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7.如图所示的是将三角形绕直线$ l $旋转一周得到的立体图形，则旋转的三角形是下列选项中的(
A
B
C D
B
)。A
B
C D
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先运用“面动成体”的原理：直角三角形绕自身的一条直角边所在直线旋转一周会形成圆锥。题目给出的立体图形是两个底面重合、顶点朝向相反方向的圆锥组合体，说明所选三角形绕直线l旋转时，需要同时生成上下两个同底的圆锥。我们可以逐一分析每个选项旋转后得到的立体图形，和题干图形比对即可得出答案。
【解析】
根据面动成体的规律，结合圆锥的形成特征分析各选项：
1. 选项A：绕直线l旋转后，得到的是大圆锥内部挖去一个小圆锥的空心立体图形，和题干图形不符；
2. 选项B：绕直线l旋转时，三角形被直线l划分出的两个直角三角形，分别旋转形成上下两个圆锥，且两个圆锥的底面完全重合，和题干图形一致；
3. 选项C：绕直线l旋转后仅能得到单个圆锥，和题干图形不符；
4. 选项D：绕直线l旋转后得到两个底面分离的圆锥，和题干图形不符。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；圆锥的形成
【点评】
本题重点考查平面图形旋转生成立体图形的规律，解题的关键是熟悉常见立体图形的形成过程，结合空间想象能力判断旋转后的结果，是对空间观念的基础考查。
【难度系数】
0.7
解题时先运用“面动成体”的原理：直角三角形绕自身的一条直角边所在直线旋转一周会形成圆锥。题目给出的立体图形是两个底面重合、顶点朝向相反方向的圆锥组合体，说明所选三角形绕直线l旋转时，需要同时生成上下两个同底的圆锥。我们可以逐一分析每个选项旋转后得到的立体图形，和题干图形比对即可得出答案。
【解析】
根据面动成体的规律，结合圆锥的形成特征分析各选项：
1. 选项A：绕直线l旋转后，得到的是大圆锥内部挖去一个小圆锥的空心立体图形，和题干图形不符；
2. 选项B：绕直线l旋转时，三角形被直线l划分出的两个直角三角形，分别旋转形成上下两个圆锥，且两个圆锥的底面完全重合，和题干图形一致；
3. 选项C：绕直线l旋转后仅能得到单个圆锥，和题干图形不符；
4. 选项D：绕直线l旋转后得到两个底面分离的圆锥，和题干图形不符。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；圆锥的形成
【点评】
本题重点考查平面图形旋转生成立体图形的规律，解题的关键是熟悉常见立体图形的形成过程，结合空间想象能力判断旋转后的结果，是对空间观念的基础考查。
【难度系数】
0.7
8.一个长方形的长为4 cm，宽为2 cm，将这个长方形绕一边旋转一周后得到的几何体的体积是
16π cm³ 或 32π cm³
。（结果保留π）答案
8.16π cm³ 或 32π cm³
解析
【分析】
解决本题首先要明确“面动成体”的原理，长方形绕任意一边旋转一周得到的几何体是圆柱。由于旋转轴可以是长方形的长，也可以是长方形的宽，因此需要分两种情况讨论，分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
长方形绕一边旋转一周得到的几何体是圆柱，分两种情况计算体积：
1. 当绕长（4cm）所在的直线旋转时：
此时圆柱的高$h=4\mathrm{cm}$，底面半径$r=$长方形的宽$=2\mathrm{cm}$
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入得：
$V=π×2^2×4=16π\ \mathrm{cm}^3$
2. 当绕宽（2cm）所在的直线旋转时：
此时圆柱的高$h=2\mathrm{cm}$，底面半径$r=$长方形的长$=4\mathrm{cm}$
代入体积公式得：
$V=π×4^2×2=32π\ \mathrm{cm}^3$
综上，得到的几何体的体积是$16π\ \mathrm{cm}^3$或$32π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
16π cm³或32π cm³
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论
【点评】
本题核心考查面动成体的实际应用以及圆柱体积的计算，易错点是容易忽略旋转轴的两种可能性，导致漏写其中一个结果，解题时要养成分类讨论的习惯，考虑全面。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确“面动成体”的原理，长方形绕任意一边旋转一周得到的几何体是圆柱。由于旋转轴可以是长方形的长，也可以是长方形的宽，因此需要分两种情况讨论，分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
长方形绕一边旋转一周得到的几何体是圆柱，分两种情况计算体积：
1. 当绕长（4cm）所在的直线旋转时：
此时圆柱的高$h=4\mathrm{cm}$，底面半径$r=$长方形的宽$=2\mathrm{cm}$
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入得：
$V=π×2^2×4=16π\ \mathrm{cm}^3$
2. 当绕宽（2cm）所在的直线旋转时：
此时圆柱的高$h=2\mathrm{cm}$，底面半径$r=$长方形的长$=4\mathrm{cm}$
代入体积公式得：
$V=π×4^2×2=32π\ \mathrm{cm}^3$
综上，得到的几何体的体积是$16π\ \mathrm{cm}^3$或$32π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
16π cm³或32π cm³
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论
【点评】
本题核心考查面动成体的实际应用以及圆柱体积的计算，易错点是容易忽略旋转轴的两种可能性，导致漏写其中一个结果，解题时要养成分类讨论的习惯，考虑全面。
【难度系数】
0.7
9.如图所示的是把一个圆柱纵向竖直切去一块后剩下的图形。
（1）图中有几个面？有几个平面和几个曲面？
（2）图中有几条线？它们是直线还是曲线？
（3）图中线与线之间一共交于多少个点？
（1）图中有几个面？有几个平面和几个曲面？
（2）图中有几条线？它们是直线还是曲线？
（3）图中线与线之间一共交于多少个点？
答案
9.(1)4个面,3个平面,1个曲面
(2)6条线,4条是直线,2条是曲线
(3)4个点
(2)6条线,4条是直线,2条是曲线
(3)4个点
解析
【分析】
解题时结合点、线、面的相关概念，按顺序计数即可避免重复或遗漏：
1. 数面时，先明确平面是平整无弧度的面，曲面是带有弧度的面，逐个识别几何体的所有面再分类；
2. 数线时，依据“面与面相交形成线”的规律，依次找出所有交线，再区分直线和曲线；
3. 数交点时，依据“线与线相交形成点”的规律，逐一统计所有线相交的公共点即可。
【解析】
（1）逐个识别几何体的面：上下各有1个扇形平面，竖直切面是1个长方形平面，原圆柱侧面剩余部分是1个曲面，总共有2+1+1=4个面，其中3个平面，1个曲面。
（2）按顺序数所有交线：上下各有1条弧形曲线，共2条曲线；切面的上下两条边、左右两条竖直棱都是直线，共4条直线，总共有2+4=6条线，其中4条直线，2条曲线。
（3）统计线与线的交点：几何体的顶点分别为左上、右上、左下、右下，共4个交点。
【答案】
(1)4个面,3个平面,1个曲面
(2)6条线,4条是直线,2条是曲线
(3)4个点
【知识点】
点线面的关系、平面曲面区分、直线曲线区分
【点评】
本题考查立体图形构成元素的基础认识，只需按顺序逐一计数即可解答，重点在于计数时不要遗漏或重复。
【难度系数】
0.9
解题时结合点、线、面的相关概念，按顺序计数即可避免重复或遗漏：
1. 数面时，先明确平面是平整无弧度的面，曲面是带有弧度的面，逐个识别几何体的所有面再分类；
2. 数线时，依据“面与面相交形成线”的规律，依次找出所有交线，再区分直线和曲线；
3. 数交点时，依据“线与线相交形成点”的规律，逐一统计所有线相交的公共点即可。
【解析】
（1）逐个识别几何体的面：上下各有1个扇形平面，竖直切面是1个长方形平面，原圆柱侧面剩余部分是1个曲面，总共有2+1+1=4个面，其中3个平面，1个曲面。
（2）按顺序数所有交线：上下各有1条弧形曲线，共2条曲线；切面的上下两条边、左右两条竖直棱都是直线，共4条直线，总共有2+4=6条线，其中4条直线，2条曲线。
（3）统计线与线的交点：几何体的顶点分别为左上、右上、左下、右下，共4个交点。
【答案】
(1)4个面,3个平面,1个曲面
(2)6条线,4条是直线,2条是曲线
(3)4个点
【知识点】
点线面的关系、平面曲面区分、直线曲线区分
【点评】
本题考查立体图形构成元素的基础认识，只需按顺序逐一计数即可解答，重点在于计数时不要遗漏或重复。
【难度系数】
0.9
10.【数学游戏】把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面是现成的，所以其他三个面必须用刀切3次才能切出来。那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要用刀切几次？为什么？
答案
10.解:要把一个正方体分割成27个小正方体,至少需要用刀切6次。
因为最中间的1个小正方体的六个面都不是现成的，
所以这六个面必须用刀切6次才能切出来,所以至少切6次。
因为最中间的1个小正方体的六个面都不是现成的，
所以这六个面必须用刀切6次才能切出来,所以至少切6次。
解析
【分析】
我们可以类比题目中分割成8个小正方体的思路解题：首先27是3的立方，说明分割后的小正方体是按3×3×3的阵列排布在大正方体中。有两种思考方向：一是从切割维度分析，正方体有长、宽、高三个互相垂直的方向，要把每个方向分成3等份，每个方向需切2刀，总次数为三个方向的次数之和；二是参考题目给出的“新切出面”的思路，找到完全在大正方体内部的小正方体，它的所有面都不是原大正方体的表面，每个面都需要刀切得到，每切一刀最多能得到这个小正方体的1个面，由此可算出最少刀数。
【解析】
解：至少需要刀切6次，理由如下：
27个小正方体是按3×3×3的方式排列在大正方体中的，其中最中心的1个小正方体完全位于大正方体内部，它的6个面都不属于原来大正方体的表面，全部需要通过刀切才能得到。每切1刀最多只能切出这个中心小正方体的1个面，因此要得到这个小正方体的6个面，至少需要切6次。
也可以从切割维度验证：长、宽、高三个方向各需要切2刀把该方向分成3份，总次数为$2×3=6$次。
【答案】
要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要用刀切6次。因为最中间的1个小正方体的六个面都不是现成的，所以这六个面必须用刀切6次才能切出来，所以至少切6次。
【知识点】
正方体分割；空间想象；逻辑推理
【点评】
本题是趣味立体几何问题，将空间想象和逻辑推理相结合，既可以通过三维方向的切割规律直接计算，也可以类比题目给出的思路推导，能有效锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.7
我们可以类比题目中分割成8个小正方体的思路解题：首先27是3的立方，说明分割后的小正方体是按3×3×3的阵列排布在大正方体中。有两种思考方向：一是从切割维度分析，正方体有长、宽、高三个互相垂直的方向，要把每个方向分成3等份，每个方向需切2刀，总次数为三个方向的次数之和；二是参考题目给出的“新切出面”的思路，找到完全在大正方体内部的小正方体，它的所有面都不是原大正方体的表面，每个面都需要刀切得到，每切一刀最多能得到这个小正方体的1个面，由此可算出最少刀数。
【解析】
解：至少需要刀切6次，理由如下：
27个小正方体是按3×3×3的方式排列在大正方体中的，其中最中心的1个小正方体完全位于大正方体内部，它的6个面都不属于原来大正方体的表面，全部需要通过刀切才能得到。每切1刀最多只能切出这个中心小正方体的1个面，因此要得到这个小正方体的6个面，至少需要切6次。
也可以从切割维度验证：长、宽、高三个方向各需要切2刀把该方向分成3份，总次数为$2×3=6$次。
【答案】
要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要用刀切6次。因为最中间的1个小正方体的六个面都不是现成的，所以这六个面必须用刀切6次才能切出来，所以至少切6次。
【知识点】
正方体分割；空间想象；逻辑推理
【点评】
本题是趣味立体几何问题，将空间想象和逻辑推理相结合，既可以通过三维方向的切割规律直接计算，也可以类比题目给出的思路推导，能有效锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.7
