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8.下列各数中,不是有理数的是(
A.$\frac{22}{7}$
B.$π$
C.3.14
D.3.1415
B
).A.$\frac{22}{7}$
B.$π$
C.3.14
D.3.1415
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数的判定标准：有理数是整数和分数的统称，所有有限小数、无限循环小数都可以转化为分数形式，属于有理数；而无限不循环小数无法转化为分数形式，不属于有理数。接下来逐一分析每个选项是否符合有理数的特征，排除符合的选项即可得到答案。
【解析】
首先明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都属于有理数；无限不循环小数是无理数，不属于有理数。
对各选项逐一分析：
A. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数，不符合题意；
B. $π$是无限不循环小数，是无理数，不属于有理数，符合题意；
C. 3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意；
D. 3.1415是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的定义；无理数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，重点区分有理数和无理数的范畴，牢记常见的无理数如含$π$的数、无限不循环小数等即可快速解题，注意不要把$π$和近似值3.14混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确有理数的判定标准：有理数是整数和分数的统称，所有有限小数、无限循环小数都可以转化为分数形式，属于有理数；而无限不循环小数无法转化为分数形式，不属于有理数。接下来逐一分析每个选项是否符合有理数的特征，排除符合的选项即可得到答案。
【解析】
首先明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都属于有理数；无限不循环小数是无理数，不属于有理数。
对各选项逐一分析：
A. $\frac{22}{7}$是分数，属于有理数，不符合题意；
B. $π$是无限不循环小数，是无理数，不属于有理数，符合题意；
C. 3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意；
D. 3.1415是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合题意。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的定义；无理数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，重点区分有理数和无理数的范畴，牢记常见的无理数如含$π$的数、无限不循环小数等即可快速解题，注意不要把$π$和近似值3.14混淆。
【难度系数】
0.9
9.有下列说法:①－3.14是有理数;②0不是正有理数;③－2026既是负有理数,也是整数;④非负有理数即为正有理数.其中正确的个数是(
A.4
B.3
C.2
D.1
B
).A.4
B.3
C.2
D.1
答案
9.B
解析
【分析】
解题时需结合有理数的分类及相关概念，逐个判断4个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可得到答案。首先明确核心概念：有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数都属于有理数）；有理数按正负可分为正有理数、0、负有理数，其中0既不是正数也不是负数；整数包含正整数、0、负整数，非负有理数指的是0和正有理数的统称。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
①-3.14是有限小数，属于分数范畴，因此是有理数，该说法正确；
②正有理数是指大于0的有理数，0既不是正数也不是负数，因此0不是正有理数，该说法正确；
③-2026是小于0的整数，因此它既是负有理数，也是整数，该说法正确；
④非负有理数是指大于等于0的有理数，包含0和正有理数，并非仅指正有理数，该说法错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类；有理数的概念；整数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是理清有理数的分类标准，尤其要注意0的特殊性，避免对“非负”“非正”等概念的范围判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时需结合有理数的分类及相关概念，逐个判断4个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可得到答案。首先明确核心概念：有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数都属于有理数）；有理数按正负可分为正有理数、0、负有理数，其中0既不是正数也不是负数；整数包含正整数、0、负整数，非负有理数指的是0和正有理数的统称。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
①-3.14是有限小数，属于分数范畴，因此是有理数，该说法正确；
②正有理数是指大于0的有理数，0既不是正数也不是负数，因此0不是正有理数，该说法正确；
③-2026是小于0的整数，因此它既是负有理数，也是整数，该说法正确；
④非负有理数是指大于等于0的有理数，包含0和正有理数，并非仅指正有理数，该说法错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类；有理数的概念；整数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是理清有理数的分类标准，尤其要注意0的特殊性，避免对“非负”“非正”等概念的范围判断错误。
【难度系数】
0.7
10.观察下面一列数，根据规律写出横线上的数.
$-\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_, ···.$第2026个数是
$-\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_, ···.$第2026个数是
$\dfrac{1}{2\ 026}$
.答案
10.$-\dfrac{1}{5}\ \ \dfrac{1}{6}\ \ \dfrac{1}{2\ 026}$
解析
【分析】
解决这道题我们可以分三步观察数列特征：第一步看符号，给出的数依次是负、正、负、正……，也就是奇数位置的数符号为负，偶数位置的数符号为正；第二步看分子，所有给出的数分子都是1；第三步看分母，第一个数分母是1，第二个是2，第三个是3，第四个是4，也就是第几个数，分母就是几。结合这三个规律就能写出对应位置的数了。
【解析】
首先总结数列规律：
1. 符号规律：第奇数个数为负，第偶数个数为正；
2. 分子规律：所有数的分子都是1；
3. 分母规律：数的序号是几，分母就是几。
按照规律推导：
第5个数是奇数位置，符号为负，分子为1，分母为5，即$-\dfrac{1}{5}$；
第6个数是偶数位置，符号为正，分子为1，分母为6，即$\dfrac{1}{6}$；
第2026个数是偶数位置，符号为正，分子为1，分母为2026，即$\dfrac{1}{2026}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{5}$；$\dfrac{1}{6}$；$\dfrac{1}{2026}$
【知识点】
数列规律探究；有理数符号判断
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心是引导学生学会从多个维度（符号、分子、分母）拆分观察数列特征，掌握这类拆分观察的方法后，就能快速找到规律解决问题。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以分三步观察数列特征：第一步看符号，给出的数依次是负、正、负、正……，也就是奇数位置的数符号为负，偶数位置的数符号为正；第二步看分子，所有给出的数分子都是1；第三步看分母，第一个数分母是1，第二个是2，第三个是3，第四个是4，也就是第几个数，分母就是几。结合这三个规律就能写出对应位置的数了。
【解析】
首先总结数列规律：
1. 符号规律：第奇数个数为负，第偶数个数为正；
2. 分子规律：所有数的分子都是1；
3. 分母规律：数的序号是几，分母就是几。
按照规律推导：
第5个数是奇数位置，符号为负，分子为1，分母为5，即$-\dfrac{1}{5}$；
第6个数是偶数位置，符号为正，分子为1，分母为6，即$\dfrac{1}{6}$；
第2026个数是偶数位置，符号为正，分子为1，分母为2026，即$\dfrac{1}{2026}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{5}$；$\dfrac{1}{6}$；$\dfrac{1}{2026}$
【知识点】
数列规律探究；有理数符号判断
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心是引导学生学会从多个维度（符号、分子、分母）拆分观察数列特征，掌握这类拆分观察的方法后，就能快速找到规律解决问题。
【难度系数】
0.8
11.已知有$A,B,C$三个数集,每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内,$A=\{-2,-3,-8,6,7\},B=\{-3,-5,1,2,6\},C=\{-1,-3,-8,2,5\}$.请把这些数填在图中相应的位置.
答案
解析
【分析】
解题时我们按照“先公共、再两两、最后独有”的顺序思考：第一步先找同时在A、B、C三个数集里都出现的数，填到三个圆重叠的最中心区域；第二步找只同时在两个数集里出现、不在第三个数集里的数，对应填到两个圆重叠、不涉及第三个圆的区域；第三步找只在一个数集里出现的数，填到对应圆不与其他圆重叠的单独区域即可。
【解析】
1. 找三个数集的公共数：对比A、B、C三个数集的元素，只有-3在三个数集里都存在，所以三个圆重叠的中心位置填-3。
2. 找仅两个数集共有的数：
仅同时属于A和B的数：6同时在A、B中，不在C中，所以填到A、B两圆重叠且不与C重叠的区域；
仅同时属于A和C的数：-8同时在A、C中，不在B中，所以填到A、C两圆重叠且不与B重叠的区域；
仅同时属于B和C的数：2同时在B、C中，不在A中，所以填到B、C两圆重叠且不与A重叠的区域。
3. 找每个数集独有的数：
A中剩下的-2、7只在A中，填到A圆不与其他圆重叠的区域；
B中剩下的-5、1只在B中，填到B圆不与其他圆重叠的区域；
C中剩下的-1、5只在C中，填到C圆不与其他圆重叠的区域。
【答案】
【知识点】
韦恩图的应用，公共元素判断
【点评】
本题考查对集合公共元素的识别和韦恩图各区域含义的理解，按照从公共到独有的顺序填数能有效避免漏填、错填，是解决这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时我们按照“先公共、再两两、最后独有”的顺序思考：第一步先找同时在A、B、C三个数集里都出现的数，填到三个圆重叠的最中心区域；第二步找只同时在两个数集里出现、不在第三个数集里的数，对应填到两个圆重叠、不涉及第三个圆的区域；第三步找只在一个数集里出现的数，填到对应圆不与其他圆重叠的单独区域即可。
【解析】
1. 找三个数集的公共数：对比A、B、C三个数集的元素，只有-3在三个数集里都存在，所以三个圆重叠的中心位置填-3。
2. 找仅两个数集共有的数：
仅同时属于A和B的数：6同时在A、B中，不在C中，所以填到A、B两圆重叠且不与C重叠的区域；
仅同时属于A和C的数：-8同时在A、C中，不在B中，所以填到A、C两圆重叠且不与B重叠的区域；
仅同时属于B和C的数：2同时在B、C中，不在A中，所以填到B、C两圆重叠且不与A重叠的区域。
3. 找每个数集独有的数：
A中剩下的-2、7只在A中，填到A圆不与其他圆重叠的区域；
B中剩下的-5、1只在B中，填到B圆不与其他圆重叠的区域；
C中剩下的-1、5只在C中，填到C圆不与其他圆重叠的区域。
【答案】
【知识点】
韦恩图的应用，公共元素判断
【点评】
本题考查对集合公共元素的识别和韦恩图各区域含义的理解，按照从公共到独有的顺序填数能有效避免漏填、错填，是解决这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
12.观察一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，….将这列数排成下列形式.
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是
90
，－201是第15
行从左边数第5
个数.答案
12.90 15 5
解析:因为第9行的最后一个数的绝对值为$9^2=81$，
所以第10行从左边数第9个数的绝对值是$81+9=90$.
因为90是偶数，所以第10行从左边数第9个数是正数，为90.
因为$14^2=196,201-196=5$，所以$-201$是第15行从左边数第5个数.
解析:因为第9行的最后一个数的绝对值为$9^2=81$，
所以第10行从左边数第9个数的绝对值是$81+9=90$.
因为90是偶数，所以第10行从左边数第9个数是正数，为90.
因为$14^2=196,201-196=5$，所以$-201$是第15行从左边数第5个数.
解析
【分析】
解题时先观察数列和排列的两层规律：第一层是数列本身的规律，数的绝对值是从1开始的连续正整数，奇数为负、偶数为正；第二层是排列规律，第n行最后一个数的绝对值等于n²，要找某行某列的数，先算出上一行末尾的数，再向后推导对应个数得到所求数的绝对值，最后判断符号即可。求指定数的位置时，先找比该数绝对值小的最大完全平方数，确定所在行数，再计算是该行第几个数。
【解析】
观察可得规律：①数列中数的绝对值为从1开始的连续正整数，奇数为负，偶数为正；②第n行最后一个数的绝对值为$n^2$。
1. 求第10行从左边数第9个数：
第9行最后一个数的绝对值为$9^2=81$，则第10行从左数第9个数的绝对值为$81+9=90$，90是偶数，符号为正，因此该数为90。
2. 求-201的位置：
计算得$14^2=196$，$15^2=225$，可知第14行最后一个数的绝对值是196，所以绝对值大于196的数在第15行，$201-196=5$，即-201是第15行从左边数第5个数。
【答案】
90；15；5
【知识点】
数字规律探究，有理数的性质
【点评】
本题属于规律探究类常考题，核心考查观察归纳能力，解题关键是发现每行末尾数的绝对值和行数平方的对应关系，结合数列的符号规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察数列和排列的两层规律：第一层是数列本身的规律，数的绝对值是从1开始的连续正整数，奇数为负、偶数为正；第二层是排列规律，第n行最后一个数的绝对值等于n²，要找某行某列的数，先算出上一行末尾的数，再向后推导对应个数得到所求数的绝对值，最后判断符号即可。求指定数的位置时，先找比该数绝对值小的最大完全平方数，确定所在行数，再计算是该行第几个数。
【解析】
观察可得规律：①数列中数的绝对值为从1开始的连续正整数，奇数为负，偶数为正；②第n行最后一个数的绝对值为$n^2$。
1. 求第10行从左边数第9个数：
第9行最后一个数的绝对值为$9^2=81$，则第10行从左数第9个数的绝对值为$81+9=90$，90是偶数，符号为正，因此该数为90。
2. 求-201的位置：
计算得$14^2=196$，$15^2=225$，可知第14行最后一个数的绝对值是196，所以绝对值大于196的数在第15行，$201-196=5$，即-201是第15行从左边数第5个数。
【答案】
90；15；5
【知识点】
数字规律探究，有理数的性质
【点评】
本题属于规律探究类常考题，核心考查观察归纳能力，解题关键是发现每行末尾数的绝对值和行数平方的对应关系，结合数列的符号规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
