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1. ★★★（2025·潍坊中考）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色.在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是 
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
1. C
解析
【分析】
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路如下：①先计算所有等可能的涂色结果总数：每个方格有2种颜色可选，3个方格涂色是分步完成的，用分步乘法计数原理可算出总情况数；②再计算满足“相邻两个方格颜色不同”的情况数：第一个方格有2种选择，第二个方格需和第一个颜色不同，仅1种选择，第三个方格需和第二个颜色不同，仅1种选择，同样用分步乘法计数原理算出符合条件的情况数；③最后根据古典概型的概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”代入计算即可得到结果。
【解析】
解：每个方格有红、蓝2种颜色可选，3个方格的所有等可能涂色结果总数为：
$2×2×2=8$（种）
接下来分析相邻两个方格颜色不同的情况：
第一个方格可任选颜色，有2种选择；第二个方格要和第一个方格颜色不同，只有1种选择；第三个方格要和第二个方格颜色不同，只有1种选择，因此符合条件的情况数为：
$2×1×1=2$（种）
根据古典概型概率公式，相邻两个方格所涂颜色不同的概率为：
$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
C
【知识点】
古典概型，分步计数原理，概率计算
【点评】
本题是基础概率应用题，解题的核心是准确计数总情况数和符合要求的情况数，既可以用枚举法列出所有情况，也可以用分步乘法原理快速计算，主要考查对概率基本概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路如下：①先计算所有等可能的涂色结果总数：每个方格有2种颜色可选，3个方格涂色是分步完成的，用分步乘法计数原理可算出总情况数；②再计算满足“相邻两个方格颜色不同”的情况数：第一个方格有2种选择，第二个方格需和第一个颜色不同，仅1种选择，第三个方格需和第二个颜色不同，仅1种选择，同样用分步乘法计数原理算出符合条件的情况数；③最后根据古典概型的概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”代入计算即可得到结果。
【解析】
解：每个方格有红、蓝2种颜色可选，3个方格的所有等可能涂色结果总数为：
$2×2×2=8$（种）
接下来分析相邻两个方格颜色不同的情况：
第一个方格可任选颜色，有2种选择；第二个方格要和第一个方格颜色不同，只有1种选择；第三个方格要和第二个方格颜色不同，只有1种选择，因此符合条件的情况数为：
$2×1×1=2$（种）
根据古典概型概率公式，相邻两个方格所涂颜色不同的概率为：
$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
C
【知识点】
古典概型，分步计数原理，概率计算
【点评】
本题是基础概率应用题，解题的核心是准确计数总情况数和符合要求的情况数，既可以用枚举法列出所有情况，也可以用分步乘法原理快速计算，主要考查对概率基本概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
2. ★★★ (2024·东营中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，从①$AC=BD$，②$AC ⊥ BD$，③$AB=BC$，这三个条件中任意选取两个，能使$□ ABCD$是正方形的概率为 (
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
A
)A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
答案
2. A
解析
【分析】
解题需分两步进行：第一步先确定从3个条件中任选2个的总等可能情况数，第二步结合正方形的判定定理，筛选出能使平行四边形ABCD成为正方形的有效情况数，最后根据古典概型的概率公式（概率=有效情况数÷总情况数）计算结果即可。首先明确：正方形是同时具备矩形、菱形特征的特殊平行四边形，条件①“AC=BD”是平行四边形为矩形的判定依据，条件②“AC⊥BD”和③“AB=BC”是平行四边形为菱形的判定依据，因此选取的两个条件需要同时包含矩形判定条件和菱形判定条件，才能推出平行四边形为正方形。
【解析】
从三个条件中任选2个，共有3种等可能的选取结果：①②、①③、②③，逐一判断：
1. 选①②：已知四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，则ABCD是矩形，又AC⊥BD，因此矩形ABCD是正方形，符合要求；
2. 选①③：已知四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，则ABCD是矩形，又AB=BC，因此矩形ABCD是正方形，符合要求；
3. 选②③：已知四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD或AB=BC都只能推出ABCD是菱形，无法判定其为矩形，因此不能得到正方形，不符合要求。
综上，符合条件的情况共2种，所求概率$P=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定、古典概型计算、特殊平行四边形判定
【点评】
本题是几何判定与概率计算的综合基础题，既考查了各类特殊平行四边形之间的转化逻辑，也考查了古典概型的基本计算方法，需要同学们熟练掌握相关判定定理，避免混淆矩形、菱形的判定条件。
【难度系数】
0.7
解题需分两步进行：第一步先确定从3个条件中任选2个的总等可能情况数，第二步结合正方形的判定定理，筛选出能使平行四边形ABCD成为正方形的有效情况数，最后根据古典概型的概率公式（概率=有效情况数÷总情况数）计算结果即可。首先明确：正方形是同时具备矩形、菱形特征的特殊平行四边形，条件①“AC=BD”是平行四边形为矩形的判定依据，条件②“AC⊥BD”和③“AB=BC”是平行四边形为菱形的判定依据，因此选取的两个条件需要同时包含矩形判定条件和菱形判定条件，才能推出平行四边形为正方形。
【解析】
从三个条件中任选2个，共有3种等可能的选取结果：①②、①③、②③，逐一判断：
1. 选①②：已知四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，则ABCD是矩形，又AC⊥BD，因此矩形ABCD是正方形，符合要求；
2. 选①③：已知四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，则ABCD是矩形，又AB=BC，因此矩形ABCD是正方形，符合要求；
3. 选②③：已知四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD或AB=BC都只能推出ABCD是菱形，无法判定其为矩形，因此不能得到正方形，不符合要求。
综上，符合条件的情况共2种，所求概率$P=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定、古典概型计算、特殊平行四边形判定
【点评】
本题是几何判定与概率计算的综合基础题，既考查了各类特殊平行四边形之间的转化逻辑，也考查了古典概型的基本计算方法，需要同学们熟练掌握相关判定定理，避免混淆矩形、菱形的判定条件。
【难度系数】
0.7
3. ★★★（2024·潍坊中考）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致。完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
$\frac{1}{3}$
。答案
3. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路分为三步：第一步，明确所有等可能的总情况数，我们可以通过给笔和笔帽命名的方式，用列举法列出所有笔帽和笔的匹配组合；第二步，从所有组合中筛选出“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的符合条件的情况数；第三步，根据古典概型概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算结果即可，列举时要注意做到不重不漏。
【解析】
我们将红色笔、黄色笔、蓝色笔分别记为R、Y、B，对应的同色笔帽分别记为r、y、b，所有笔帽与笔的匹配等可能结果共6种，列举如下：
1. (R套r，Y套y，B套b)：全匹配，不符合要求；
2. (R套r，Y套b，B套y)：红笔匹配，不符合要求；
3. (R套y，Y套r，B套b)：蓝笔匹配，不符合要求；
4. (R套y，Y套b，B套r)：三支笔均不匹配，符合要求；
5. (R套b，Y套r，B套y)：三支笔均不匹配，符合要求；
6. (R套b，Y套y，B套r)：黄笔匹配，不符合要求。
综上，总共有6种等可能的结果，其中符合“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的结果有2种，根据概率公式可得：
$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
古典概型；列举法求概率；概率计算
【点评】
本题结合生活实际考查概率的计算，核心是用列举法清晰罗列出所有等可能的情况，再筛选出符合题意的情况，解题时需要注意列举时避免重复或遗漏，是概率板块的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.6
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路分为三步：第一步，明确所有等可能的总情况数，我们可以通过给笔和笔帽命名的方式，用列举法列出所有笔帽和笔的匹配组合；第二步，从所有组合中筛选出“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的符合条件的情况数；第三步，根据古典概型概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算结果即可，列举时要注意做到不重不漏。
【解析】
我们将红色笔、黄色笔、蓝色笔分别记为R、Y、B，对应的同色笔帽分别记为r、y、b，所有笔帽与笔的匹配等可能结果共6种，列举如下：
1. (R套r，Y套y，B套b)：全匹配，不符合要求；
2. (R套r，Y套b，B套y)：红笔匹配，不符合要求；
3. (R套y，Y套r，B套b)：蓝笔匹配，不符合要求；
4. (R套y，Y套b，B套r)：三支笔均不匹配，符合要求；
5. (R套b，Y套r，B套y)：三支笔均不匹配，符合要求；
6. (R套b，Y套y，B套r)：黄笔匹配，不符合要求。
综上，总共有6种等可能的结果，其中符合“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的结果有2种，根据概率公式可得：
$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
古典概型；列举法求概率；概率计算
【点评】
本题结合生活实际考查概率的计算，核心是用列举法清晰罗列出所有等可能的情况，再筛选出符合题意的情况，解题时需要注意列举时避免重复或遗漏，是概率板块的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.6
4. （2025·淮安月考）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的.如图是由“七巧板”组成的正方形，若在大正方形区域内随意取一点，则该点在阴影部分的概率为
$\frac{1}{8}$
.答案
4. $\frac{1}{8}$
解析:由题意可知,阴影区域是一个正方形,设大正方形的边长为a cm,
∴大正方形的对角线长为$\sqrt{2}a$ cm,面积为$a^2$ cm²,
∴阴影部分的边长为$\frac{\sqrt{2}}{4}a$ cm,
∴$S_{阴影}=(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2=\frac{1}{8}a^2$(cm²),
∴P(该点在阴影部分)=$\frac{\frac{1}{8}a^2}{a^2}=\frac{1}{8}$.
解析:由题意可知,阴影区域是一个正方形,设大正方形的边长为a cm,
∴大正方形的对角线长为$\sqrt{2}a$ cm,面积为$a^2$ cm²,
∴阴影部分的边长为$\frac{\sqrt{2}}{4}a$ cm,
∴$S_{阴影}=(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2=\frac{1}{8}a^2$(cm²),
∴P(该点在阴影部分)=$\frac{\frac{1}{8}a^2}{a^2}=\frac{1}{8}$.
解析
【分析】
本题属于几何概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步，明确区域类几何概型的概率计算方法为“所求事件对应区域面积÷总区域面积”，因此本题只需计算阴影部分面积与大正方形面积的比值即可；第二步，设大正方形的边长为参数，先计算大正方形的面积，再结合七巧板的分割特征、等腰直角三角形的边角关系推导阴影小正方形的边长，进而求出阴影部分的面积；第三步，代入面积比值公式计算概率，参数会在计算中消去，不影响最终结果。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，
则大正方形的面积为$S_{大}=a^2$，大正方形的对角线长为$\sqrt{2}a$。
结合七巧板的分割规律可得，阴影小正方形的边长为大正方形对角线长度的$\frac{1}{4}$，即阴影正方形边长为$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，
因此阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2=\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{8}a^2$
根据几何概型的概率计算公式，该点在阴影部分的概率为：
$P=\frac{S_{阴影}}{S_{大}}=\frac{\frac{1}{8}a^2}{a^2}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
几何概型计算，正方形面积公式，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合传统智力玩具七巧板命题，既传播了传统文化，又考察了几何概型的核心计算方法，解题的关键是准确推导阴影部分和大正方形的面积关系，计算难度较低，只要掌握面积比值法求解几何概型的思路就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步，明确区域类几何概型的概率计算方法为“所求事件对应区域面积÷总区域面积”，因此本题只需计算阴影部分面积与大正方形面积的比值即可；第二步，设大正方形的边长为参数，先计算大正方形的面积，再结合七巧板的分割特征、等腰直角三角形的边角关系推导阴影小正方形的边长，进而求出阴影部分的面积；第三步，代入面积比值公式计算概率，参数会在计算中消去，不影响最终结果。
【解析】
设大正方形的边长为$a$，
则大正方形的面积为$S_{大}=a^2$，大正方形的对角线长为$\sqrt{2}a$。
结合七巧板的分割规律可得，阴影小正方形的边长为大正方形对角线长度的$\frac{1}{4}$，即阴影正方形边长为$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，
因此阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2=\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{8}a^2$
根据几何概型的概率计算公式，该点在阴影部分的概率为：
$P=\frac{S_{阴影}}{S_{大}}=\frac{\frac{1}{8}a^2}{a^2}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
几何概型计算，正方形面积公式，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合传统智力玩具七巧板命题，既传播了传统文化，又考察了几何概型的核心计算方法，解题的关键是准确推导阴影部分和大正方形的面积关系，计算难度较低，只要掌握面积比值法求解几何概型的思路就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
5. （2025·苏州月考）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连结大、小正方形的四组顶点得到图②的“风车”图案（阴影部分）。若图①中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图②大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为
$\frac{28}{53}$
。答案
5. $\frac{28}{53}$
解析:如图
,由题意可知,AB=CD=5,BC=9,∴BD=BC-CD=9-5=4,
∴$S_{大正方形}=AC^2=AB^2+BC^2=106$,中间小正方形的面积为4×4=16,小正方形外的阴影部分的面积为$4S_{△ABD}=4×\frac{1}{2}×4×5=40$,
∴阴影部分的面积为16+40=56,
∴针尖落在阴影区域的概率为$\frac{56}{106}=\frac{28}{53}$.
解析
【分析】
本题属于几何概型问题，针尖落在阴影区域的概率等于阴影部分面积与大正方形总面积的比值。解题思路如下：第一步，利用直角三角形的两条直角边，通过勾股定理求出大正方形的面积；第二步，先求出中间小正方形的边长，计算小正方形的面积，再求出4个阴影三角形的面积和，二者相加得到阴影部分总面积；第三步，用阴影面积除以大正方形面积，约分化简得到最终概率。
【解析】
由题意可知，直角三角形较长直角边长为9，较短直角边长为5：
1. 计算大正方形面积：大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积$S_{大}=9^2+5^2=81+25=106$；
2. 计算中间小正方形的边长：小正方形边长 = 较长直角边 - 较短直角边 = $9-5=4$，因此小正方形面积$S_{小}=4^2=16$；
3. 计算4个阴影三角形的总面积：每个阴影三角形的两条直角边分别为5和$9-5=4$，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×5×4=10$，则4个三角形总面积为$4×10=40$；
4. 阴影部分总面积$S_{阴}=16+40=56$；
5. 针尖落在阴影区域的概率$P=\frac{S_{阴}}{S_{大}}=\frac{56}{106}=\frac{28}{53}$。
【答案】
$\frac{28}{53}$
【知识点】
几何概型概率计算，勾股定理，图形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景考查几何概型的求解，解题的核心是明确几何概型中概率等于对应区域面积的比值，需要熟练运用勾股定理及三角形、正方形的面积公式，计算时注意最终结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概型问题，针尖落在阴影区域的概率等于阴影部分面积与大正方形总面积的比值。解题思路如下：第一步，利用直角三角形的两条直角边，通过勾股定理求出大正方形的面积；第二步，先求出中间小正方形的边长，计算小正方形的面积，再求出4个阴影三角形的面积和，二者相加得到阴影部分总面积；第三步，用阴影面积除以大正方形面积，约分化简得到最终概率。
【解析】
由题意可知，直角三角形较长直角边长为9，较短直角边长为5：
1. 计算大正方形面积：大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积$S_{大}=9^2+5^2=81+25=106$；
2. 计算中间小正方形的边长：小正方形边长 = 较长直角边 - 较短直角边 = $9-5=4$，因此小正方形面积$S_{小}=4^2=16$；
3. 计算4个阴影三角形的总面积：每个阴影三角形的两条直角边分别为5和$9-5=4$，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×5×4=10$，则4个三角形总面积为$4×10=40$；
4. 阴影部分总面积$S_{阴}=16+40=56$；
5. 针尖落在阴影区域的概率$P=\frac{S_{阴}}{S_{大}}=\frac{56}{106}=\frac{28}{53}$。
【答案】
$\frac{28}{53}$
【知识点】
几何概型概率计算，勾股定理，图形面积计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景考查几何概型的求解，解题的核心是明确几何概型中概率等于对应区域面积的比值，需要熟练运用勾股定理及三角形、正方形的面积公式，计算时注意最终结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.7
