BC,
∴ G 为 BC 的中点.
∵ BC=24,
∴ BG=12. 又
∵ AB=13,
∴ AG=5.设⊙O 的半径为 R,则OG=OA-AG=R-5.在Rt△BOG 中,
∵ OB² = BG² + OG²,
∴ R² = 12² + (R-5)²,
∴ R = 16.9, OG = 11.9.
∵ BD 是⊙O 的直径,
∴ DC ⊥ BC.又
∵ OG ⊥ BC,
∴ OG//DC.
∵ 点 O 是 BD 的中点,
∴ DC=2OG=23.8.
解析
【分析】
(1) 要证PA//BC，可通过证明内错角相等推导：首先利用弦切角定理得到切线PA与弦AB的夹角∠PAB等于AB所对的圆周角∠2；再结合AB=AC的等腰三角形性质，得∠1=∠2，等量代换得∠PAB=∠1，即可证明两直线平行。
(2) 求⊙O半径：连接OA，由切线性质得OA⊥PA，结合PA//BC推出OA⊥BC，根据垂径定理得G是BC中点，先在Rt△ABG中用勾股定理算出AG长度；设半径为R，在Rt△BOG中利用勾股定理列方程求解即可得半径。求CD长：由BD是直径得∠BCD为直角，结合OG⊥BC可知OG是△BCD的中位线，因此CD=2OG，代入数据计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ PA是⊙O的切线，
∴ ∠PAB=∠2（弦切角定理），
又
∵ AB=AC，
∴ ∠1=∠2，
∴ ∠PAB=∠1，
∴ PA//BC。
(2) 解：连结OA交BC于点G，
∵ PA是⊙O的切线，A为切点，
∴ OA⊥PA，
由(1)知PA//BC，
∴ OA⊥BC，即G为BC的中点，
∵ BC=24，
∴ BG=12，
又
∵ AB=13，
在Rt△ABG中，AG=√(AB²-BG²)=√(13²-12²)=5，
设⊙O的半径为R，则OG=OA-AG=R-5，
在Rt△BOG中，OB²=BG²+OG²，
即R²=12²+(R-5)²，
解得R=16.9，
∴ OG=16.9-5=11.9，
∵ BD是⊙O的直径，
∴ DC⊥BC，
又
∵ OG⊥BC，
∴ OG//DC，
∵ O是BD的中点，
∴ DC=2OG=2×11.9=23.8。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ⊙O的半径为16.9，CD的长为23.8。
【知识点】
弦切角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，将圆的性质与三角形知识相结合，既考查了几何逻辑推理能力，也考查了方程思想在几何计算中的应用，需要熟练掌握圆的核心性质并灵活运用。
【难度系数】
0.65
(1) 要证PA//BC，可通过证明内错角相等推导：首先利用弦切角定理得到切线PA与弦AB的夹角∠PAB等于AB所对的圆周角∠2；再结合AB=AC的等腰三角形性质，得∠1=∠2，等量代换得∠PAB=∠1，即可证明两直线平行。
(2) 求⊙O半径：连接OA，由切线性质得OA⊥PA，结合PA//BC推出OA⊥BC，根据垂径定理得G是BC中点，先在Rt△ABG中用勾股定理算出AG长度；设半径为R，在Rt△BOG中利用勾股定理列方程求解即可得半径。求CD长：由BD是直径得∠BCD为直角，结合OG⊥BC可知OG是△BCD的中位线，因此CD=2OG，代入数据计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ PA是⊙O的切线，
∴ ∠PAB=∠2（弦切角定理），
又
∵ AB=AC，
∴ ∠1=∠2，
∴ ∠PAB=∠1，
∴ PA//BC。
(2) 解：连结OA交BC于点G，
∵ PA是⊙O的切线，A为切点，
∴ OA⊥PA，
由(1)知PA//BC，
∴ OA⊥BC，即G为BC的中点，
∵ BC=24，
∴ BG=12，
又
∵ AB=13，
在Rt△ABG中，AG=√(AB²-BG²)=√(13²-12²)=5，
设⊙O的半径为R，则OG=OA-AG=R-5，
在Rt△BOG中，OB²=BG²+OG²，
即R²=12²+(R-5)²，
解得R=16.9，
∴ OG=16.9-5=11.9，
∵ BD是⊙O的直径，
∴ DC⊥BC，
又
∵ OG⊥BC，
∴ OG//DC，
∵ O是BD的中点，
∴ DC=2OG=2×11.9=23.8。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ⊙O的半径为16.9，CD的长为23.8。
【知识点】
弦切角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，将圆的性质与三角形知识相结合，既考查了几何逻辑推理能力，也考查了方程思想在几何计算中的应用，需要熟练掌握圆的核心性质并灵活运用。
【难度系数】
0.65
