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1. 如图,等边三角形$OAB$的边长为$8\sqrt{3}$,且其三个顶点均在抛物线$y=ax^2(a＞0)$上.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若过原点$O$的直线$y=kx$与直线$y=-\frac{1}{k}x$分别交抛物线$y=ax^2$于点$C,D$.
①当$k=\frac{1}{2}$时,试求$△ COD$的面积;
②试证明:不论实数$k$取何值,直线$CD$总是经过一定点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)若过原点$O$的直线$y=kx$与直线$y=-\frac{1}{k}x$分别交抛物线$y=ax^2$于点$C,D$.
①当$k=\frac{1}{2}$时,试求$△ COD$的面积;
②试证明:不论实数$k$取何值,直线$CD$总是经过一定点.
答案
(1) 如图
,∵ 等边△OAB 的边长为$8\sqrt{3}$,
∴ $OB = 8\sqrt{3}$, $∠ABO = 60°$,则在Rt△BOF 中, $BF = 4\sqrt{3}$, $OF = 12$,
∴ $B(4\sqrt{3},12)$.又
∵ 点$B(4\sqrt{3},12)$在抛物线$y=ax^2$上,
∴ $12=48a$,解得 $a=\frac{1}{4}$,故抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{4}x^2$.
(2) ① 解方程组 $\begin{cases}y=\frac{1}{2}x,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$ 得$\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=2,\\y_2=1,\end{cases}$
∴ $C(2,1)$, 解方程组 $\begin{cases}y=-2x,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$ 得$\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=-8,\\y_2=16,\end{cases}$
∴ $D(-8,16)$,设直线 CD 的表达式为 $y=mx+n$,
∴ $\begin{cases}2m+n=1,\\-8m+n=16,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-\frac{3}{2},\\n=4,\end{cases}$
∴ 直线 CD 的表达式为 $y=-\frac{3}{2}x+4$,设直线 CD 与 y 轴交于点 E,则$E(0,4)$,如图.
∵ $S_{△ COE}=\frac{1}{2}·|x_C|· OE=\frac{1}{2}×2×4=4$,$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}·|x_D|· OE=\frac{1}{2}×8×4=16$,
∴ $S_{△ COD}=S_{△ COE}+S_{△ DOE}=4+16=20$.
②解方程组 $\begin{cases}y=kx,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=4k,\\y_2=4k^2,\end{cases}$
∴ 点 C 的坐标为 $(4k,4k^2)$,解方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{k}x,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=-\frac{4}{k},\\y_2=\frac{4}{k^2},\end{cases}$
∴ 点 D 的坐标为 $(-\frac{4}{k},\frac{4}{k^2})$,设直线 CD 的表达式为 $y=px+q$,
∴ $\begin{cases}4k^2=4pk+q,\\\frac{4}{k^2}=-\frac{4p}{k}+q,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=k-\frac{1}{k},\\q=4,\end{cases}$
∴ 直线 CD 的表达式为 $y=(k-\frac{1}{k})x+4$,
∴ 不论实数 k 取何值,直线 CD 总过定点$(0,4)$.
解析
【分析】
(1) 要确定抛物线$y=ax^2$的表达式，只需得到抛物线上一个非原点的点坐标代入即可。等边三角形OAB关于y轴对称，利用等边三角形边长为$8\sqrt{3}$，可通过直角三角形的边角关系求出点B的坐标，代入解析式即可求出a的值。
(2) ① 当$k=\frac{1}{2}$时，先分别联立两条直线与抛物线的解析式，解方程组得到点C、D的坐标；再用待定系数法求出直线CD的解析式，找到其与y轴的交点，将$△ COD$拆分为两个以OE为底的三角形，面积相加即可得到$△ COD$的面积。
② 先分别联立两条含参数k的直线与抛物线的解析式，用含k的代数式表示出点C、D的坐标；再设直线CD的解析式为$y=px+q$，代入C、D坐标求出p、q关于k的表达式，观察解析式，找到y值与k无关时对应的x、y值，即为定点坐标。
【解析】
(1) 如图，
∵ 等边$△ OAB$的边长为$8\sqrt{3}$，
∴ $OB = 8\sqrt{3}$，$∠ ABO = 60°$，则在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，$BF = \frac{1}{2}OB = 4\sqrt{3}$，$OF = OB·\sin60° = 8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=12$，
∴ $B(4\sqrt{3},12)$。
∵ 点$B(4\sqrt{3},12)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴ $12=a×(4\sqrt{3})^2$，即$12=48a$，解得 $a=\frac{1}{4}$，
故抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{4}x^2$。
(2) ① 当$k=\frac{1}{2}$时，解方程组 $\begin{cases}y=\frac{1}{2}x,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$
得$\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=2,\\y_2=1,\end{cases}$，
∴ $C(2,1)$，
解方程组 $\begin{cases}y=-2x,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$
得$\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=-8,\\y_2=16,\end{cases}$，
∴ $D(-8,16)$，
设直线CD的表达式为 $y=mx+n$，代入C、D坐标得：
$\begin{cases}2m+n=1,\\-8m+n=16,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-\frac{3}{2},\\n=4,\end{cases}$
∴ 直线CD的表达式为 $y=-\frac{3}{2}x+4$，设直线CD与y轴交于点E，则$E(0,4)$，
∵ $S_{△ COE}=\frac{1}{2}·|x_C|· OE=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}·|x_D|· OE=\frac{1}{2}×8×4=16$，
∴ $S_{△ COD}=S_{△ COE}+S_{△ DOE}=4+16=20$。
② 解方程组 $\begin{cases}y=kx,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$
得 $\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=4k,\\y_2=4k^2,\end{cases}$，
∴ 点C的坐标为 $(4k,4k^2)$，
解方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{k}x,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$
得 $\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=-\frac{4}{k},\\y_2=\frac{4}{k^2},\end{cases}$，
∴ 点D的坐标为 $(-\frac{4}{k},\frac{4}{k^2})$，
设直线CD的表达式为 $y=px+q$，代入C、D坐标得：
$\begin{cases}4k^2=4pk+q,\\\frac{4}{k^2}=-\frac{4p}{k}+q,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=k-\frac{1}{k},\\q=4,\end{cases}$
∴ 直线CD的表达式为 $y=(k-\frac{1}{k})x+4$，
当$x=0$时，$y=4$，与k的取值无关，
∴ 不论实数k取何值，直线CD总过定点$(0,4)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{4}x^2}$；
(2) ① $△ COD$的面积为$\boldsymbol{20}$；② 直线CD总是经过定点$\boldsymbol{(0,4)}$。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 函数交点坐标计算
3. 一次函数定点探究
【点评】
本题综合考查了等边三角形的性质、一次函数与二次函数的交点问题、动直线定点的推导方法，解题的关键是熟练掌握联立方程求交点、待定系数法求解析式的方法，学会利用参数推导直线解析式进而寻找定点，是二次函数综合类的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定抛物线$y=ax^2$的表达式，只需得到抛物线上一个非原点的点坐标代入即可。等边三角形OAB关于y轴对称，利用等边三角形边长为$8\sqrt{3}$，可通过直角三角形的边角关系求出点B的坐标，代入解析式即可求出a的值。
(2) ① 当$k=\frac{1}{2}$时，先分别联立两条直线与抛物线的解析式，解方程组得到点C、D的坐标；再用待定系数法求出直线CD的解析式，找到其与y轴的交点，将$△ COD$拆分为两个以OE为底的三角形，面积相加即可得到$△ COD$的面积。
② 先分别联立两条含参数k的直线与抛物线的解析式，用含k的代数式表示出点C、D的坐标；再设直线CD的解析式为$y=px+q$，代入C、D坐标求出p、q关于k的表达式，观察解析式，找到y值与k无关时对应的x、y值，即为定点坐标。
【解析】
(1) 如图
，∵ 等边$△ OAB$的边长为$8\sqrt{3}$，
∴ $OB = 8\sqrt{3}$，$∠ ABO = 60°$，则在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，$BF = \frac{1}{2}OB = 4\sqrt{3}$，$OF = OB·\sin60° = 8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=12$，
∴ $B(4\sqrt{3},12)$。
∵ 点$B(4\sqrt{3},12)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴ $12=a×(4\sqrt{3})^2$，即$12=48a$，解得 $a=\frac{1}{4}$，
故抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{4}x^2$。
(2) ① 当$k=\frac{1}{2}$时，解方程组 $\begin{cases}y=\frac{1}{2}x,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$
得$\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=2,\\y_2=1,\end{cases}$，
∴ $C(2,1)$，
解方程组 $\begin{cases}y=-2x,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$
得$\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=-8,\\y_2=16,\end{cases}$，
∴ $D(-8,16)$，
设直线CD的表达式为 $y=mx+n$，代入C、D坐标得：
$\begin{cases}2m+n=1,\\-8m+n=16,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-\frac{3}{2},\\n=4,\end{cases}$
∴ 直线CD的表达式为 $y=-\frac{3}{2}x+4$，设直线CD与y轴交于点E，则$E(0,4)$，
∵ $S_{△ COE}=\frac{1}{2}·|x_C|· OE=\frac{1}{2}×2×4=4$，$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}·|x_D|· OE=\frac{1}{2}×8×4=16$，
∴ $S_{△ COD}=S_{△ COE}+S_{△ DOE}=4+16=20$。
② 解方程组 $\begin{cases}y=kx,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$
得 $\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=4k,\\y_2=4k^2,\end{cases}$，
∴ 点C的坐标为 $(4k,4k^2)$，
解方程组$\begin{cases}y=-\frac{1}{k}x,\\y=\frac{1}{4}x^2,\end{cases}$
得 $\begin{cases}x_1=0,\\y_1=0,\end{cases}\begin{cases}x_2=-\frac{4}{k},\\y_2=\frac{4}{k^2},\end{cases}$，
∴ 点D的坐标为 $(-\frac{4}{k},\frac{4}{k^2})$，
设直线CD的表达式为 $y=px+q$，代入C、D坐标得：
$\begin{cases}4k^2=4pk+q,\\\frac{4}{k^2}=-\frac{4p}{k}+q,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}p=k-\frac{1}{k},\\q=4,\end{cases}$
∴ 直线CD的表达式为 $y=(k-\frac{1}{k})x+4$，
当$x=0$时，$y=4$，与k的取值无关，
∴ 不论实数k取何值，直线CD总过定点$(0,4)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{4}x^2}$；
(2) ① $△ COD$的面积为$\boldsymbol{20}$；② 直线CD总是经过定点$\boldsymbol{(0,4)}$。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 函数交点坐标计算
3. 一次函数定点探究
【点评】
本题综合考查了等边三角形的性质、一次函数与二次函数的交点问题、动直线定点的推导方法，解题的关键是熟练掌握联立方程求交点、待定系数法求解析式的方法，学会利用参数推导直线解析式进而寻找定点，是二次函数综合类的常考题型。
【难度系数】
0.6
2. 已知抛物线$y=x^2 -2x -3$与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)直接写出A,B,C三点的坐标;
(2)如图,M,N是抛物线上异于B,C的两个动点,若直线BN与直线CM的交点始终在直线$y=2x-9$上,求证:直线MN必经过一个定点,并求该定点坐标.
(1)直接写出A,B,C三点的坐标;
(2)如图,M,N是抛物线上异于B,C的两个动点,若直线BN与直线CM的交点始终在直线$y=2x-9$上,求证:直线MN必经过一个定点,并求该定点坐标.
答案
(1)A,B,C三点的坐标分别为$A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)$.
解析:对于$y=x^2-2x-3$,令$y=0$,则$0=x^2-2x-3$,
∴ $x_1=-1,x_2=3$,
∴ 点$A(-1,0)$,点$B(3,0)$,令$x=0$,则$y=-3$,
∴ 点$C(0,-3)$.
(2)如图
,设点$M(x_M,y_M),N(x_N,y_N)$,直线$MN:y=k'x+b'$,直线$CM:y=k_1x+b_1$,直线$BN:y=k_2x+b_2$,将点$C(0,-3)$代入直线 CM 的表达式得$b_1=-3$,将点$B(3,0)$代入直线 BN 的表达式得$b_2=-3k_2$,联立直线 MN 与抛物线的表达式得$\begin{cases}y=k'x+b',\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$整理得$x^2-(k'+2)x-b'-3=0$,则$x_M+x_N=k'+2$,$x_M· x_N=-b'-3$,同理:$x_M+x_C=k_1+2$,$x_N+x_B=k_2+2$.∵ $x_C=0$,$x_B=3$,
∴ $x_M=k_1+2$,$x_N=k_2-1$,
∴ $k'=x_M+x_N-2=k_1+2+k_2-1-2=k_1+k_2-1$,$b'=-x_M· x_N-3=-(k_1+2)(k_2-1)-3=-k_1k_2-2k_2+k_1+2-3=-k_1k_2-2k_2+k_1-1$,联立直线 CM 与直线 BN 的表达式得$\begin{cases}y=k_1x-3,\\y=k_2x-3k_2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{3-3k_2}{k_1-k_2},\\y=\frac{3k_2-3k_1k_2}{k_1-k_2}.\end{cases}$
∵ 直线 BN 与直线 CM 的交点始终在直线 $y=2x-9$ 上,
∴ $2×\frac{3-3k_2}{k_1-k_2}-9=\frac{3k_2-3k_1k_2}{k_1-k_2}$,化简得$k_1k_2=3k_1-2$,
∴ $b'=-k_1k_2-2k_2+k_1-1=-3k_1+2-2k_2+k_1-1=-2k_1-2k_2+1=-2(k_1+k_2)+1=-2(k'+1)+1=-2k'-1$,
∴ 直线 MN:$y=k'x-2k'-1=k'(x-2)-1$,
∴ 不论k'为何值,均有$x=2$时,$y=-1$,即直线 MN 恒过定点$(2,-1)$.
解析
【分析】
(1)求抛物线与坐标轴的交点时，求x轴交点令y=0解一元二次方程，结合A在B左侧确定A、B坐标；求y轴交点令x=0代入解析式即可得到C点坐标。
(2)要证直线MN过定点，需先推导直线MN解析式中参数的关系：首先设出各直线解析式，代入已知点C、B简化参数；再将直线与抛物线联立，用韦达定理得到交点横坐标和斜率的关系；接着联立直线CM、BN求出交点坐标，结合交点在y=2x-9上的条件推导斜率的关系；最后将关系代入直线MN的解析式，整理为含参数的点斜式即可找到定点。
【解析】
(1)对于抛物线$y=x^2-2x-3$：
令$y=0$，得$x^2-2x-3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，因为点A在点B左侧，故$A(-1,0)$，$B(3,0)$；
令$x=0$，代入得$y=-3$，故$C(0,-3)$。
(2)设点$M(x_M,y_M),N(x_N,y_N)$，直线$MN:y=k'x+b'$，直线$CM:y=k_1x+b_1$，直线$BN:y=k_2x+b_2$。
将$C(0,-3)$代入CM解析式得$b_1=-3$，即$CM:y=k_1x-3$；将$B(3,0)$代入BN解析式得$b_2=-3k_2$，即$BN:y=k_2x-3k_2$。
联立$\begin{cases}y=k'x+b'\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(k'+2)x-b'-3=0$，由韦达定理得$x_M+x_N=k'+2$，$x_M·x_N=-b'-3$。
同理可得$x_M+x_C=k_1+2$，$x_N+x_B=k_2+2$，代入$x_C=0$、$x_B=3$得$x_M=k_1+2$，$x_N=k_2-1$。
因此$k'=x_M+x_N-2=k_1+k_2-1$，$b'=-x_M·x_N-3=-k_1k_2+k_1-2k_2-1$。
联立$\begin{cases}y=k_1x-3\\y=k_2x-3k_2\end{cases}$，解得交点坐标为$\begin{cases}x=\frac{3-3k_2}{k_1-k_2}\\y=\frac{3k_2-3k_1k_2}{k_1-k_2}\end{cases}$。
因为交点在$y=2x-9$上，代入化简得$k_1k_2=3k_1-2$，将其代入$b'$的表达式得：
$b'=-(3k_1-2)+k_1-2k_2-1=-2(k_1+k_2)+1=-2(k'+1)+1=-2k'-1$。
因此直线MN解析式为$y=k'x-2k'-1=k'(x-2)-1$，当$x=2$时$y=-1$，与$k'$取值无关。
【答案】
(1)A、B、C三点的坐标分别为$A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)$；
(2)直线MN必经过定点，该定点坐标为$(2,-1)$。
【知识点】
二次函数与坐标轴交点；韦达定理；二次函数定点问题
【点评】
本题第一问考查二次函数基础性质，属于送分题；第二问是一次函数与二次函数的综合题型，核心是通过参数设元、联立方程、韦达定理建立参数关系，最终推导得到定点，对代数运算能力和逻辑推导能力有一定要求，是二次函数综合题的常考类型。
【难度系数】
0.5
(1)求抛物线与坐标轴的交点时，求x轴交点令y=0解一元二次方程，结合A在B左侧确定A、B坐标；求y轴交点令x=0代入解析式即可得到C点坐标。
(2)要证直线MN过定点，需先推导直线MN解析式中参数的关系：首先设出各直线解析式，代入已知点C、B简化参数；再将直线与抛物线联立，用韦达定理得到交点横坐标和斜率的关系；接着联立直线CM、BN求出交点坐标，结合交点在y=2x-9上的条件推导斜率的关系；最后将关系代入直线MN的解析式，整理为含参数的点斜式即可找到定点。
【解析】
(1)对于抛物线$y=x^2-2x-3$：
令$y=0$，得$x^2-2x-3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，因为点A在点B左侧，故$A(-1,0)$，$B(3,0)$；
令$x=0$，代入得$y=-3$，故$C(0,-3)$。
(2)
设点$M(x_M,y_M),N(x_N,y_N)$，直线$MN:y=k'x+b'$，直线$CM:y=k_1x+b_1$，直线$BN:y=k_2x+b_2$。将$C(0,-3)$代入CM解析式得$b_1=-3$，即$CM:y=k_1x-3$；将$B(3,0)$代入BN解析式得$b_2=-3k_2$，即$BN:y=k_2x-3k_2$。
联立$\begin{cases}y=k'x+b'\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(k'+2)x-b'-3=0$，由韦达定理得$x_M+x_N=k'+2$，$x_M·x_N=-b'-3$。
同理可得$x_M+x_C=k_1+2$，$x_N+x_B=k_2+2$，代入$x_C=0$、$x_B=3$得$x_M=k_1+2$，$x_N=k_2-1$。
因此$k'=x_M+x_N-2=k_1+k_2-1$，$b'=-x_M·x_N-3=-k_1k_2+k_1-2k_2-1$。
联立$\begin{cases}y=k_1x-3\\y=k_2x-3k_2\end{cases}$，解得交点坐标为$\begin{cases}x=\frac{3-3k_2}{k_1-k_2}\\y=\frac{3k_2-3k_1k_2}{k_1-k_2}\end{cases}$。
因为交点在$y=2x-9$上，代入化简得$k_1k_2=3k_1-2$，将其代入$b'$的表达式得：
$b'=-(3k_1-2)+k_1-2k_2-1=-2(k_1+k_2)+1=-2(k'+1)+1=-2k'-1$。
因此直线MN解析式为$y=k'x-2k'-1=k'(x-2)-1$，当$x=2$时$y=-1$，与$k'$取值无关。
【答案】
(1)A、B、C三点的坐标分别为$A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)$；
(2)直线MN必经过定点，该定点坐标为$(2,-1)$
。【知识点】
二次函数与坐标轴交点；韦达定理；二次函数定点问题
【点评】
本题第一问考查二次函数基础性质，属于送分题；第二问是一次函数与二次函数的综合题型，核心是通过参数设元、联立方程、韦达定理建立参数关系，最终推导得到定点，对代数运算能力和逻辑推导能力有一定要求，是二次函数综合题的常考类型。
【难度系数】
0.5
