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5. 如图是小明家及其周边区域的示意图，已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，$OB=2.5\ \mathrm{cm}$，$OP=4\ \mathrm{cm}$，$C$为$OP$的中点。
（1）图中与小明家距离相同的是哪些地方？
（2）商场$B$、学校$A$、公园$C$、停车场$P$分别在小明家的什么方向？
（3）若学校距离小明家400 m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
（1）图中与小明家距离相同的是哪些地方？
（2）商场$B$、学校$A$、公园$C$、停车场$P$分别在小明家的什么方向？
（3）若学校距离小明家400 m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
答案
5. (1) 学校和公园
(2) 商场B在小明家的北偏西30°方向;学校A在小明家的东北方向;公园C和停车场P在小明家的南偏东60°方向。
(3) 商场、停车场和小明家的距离分别是500 m,800 m。
(2) 商场B在小明家的北偏西30°方向;学校A在小明家的东北方向;公园C和停车场P在小明家的南偏东60°方向。
(3) 商场、停车场和小明家的距离分别是500 m,800 m。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 解决第（1）问：先明确各地点到小明家O点的距离即对应线段长度，利用线段中点性质求出OC的长度，再和其他线段长度对比，相等的就是距离相同的地点。
2. 解决第（2）问：遵循“上北下南、左西右东”的方位规则，结合图中标注的夹角，换算出各地点相对于O点的方向角即可。
3. 解决第（3）问：先根据学校到小明家的实际距离和图上距离求出比例尺，再用比例尺分别乘商场、停车场对应的图上距离，即可得到实际距离。
【解析】
（1）已知C为OP的中点，$OP=4\ \mathrm{cm}$，因此$OC=\frac{1}{2}OP=2\ \mathrm{cm}$，又已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，即$OA=OC$，所以到小明家距离相同的是学校和公园。
（2）根据“上北下南，左西右东”的方位规则：
① 线段OB与正西方向夹角为$60°$，因此与正北方向夹角为$90°-60°=30°$，即商场B在小明家北偏西$30°$方向；
② 线段OA与正东方向夹角为$45°$，即东偏北$45°$，也叫东北方向，因此学校A在小明家东北方向；
③ 线段OP与正东方向夹角为$30°$，因此与正南方向夹角为$90°-30°=60°$，C在OP上，因此公园C和停车场P都在小明家南偏东$60°$方向。
（3）已知学校距离小明家实际距离为400m，对应图上距离$OA=2\ \mathrm{cm}$，因此图上$1\ \mathrm{cm}$代表的实际距离为$400÷2=200\ \mathrm{m}$：
商场对应的图上距离$OB=2.5\ \mathrm{cm}$，实际距离为$2.5×200=500\ \mathrm{m}$；
停车场对应的图上距离$OP=4\ \mathrm{cm}$，实际距离为$4×200=800\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 学校和公园
(2) 商场B在小明家的北偏西30°方向;学校A在小明家的东北方向;公园C和停车场P在小明家的南偏东60°方向。
(3) 商场、停车场和小明家的距离分别是500 m,800 m。
【知识点】
方向角的表示，线段中点的定义，比例尺的应用
【点评】
本题结合生活场景，考查用方向和距离确定物体位置的基础应用，解题的关键是掌握方位角的换算规则和比例尺的计算方法，贴近生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
1. 解决第（1）问：先明确各地点到小明家O点的距离即对应线段长度，利用线段中点性质求出OC的长度，再和其他线段长度对比，相等的就是距离相同的地点。
2. 解决第（2）问：遵循“上北下南、左西右东”的方位规则，结合图中标注的夹角，换算出各地点相对于O点的方向角即可。
3. 解决第（3）问：先根据学校到小明家的实际距离和图上距离求出比例尺，再用比例尺分别乘商场、停车场对应的图上距离，即可得到实际距离。
【解析】
（1）已知C为OP的中点，$OP=4\ \mathrm{cm}$，因此$OC=\frac{1}{2}OP=2\ \mathrm{cm}$，又已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，即$OA=OC$，所以到小明家距离相同的是学校和公园。
（2）根据“上北下南，左西右东”的方位规则：
① 线段OB与正西方向夹角为$60°$，因此与正北方向夹角为$90°-60°=30°$，即商场B在小明家北偏西$30°$方向；
② 线段OA与正东方向夹角为$45°$，即东偏北$45°$，也叫东北方向，因此学校A在小明家东北方向；
③ 线段OP与正东方向夹角为$30°$，因此与正南方向夹角为$90°-30°=60°$，C在OP上，因此公园C和停车场P都在小明家南偏东$60°$方向。
（3）已知学校距离小明家实际距离为400m，对应图上距离$OA=2\ \mathrm{cm}$，因此图上$1\ \mathrm{cm}$代表的实际距离为$400÷2=200\ \mathrm{m}$：
商场对应的图上距离$OB=2.5\ \mathrm{cm}$，实际距离为$2.5×200=500\ \mathrm{m}$；
停车场对应的图上距离$OP=4\ \mathrm{cm}$，实际距离为$4×200=800\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 学校和公园
(2) 商场B在小明家的北偏西30°方向;学校A在小明家的东北方向;公园C和停车场P在小明家的南偏东60°方向。
(3) 商场、停车场和小明家的距离分别是500 m,800 m。
【知识点】
方向角的表示，线段中点的定义，比例尺的应用
【点评】
本题结合生活场景，考查用方向和距离确定物体位置的基础应用，解题的关键是掌握方位角的换算规则和比例尺的计算方法，贴近生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.8
6. 小明同学从运动场的A点出发，先向东走8 m到达B点，再向北走10 m到达C点，然后向西走4 m到达D点，最后向南走7 m到达E点。E，A两点之间的距离是(
A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
C
)。A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
答案
6. C
解析
【分析】
要计算E、A两点的距离，我们可以通过建立平面直角坐标系的方法解决：首先将起点A设为坐标原点，规定向东为x轴正方向、向北为y轴正方向，单位长度对应1m；再根据每一段行走的方向和距离，逐步算出终点E的坐标；最后结合勾股定理，计算原点A到E点的距离即可。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设A点坐标为(0,0)，规定向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，1个单位长度代表实际距离1m。
2. 依次计算各点坐标：
从A向东走8m到B点，B点坐标为(8, 0)；
从B向北走10m到C点，C点坐标为(8, 10)；
从C向西走4m到D点，D点坐标为(8-4, 10)即(4, 10)；
从D向南走7m到E点，E点坐标为(4, 10-7)即(4, 3)。
3. 计算A、E两点的距离：
A为(0,0)，E为(4,3)，两点的水平距离为4m，竖直距离为3m，由勾股定理得：
$ AE = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5(m) $
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系应用，坐标平移，勾股定理
【点评】
本题结合生活中的行走场景，考察了坐标表示位置与勾股定理的综合运用，解题的核心是通过建立坐标系快速确定终点的位置，解题思路清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
要计算E、A两点的距离，我们可以通过建立平面直角坐标系的方法解决：首先将起点A设为坐标原点，规定向东为x轴正方向、向北为y轴正方向，单位长度对应1m；再根据每一段行走的方向和距离，逐步算出终点E的坐标；最后结合勾股定理，计算原点A到E点的距离即可。
【解析】
1. 建立平面直角坐标系：设A点坐标为(0,0)，规定向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，1个单位长度代表实际距离1m。
2. 依次计算各点坐标：
从A向东走8m到B点，B点坐标为(8, 0)；
从B向北走10m到C点，C点坐标为(8, 10)；
从C向西走4m到D点，D点坐标为(8-4, 10)即(4, 10)；
从D向南走7m到E点，E点坐标为(4, 10-7)即(4, 3)。
3. 计算A、E两点的距离：
A为(0,0)，E为(4,3)，两点的水平距离为4m，竖直距离为3m，由勾股定理得：
$ AE = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5(m) $
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系应用，坐标平移，勾股定理
【点评】
本题结合生活中的行走场景，考察了坐标表示位置与勾股定理的综合运用，解题的核心是通过建立坐标系快速确定终点的位置，解题思路清晰，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
7. 体育馆在超市北偏东$50°$方向，距离超市2500 m，则超市在体育馆的
南偏西50°
方向，距离2500 m
处。答案
7. 南偏西50°,2500 m
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要利用位置的相对性来思考：两个地点的相对位置，当观测点互换时，方向是相反的，所偏的角度大小相等，两地之间的距离保持不变。首先明确原题中观测点是超市，现在要判断超市相对于体育馆的位置，观测点换成了体育馆，因此只需要把原方向的对应相反方向找出来，角度不变，距离也不变即可。
【解析】
已知体育馆在超市的北偏东50°方向，距离2500m，此时观测点是超市。
当观测点换成体育馆时，根据位置相对性：
1. 方向相反：“北”的相反方向是“南”，“东”的相反方向是“西”，所以方向对应变为南偏西；
2. 角度相等：偏移的角度还是50°；
3. 距离不变：两地之间的距离仍为2500m。
因此超市在体育馆的南偏西50°方向，距离2500m处。
【答案】
南偏西50°，2500 m
【知识点】
位置的相对性，方向角
【点评】
本题是位置确定的基础题，核心考点是观测点变化时相对位置的变化规律，记住“方向相反、角度相等、距离不变”的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要利用位置的相对性来思考：两个地点的相对位置，当观测点互换时，方向是相反的，所偏的角度大小相等，两地之间的距离保持不变。首先明确原题中观测点是超市，现在要判断超市相对于体育馆的位置，观测点换成了体育馆，因此只需要把原方向的对应相反方向找出来，角度不变，距离也不变即可。
【解析】
已知体育馆在超市的北偏东50°方向，距离2500m，此时观测点是超市。
当观测点换成体育馆时，根据位置相对性：
1. 方向相反：“北”的相反方向是“南”，“东”的相反方向是“西”，所以方向对应变为南偏西；
2. 角度相等：偏移的角度还是50°；
3. 距离不变：两地之间的距离仍为2500m。
因此超市在体育馆的南偏西50°方向，距离2500m处。
【答案】
南偏西50°，2500 m
【知识点】
位置的相对性，方向角
【点评】
本题是位置确定的基础题，核心考点是观测点变化时相对位置的变化规律，记住“方向相反、角度相等、距离不变”的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 某轮船7:00从A地出发向东航行，9:00折向北航行，平均航速为30千米/时。问:10:30该轮船在什么位置?请先画出航线示意图，然后测量轮船相对于A地的方位角，并计算距离。
答案
8. 图略。10:30该轮船在A地约北偏东53°方向,距离为75千米处。
解析
【分析】
解题时首先拆分轮船的航行阶段：第一阶段向东航行，第二阶段向北航行，两个航行方向互相垂直。第一步先根据航行时长和航速分别计算两段航行的路程；第二步由于两段航线垂直，和A地到轮船最终位置的连线构成直角三角形，可利用勾股定理计算A地到轮船的直线距离；第三步根据直角三角形的边长关系计算方位角，即可确定轮船的位置。
【解析】
1. 画航线示意图：先标注起点A，沿向东（水平向右）方向画线段AB，代表7:00-9:00的航线，再从B点沿向北（竖直向上）方向画线段BC，代表9:00-10:30的航线，连接AC即可（图略）。
2. 计算两段航行的路程：
向东航行时长：9:00 - 7:00 = 2小时，路程AB = 30×2 = 60千米；
向北航行时长：10:30 - 9:00 = 1.5小时，路程BC = 30×1.5 = 45千米。
3. 计算A地到轮船的距离：
由东、北方向互相垂直可知△ABC为直角三角形，∠B=90°，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{60^2 + 45^2} = \sqrt{3600 + 2025} = \sqrt{5625} = 75$千米。
4. 计算方位角：
设轮船相对于A地的方位角为北偏东α，在Rt△ABC中，$\tanα = \frac{AB}{BC} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3}$，解得α≈53°。
【答案】
10:30该轮船在A地约北偏东53°方向，距离为75千米处。
【知识点】
勾股定理，方位角，行程公式
【点评】
本题结合了日常航行的实际场景，需要学生先梳理运动过程拆分路程，再结合直角三角形的相关知识求解位置，能很好地考查知识的综合应用能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先拆分轮船的航行阶段：第一阶段向东航行，第二阶段向北航行，两个航行方向互相垂直。第一步先根据航行时长和航速分别计算两段航行的路程；第二步由于两段航线垂直，和A地到轮船最终位置的连线构成直角三角形，可利用勾股定理计算A地到轮船的直线距离；第三步根据直角三角形的边长关系计算方位角，即可确定轮船的位置。
【解析】
1. 画航线示意图：先标注起点A，沿向东（水平向右）方向画线段AB，代表7:00-9:00的航线，再从B点沿向北（竖直向上）方向画线段BC，代表9:00-10:30的航线，连接AC即可（图略）。
2. 计算两段航行的路程：
向东航行时长：9:00 - 7:00 = 2小时，路程AB = 30×2 = 60千米；
向北航行时长：10:30 - 9:00 = 1.5小时，路程BC = 30×1.5 = 45千米。
3. 计算A地到轮船的距离：
由东、北方向互相垂直可知△ABC为直角三角形，∠B=90°，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{60^2 + 45^2} = \sqrt{3600 + 2025} = \sqrt{5625} = 75$千米。
4. 计算方位角：
设轮船相对于A地的方位角为北偏东α，在Rt△ABC中，$\tanα = \frac{AB}{BC} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3}$，解得α≈53°。
【答案】
10:30该轮船在A地约北偏东53°方向，距离为75千米处。
【知识点】
勾股定理，方位角，行程公式
【点评】
本题结合了日常航行的实际场景，需要学生先梳理运动过程拆分路程，再结合直角三角形的相关知识求解位置，能很好地考查知识的综合应用能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
