1. （2025·合肥模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB=AC，P为AC上一点，AP=AD，连结BP并延长，交边CD于点E。
（1）∠D+∠APE=；
（2）若∠BAC=60°，AB=9，CD=8，则BE的长为。

1. (1) $180°$
(2) $\frac{81}{8}$

【分析】
（1）首先根据角平分线性质得到相等角，结合已知的边相等条件证明△BAP和△CAD全等，得到∠D和∠APB相等，再利用邻补角和为180°的性质，即可推出∠D与∠APE的和。
（2）先由∠BAC=60°且AB=AC，判定△ABC为等边三角形得到BC的长度，再结合（1）的全等结论得到BP的长度，通过角度推导证明△PBC和△CBE相似，最后利用相似三角形对应边成比例计算BE的长度。
【解析】
（1）
∵AC平分∠BAD，
∴$∠ BAP=∠ CAD$。
在$△ BAP$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAP=∠ CAD \\AP=AD\end{cases}$
∴$△ BAP≌△ CAD(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ APB=∠ D$。
又
∵$∠ APB+∠ APE=180°$，
∴$∠ D+∠ APE=180°$。
（2）
∵$AB=AC$，$∠ BAC=60°$，
∴$△ ABC$是等边三角形，
∴$BC=AB=9$，$∠ ACB=60°$。
由（1）的全等结论可得$BP=CD=8$，$∠ ABP=∠ ACD$。
∵$∠ BPC$是$△ ABP$的外角，
∴$∠ BPC=∠ ABP+∠ BAC=∠ ABP+60°$，
又
∵$∠ BCE=∠ ACB+∠ ACD=60°+∠ ACD=60°+∠ ABP$，
∴$∠ BPC=∠ BCE$。
在$△ PBC$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ PBC=∠ CBE(\mathrm{公共角}) \\∠ BPC=∠ BCE\end{cases}$
∴$△ PBC∽△ CBE(\mathrm{AA})$，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BC}{BE}$，
代入$BP=8$，$BC=9$得：
$\frac{8}{9}=\frac{9}{BE}$，
解得$BE=\frac{81}{8}$。
【答案】
(1) $180°$；(2) $\frac{81}{8}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形综合题，解题的关键是先通过全等转换边角关系，再结合角度推导找到相似三角形，利用相似的性质求解线段长度，对学生的逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

2. 如图,已知在$△ ABC$中,$BE$平分$∠ ABC$交$AC$于点$E$,点$D$在$BE$延长线上,且$BA · BC = BD · BE$.
(1)求证:$△ ABD ∽ △ EBC$;
(2)求证:$AD^2 = BD · DE$.

2. (1) $\because BE$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ EBC.\because BA · BC=BD · BE$,即$\frac{AB}{BE}=\frac{BD}{BC},\therefore △ ABD ∽ △ EBC.$
(2) $\because △ ABD ∽ △ EBC, \therefore ∠ BAD = ∠ BEC, ∠ ADB = ∠ BCE.$
$\because ∠ AED = ∠ BEC, \therefore ∠ BAD = ∠ AED.$ 又 $\because ∠ ADE = ∠ BDA,$
$\therefore △ AED ∽ △ BAD,\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD},$即$AD^2=BD · DE.$

【分析】
(1) 要证明△ABD∽△EBC，首先利用角平分线的性质得到一组对应角相等，再将已知的乘积式转化为比例式，即可通过“两边对应成比例且夹角相等”判定两个三角形相似。
(2) 要证明等积式$AD^2 = BD · DE$，先将其转化为比例式$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}$，可知需证△AED∽△BAD。先借助第一问的相似结论得到角相等，再结合对顶角相等、公共角相等的条件，通过“两角分别相等”判定两个三角形相似，最后由相似三角形的对应边成比例即可推导出待证等积式。
【解析】
(1) 证明：
∵BE平分$∠ABC$，
∴$∠ABD=∠EBC$，
∵$BA · BC = BD · BE$，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BD}{BC}$，
在△ABD和△EBC中，
$\begin{cases} \frac{AB}{BE}=\frac{BD}{BC} \\ ∠ABD=∠EBC \end{cases}$
∴$△ABD ∽ △EBC$。
(2) 证明：
∵$△ABD ∽ △EBC$，
∴$∠BAD = ∠BEC$，
∵$∠AED$与$∠BEC$是对顶角，
∴$∠AED = ∠BEC$，
∴$∠BAD = ∠AED$，
又
∵$∠ADE = ∠BDA$（公共角），
在△AED和△BAD中，
$\begin{cases} ∠ADE=∠BDA \\ ∠AED=∠BAD \end{cases}$
∴$△AED ∽ △BAD$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}$，
即$AD^2=BD · DE$。
【答案】
(1) 已证$△ABD ∽ △EBC$；
(2) 已证$AD^2 = BD · DE$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用类题目，第一问直接结合已知条件即可证明相似，第二问需要利用前一问的结论推导角的等量关系，解题时要注意乘积式和比例式的灵活转化，掌握相似三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.6