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6.（多选题）在$△ ABC$中，$P$为边$BC$上一点，且$PB=PC$。下列条件能使$△ ABC$为直角三角形的是（
A.$∠ BAP=∠ ABP$
B.$AP=PC$
C.$∠ PAC=∠ B$
D.$AP⊥ BC$
AB
）。A.$∠ BAP=∠ ABP$
B.$AP=PC$
C.$∠ PAC=∠ B$
D.$AP⊥ BC$
答案
6. AB
解析
【分析】
本题已知P是BC边中点（PB=PC），需判断各选项能否推出△ABC为直角三角形。解题思路：结合等腰三角形“等边对等角、等角对等边”、三角形内角和为180°等知识点，逐个分析选项：对符合条件的选项推导是否存在90°的内角，对不确定的选项可通过举反例排除。
【解析】
已知P为BC上一点，且PB=PC，因此P是BC的中点，即$PB=PC=\frac{1}{2}BC$。
选项A：
∵∠BAP=∠ABP，根据等角对等边可得$AP=PB$，结合$PB=PC$，得$AP=PB=PC$。
∴$∠ B=∠ BAP$，$∠ C=∠ CAP$。在$△ ABC$中，$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$，代入得：$∠ B+∠ BAP+∠ CAP+∠ C=2(∠ BAP+∠ CAP)=180°$，即$∠ BAC=90°$，故$△ ABC$是直角三角形，A符合题意。
选项B：
∵$AP=PC$，结合$PB=PC$，得$AP=PB=PC$，和选项A推导同理，可得$∠ BAC=90°$，故$△ ABC$是直角三角形，B符合题意。
选项C：举反例：若$∠ B=∠ PAC=30°$，$∠ C=70°$，则$∠ APC=180°-30°-70°=80°$，$∠ APB=180°-80°=100°$，在$△ ABP$中，$∠ BAP=180°-∠ B-∠ APB=50°$，因此$∠ BAC=50°+30°=80°≠90°$，此时$△ ABC$不是直角三角形，C不符合题意。
选项D：
∵$AP⊥ BC$且$PB=PC$，
∴AP是BC的垂直平分线，可得$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，不一定是直角三角形（如等边三角形取BC中点P，$AP⊥ BC$，但$△ ABC$不是直角三角形），D不符合题意。
综上，符合条件的是AB。
【答案】
AB
【知识点】
直角三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题时需紧扣已知条件推导结论，举反例是快速排除错误选项的常用技巧，要注意区分等腰三角形和直角三角形的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.7
本题已知P是BC边中点（PB=PC），需判断各选项能否推出△ABC为直角三角形。解题思路：结合等腰三角形“等边对等角、等角对等边”、三角形内角和为180°等知识点，逐个分析选项：对符合条件的选项推导是否存在90°的内角，对不确定的选项可通过举反例排除。
【解析】
已知P为BC上一点，且PB=PC，因此P是BC的中点，即$PB=PC=\frac{1}{2}BC$。
选项A：
∵∠BAP=∠ABP，根据等角对等边可得$AP=PB$，结合$PB=PC$，得$AP=PB=PC$。
∴$∠ B=∠ BAP$，$∠ C=∠ CAP$。在$△ ABC$中，$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$，代入得：$∠ B+∠ BAP+∠ CAP+∠ C=2(∠ BAP+∠ CAP)=180°$，即$∠ BAC=90°$，故$△ ABC$是直角三角形，A符合题意。
选项B：
∵$AP=PC$，结合$PB=PC$，得$AP=PB=PC$，和选项A推导同理，可得$∠ BAC=90°$，故$△ ABC$是直角三角形，B符合题意。
选项C：举反例：若$∠ B=∠ PAC=30°$，$∠ C=70°$，则$∠ APC=180°-30°-70°=80°$，$∠ APB=180°-80°=100°$，在$△ ABP$中，$∠ BAP=180°-∠ B-∠ APB=50°$，因此$∠ BAC=50°+30°=80°≠90°$，此时$△ ABC$不是直角三角形，C不符合题意。
选项D：
∵$AP⊥ BC$且$PB=PC$，
∴AP是BC的垂直平分线，可得$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，不一定是直角三角形（如等边三角形取BC中点P，$AP⊥ BC$，但$△ ABC$不是直角三角形），D不符合题意。
综上，符合条件的是AB。
【答案】
AB
【知识点】
直角三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题时需紧扣已知条件推导结论，举反例是快速排除错误选项的常用技巧，要注意区分等腰三角形和直角三角形的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边AC,AB上。若∠B=∠ADE,有下列说法:
①∠AED=90°;②∠A与∠ADE互为余角;
③BC=BE;④∠CDE与∠B互为补角。
其中说法正确的有
①∠AED=90°;②∠A与∠ADE互为余角;
③BC=BE;④∠CDE与∠B互为补角。
其中说法正确的有
①②④
。答案
7. ①②④
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形内角和的特征，结合已知∠B=∠ADE的等量关系，逐一验证四个结论：先推导△ABC中∠A与∠B的和，再代入△ADE中判断角的度数、互余关系；再看是否有足够条件判定边相等；最后利用邻补角的性质判断补角关系即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 90°$
① 在△ADE中，$∠ A + ∠ ADE + ∠ AED = 180°$，已知$∠ B = ∠ ADE$，代入得$∠ A + ∠ B + ∠ AED = 180°$，结合$∠ A + ∠ B = 90°$，可得$∠ AED = 90°$，故①正确；
② 由$∠ B = ∠ ADE$，$∠ A + ∠ B = 90°$，可得$∠ A + ∠ ADE = 90°$，根据余角定义，∠A与∠ADE互为余角，故②正确；
③ 题中没有给出对应边相等的相关条件，无法证明$BC=BE$，故③错误；
④ 由邻补角的性质可得$∠ ADE + ∠ CDE = 180°$，结合$∠ B = ∠ ADE$，等量代换得$∠ CDE + ∠ B = 180°$，根据补角定义，∠CDE与∠B互为补角，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形内角和定理，余角与补角的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查角的关系判定，核心是利用已知等角条件进行等量代换，结合三角形内角和、邻补角的性质推导结论，要注意没有足够依据时不能随意判定两条边相等。
【难度系数】
0.75
解题时先利用直角三角形内角和的特征，结合已知∠B=∠ADE的等量关系，逐一验证四个结论：先推导△ABC中∠A与∠B的和，再代入△ADE中判断角的度数、互余关系；再看是否有足够条件判定边相等；最后利用邻补角的性质判断补角关系即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 90°$
① 在△ADE中，$∠ A + ∠ ADE + ∠ AED = 180°$，已知$∠ B = ∠ ADE$，代入得$∠ A + ∠ B + ∠ AED = 180°$，结合$∠ A + ∠ B = 90°$，可得$∠ AED = 90°$，故①正确；
② 由$∠ B = ∠ ADE$，$∠ A + ∠ B = 90°$，可得$∠ A + ∠ ADE = 90°$，根据余角定义，∠A与∠ADE互为余角，故②正确；
③ 题中没有给出对应边相等的相关条件，无法证明$BC=BE$，故③错误；
④ 由邻补角的性质可得$∠ ADE + ∠ CDE = 180°$，结合$∠ B = ∠ ADE$，等量代换得$∠ CDE + ∠ B = 180°$，根据补角定义，∠CDE与∠B互为补角，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形内角和定理，余角与补角的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查角的关系判定，核心是利用已知等角条件进行等量代换，结合三角形内角和、邻补角的性质推导结论，要注意没有足够依据时不能随意判定两条边相等。
【难度系数】
0.75
8. 已知:如图,AD,BF分别是△ABC的高线与角平分线,BF与AD交于点E,∠1=∠2。求证:△ABC是直角三角形。
答案
8. 因为∠1=∠2,∠1=∠BED,所以∠2=∠BED。因为 BF 平分∠ABC,所以∠ABF=∠CBF。因为 AD⊥BC,所以∠CBF+∠BED=90°。所以∠ABF+∠2=90°,即△ABC 为直角三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC是直角三角形，核心是证明△ABC中有一个内角为90°，结合已知条件我们可以通过角的等量代换推导∠BAC=90°：首先利用对顶角相等的性质，把已知的∠1=∠2转化为∠2=∠BED；再结合角平分线的定义得到∠ABF=∠CBF；接着根据AD是高线可知△BDE是直角三角形，两个锐角互余，即∠CBF+∠BED=90°；最后通过两次等量代换就能得到∠ABF+∠2=90°，即可推出∠BAC=90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1=∠2（已知），∠1=∠BED（对顶角相等），
∴ ∠2=∠BED（等量代换）。
∵ BF是△ABC的角平分线（已知），
∴ ∠ABF=∠CBF（角平分线的定义）。
∵ AD是△ABC的高线，即AD⊥BC（已知），
∴ △BDE是直角三角形，
∴ ∠CBF+∠BED=90°（直角三角形两锐角互余）。
将∠CBF替换为∠ABF，∠BED替换为∠2，可得：
∠ABF+∠2=90°，
∴ ∠BAC=180°-(∠ABF+∠2)=90°，
∴ △ABC为直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形。
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查角的等量代换逻辑，综合了对顶角、角平分线、直角三角形的相关性质，能够帮助学生巩固几何证明的规范书写，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是直角三角形，核心是证明△ABC中有一个内角为90°，结合已知条件我们可以通过角的等量代换推导∠BAC=90°：首先利用对顶角相等的性质，把已知的∠1=∠2转化为∠2=∠BED；再结合角平分线的定义得到∠ABF=∠CBF；接着根据AD是高线可知△BDE是直角三角形，两个锐角互余，即∠CBF+∠BED=90°；最后通过两次等量代换就能得到∠ABF+∠2=90°，即可推出∠BAC=90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1=∠2（已知），∠1=∠BED（对顶角相等），
∴ ∠2=∠BED（等量代换）。
∵ BF是△ABC的角平分线（已知），
∴ ∠ABF=∠CBF（角平分线的定义）。
∵ AD是△ABC的高线，即AD⊥BC（已知），
∴ △BDE是直角三角形，
∴ ∠CBF+∠BED=90°（直角三角形两锐角互余）。
将∠CBF替换为∠ABF，∠BED替换为∠2，可得：
∠ABF+∠2=90°，
∴ ∠BAC=180°-(∠ABF+∠2)=90°，
∴ △ABC为直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形。
【知识点】
1. 对顶角的性质
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查角的等量代换逻辑，综合了对顶角、角平分线、直角三角形的相关性质，能够帮助学生巩固几何证明的规范书写，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
9. 如图,已知∠AON=60°,AO=10,P是射线ON上一动点。
（1）当OP=
（2）设OP=x,则x满足
（1）当OP=
5或20
时,△AOP为直角三角形。（2）设OP=x,则x满足
0＜x＜5或x＞20
时,△AOP为钝角三角形。答案
9. （1）5或20 （2）0＜x＜5或x＞20
解析
【分析】
本题需结合三角形按角分类的特点，用分类讨论思想求解：
（1）△AOP为直角三角形时，已知∠AON=60°不可能为直角，因此需分两种情况讨论：直角顶点为P、直角顶点为A，结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算OP长度；
（2）△AOP为钝角三角形时，同样分钝角顶点为P、钝角顶点为A两种情况，结合第一问的临界值确定x的取值范围，注意OP为线段长度，取值大于0。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
① 当∠APO=90°时，△AOP为直角三角形，
∵∠AON=60°，
∴∠OAP=90°-60°=30°，
在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴OP=½AO=½×10=5；
② 当∠OAP=90°时，△AOP为直角三角形，
∵∠AON=60°，
∴∠APO=90°-60°=30°，
在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴OP=2AO=2×10=20；
综上，OP为5或20时，△AOP为直角三角形。
（2）分两种情况讨论：
① 当∠APO为钝角时，点P在OP=5的左侧（不含端点），此时0＜x＜5；
② 当∠OAP为钝角时，点P在OP=20的右侧（不含端点），此时x＞20；
综上，当0＜x＜5或x＞20时，△AOP为钝角三角形。
【答案】
（1）5或20；（2）0＜x＜5或x＞20
【知识点】
直角三角形30°角性质，分类讨论思想，钝角三角形定义
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意当三角形的特殊角（直角、钝角）顶点未明确时，需对所有可能的情况逐一分析，避免漏解，是三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题需结合三角形按角分类的特点，用分类讨论思想求解：
（1）△AOP为直角三角形时，已知∠AON=60°不可能为直角，因此需分两种情况讨论：直角顶点为P、直角顶点为A，结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算OP长度；
（2）△AOP为钝角三角形时，同样分钝角顶点为P、钝角顶点为A两种情况，结合第一问的临界值确定x的取值范围，注意OP为线段长度，取值大于0。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
① 当∠APO=90°时，△AOP为直角三角形，
∵∠AON=60°，
∴∠OAP=90°-60°=30°，
在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴OP=½AO=½×10=5；
② 当∠OAP=90°时，△AOP为直角三角形，
∵∠AON=60°，
∴∠APO=90°-60°=30°，
在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴OP=2AO=2×10=20；
综上，OP为5或20时，△AOP为直角三角形。
（2）分两种情况讨论：
① 当∠APO为钝角时，点P在OP=5的左侧（不含端点），此时0＜x＜5；
② 当∠OAP为钝角时，点P在OP=20的右侧（不含端点），此时x＞20；
综上，当0＜x＜5或x＞20时，△AOP为钝角三角形。
【答案】
（1）5或20；（2）0＜x＜5或x＞20
【知识点】
直角三角形30°角性质，分类讨论思想，钝角三角形定义
【点评】
本题核心考查分类讨论思想的应用，解题时要注意当三角形的特殊角（直角、钝角）顶点未明确时，需对所有可能的情况逐一分析，避免漏解，是三角形性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
