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1.若单项式$-6x^{3}y^{m-1}$与$\frac{1}{3}x^{n+1}y^{2}$的和仍为单项式，则$mn$的值是。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式属于同类项，可以合并同类项。根据同类项的判定规则：所含字母完全相同，且相同字母的指数也分别相等，我们可以分别列出关于m和n的一元一次方程，求解出m、n的取值后代入mn计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$-6x^{3}y^{m-1}$与$\frac{1}{3}x^{n+1}y^{2}$的和仍为单项式
∴两个单项式为同类项，相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}n+1=3\\m-1=2\end{cases}$
分别求解两个方程：
由$n+1=3$，得$n=3-1=2$
由$m-1=2$，得$m=2+1=3$
将$m=3$，$n=2$代入$mn$计算：
$mn=3×2=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1.同类项的定义
2.代数式求值
【点评】
本题解题的关键是理解“两个单项式的和仍为单项式”的含义，即两个单项式为同类项，侧重考查基础概念的理解与简单应用，只要掌握同类项的判定规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式属于同类项，可以合并同类项。根据同类项的判定规则：所含字母完全相同，且相同字母的指数也分别相等，我们可以分别列出关于m和n的一元一次方程，求解出m、n的取值后代入mn计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$-6x^{3}y^{m-1}$与$\frac{1}{3}x^{n+1}y^{2}$的和仍为单项式
∴两个单项式为同类项，相同字母的指数对应相等，可得：
$\begin{cases}n+1=3\\m-1=2\end{cases}$
分别求解两个方程：
由$n+1=3$，得$n=3-1=2$
由$m-1=2$，得$m=2+1=3$
将$m=3$，$n=2$代入$mn$计算：
$mn=3×2=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1.同类项的定义
2.代数式求值
【点评】
本题解题的关键是理解“两个单项式的和仍为单项式”的含义，即两个单项式为同类项，侧重考查基础概念的理解与简单应用，只要掌握同类项的判定规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2.若代数式$x - 5$的值与$2x - 1$的值相等，则$x$的值为。
答案
解：根据题意列方程，得
$x - 5 = 2x - 1$
移项，得
$x - 2x = -1 + 5$
合并同类项，得
$-x = 4$
系数化为1，得
$x = -4$
$x - 5 = 2x - 1$
移项，得
$x - 2x = -1 + 5$
合并同类项，得
$-x = 4$
系数化为1，得
$x = -4$
解析
【分析】
题目明确给出两个代数式的值相等，我们可依据这一等量关系列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤：移项、合并同类项、系数化为1，逐步计算即可得到x的值。
【解析】
解：根据题意列方程，得
$x - 5 = 2x - 1$
移项，得
$x - 2x = -1 + 5$
合并同类项，得
$-x = 4$
系数化为1，得
$x = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题目，主要考查根据题意建立等量关系列方程的能力，以及一元一次方程的求解能力，熟练掌握解方程的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
题目明确给出两个代数式的值相等，我们可依据这一等量关系列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤：移项、合并同类项、系数化为1，逐步计算即可得到x的值。
【解析】
解：根据题意列方程，得
$x - 5 = 2x - 1$
移项，得
$x - 2x = -1 + 5$
合并同类项，得
$-x = 4$
系数化为1，得
$x = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题目，主要考查根据题意建立等量关系列方程的能力，以及一元一次方程的求解能力，熟练掌握解方程的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.已知|a−b|=2，当b=1时，a=。。
答案
解：
将$ b=1 $代入$ |a-b|=2 $，可得
$ |a-1|=2 $
根据绝对值的意义，得
$ a-1=2 $ 或 $ a-1=-2 $
当$ a-1=2 $时，解得$ a=3 $；
当$ a-1=-2 $时，解得$ a=-1 $。
所以$ a=3 $或$ -1 $。
将$ b=1 $代入$ |a-b|=2 $，可得
$ |a-1|=2 $
根据绝对值的意义，得
$ a-1=2 $ 或 $ a-1=-2 $
当$ a-1=2 $时，解得$ a=3 $；
当$ a-1=-2 $时，解得$ a=-1 $。
所以$ a=3 $或$ -1 $。
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件，第一步先将b=1代入给出的绝对值等式，得到只含有未知数a的绝对值方程；再根据绝对值的性质：若|x|=m（m＞0），则x=m或x=-m，分两种情况列一元一次方程求解，即可得到a的取值，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
解：将$ b=1 $代入$ |a-b|=2 $，可得
$ |a-1|=2 $
根据绝对值的意义，绝对值等于2的数为2或-2，因此：
$ a-1=2 $ 或 $ a-1=-2 $
当$ a-1=2 $时，解得$ a=3 $；
当$ a-1=-2 $时，解得$ a=-1 $。
【答案】
3或-1
【知识点】
绝对值的性质，代入求值，一元一次方程求解
【点评】
本题考查绝对值的基础应用，解题需运用分类讨论思想，注意绝对值等于正数的数有两个，避免只计算正数情况导致漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件，第一步先将b=1代入给出的绝对值等式，得到只含有未知数a的绝对值方程；再根据绝对值的性质：若|x|=m（m＞0），则x=m或x=-m，分两种情况列一元一次方程求解，即可得到a的取值，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
解：将$ b=1 $代入$ |a-b|=2 $，可得
$ |a-1|=2 $
根据绝对值的意义，绝对值等于2的数为2或-2，因此：
$ a-1=2 $ 或 $ a-1=-2 $
当$ a-1=2 $时，解得$ a=3 $；
当$ a-1=-2 $时，解得$ a=-1 $。
【答案】
3或-1
【知识点】
绝对值的性质，代入求值，一元一次方程求解
【点评】
本题考查绝对值的基础应用，解题需运用分类讨论思想，注意绝对值等于正数的数有两个，避免只计算正数情况导致漏解。
【难度系数】
0.8
4.已知关于x的方程$kx - x = 7$的解为正整数，k也为正整数，则所有满足条件的k的值的和为。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需将含参数k的一元一次方程变形，用含k的代数式表示出x。根据“解为正整数、k也为正整数”的条件，可知x的分母（k-1）是分子7的正因数，由此列举所有符合条件的因数，求出对应的k值后相加即可。
【解析】
第一步：化简方程
对$kx - x = 7$合并同类项，得：
$(k-1)x = 7$
第二步：用含k的代数式表示x
因为方程是关于x的一元一次方程，所以$k-1≠ 0$，系数化为1得：
$x=\frac{7}{k-1}$
第三步：根据条件确定k的取值
已知x是正整数，k也是正整数，因此$k-1$是7的正因数。
7的正因数为1、7，分情况讨论：
①当$k-1=1$时，解得$k=2$，此时$x=7$，符合条件；
②当$k-1=7$时，解得$k=8$，此时$x=1$，符合条件。
第四步：计算满足条件的k的和
$2+8=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 正因数的应用
3. 整数解问题处理
【点评】
本题属于含参数一元一次方程的整数解类题型，解题核心是将参数与解的关系转化为因数整除问题，解题时需注意同时满足k和x均为正整数的要求，避免出现漏解或错解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需将含参数k的一元一次方程变形，用含k的代数式表示出x。根据“解为正整数、k也为正整数”的条件，可知x的分母（k-1）是分子7的正因数，由此列举所有符合条件的因数，求出对应的k值后相加即可。
【解析】
第一步：化简方程
对$kx - x = 7$合并同类项，得：
$(k-1)x = 7$
第二步：用含k的代数式表示x
因为方程是关于x的一元一次方程，所以$k-1≠ 0$，系数化为1得：
$x=\frac{7}{k-1}$
第三步：根据条件确定k的取值
已知x是正整数，k也是正整数，因此$k-1$是7的正因数。
7的正因数为1、7，分情况讨论：
①当$k-1=1$时，解得$k=2$，此时$x=7$，符合条件；
②当$k-1=7$时，解得$k=8$，此时$x=1$，符合条件。
第四步：计算满足条件的k的和
$2+8=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 正因数的应用
3. 整数解问题处理
【点评】
本题属于含参数一元一次方程的整数解类题型，解题核心是将参数与解的关系转化为因数整除问题，解题时需注意同时满足k和x均为正整数的要求，避免出现漏解或错解。
【难度系数】
0.6
5.某种商品每件的进价为120元，标价为180元。为了增加销量，商店准备打折销售。若使利润率为20%，则商店应打折。
答案
解：设商店应打x折。
根据题意列方程：
$180×\frac{x}{10}=120×(1+20\%)$
化简得：$18x=144$
解得：$x=8$
答：商店应打8折。
根据题意列方程：
$180×\frac{x}{10}=120×(1+20\%)$
化简得：$18x=144$
解得：$x=8$
答：商店应打8折。
解析
【分析】
解题时首先要找到等量关系：商品打折后的实际售价 = 进价×(1+利润率)。首先明确打折的含义：打x折时，实际售价为标价乘$\frac{x}{10}$；其次，利润率为20%时，售价可通过进价乘(1+20%)计算，根据两个售价相等即可列一元一次方程求解。
【解析】
解：设商店应打x折。
根据题意列方程：
$180×\frac{x}{10}=120×(1+20\%)$
化简得：$18x=144$
解得：$x=8$
【答案】
8
【知识点】
一元一次方程的应用、利润率计算、打折销售
【点评】
本题是典型的销售类应用题，解题的关键是找准等量关系，正确理解打折的含义和利润率的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要找到等量关系：商品打折后的实际售价 = 进价×(1+利润率)。首先明确打折的含义：打x折时，实际售价为标价乘$\frac{x}{10}$；其次，利润率为20%时，售价可通过进价乘(1+20%)计算，根据两个售价相等即可列一元一次方程求解。
【解析】
解：设商店应打x折。
根据题意列方程：
$180×\frac{x}{10}=120×(1+20\%)$
化简得：$18x=144$
解得：$x=8$
【答案】
8
【知识点】
一元一次方程的应用、利润率计算、打折销售
【点评】
本题是典型的销售类应用题，解题的关键是找准等量关系，正确理解打折的含义和利润率的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 解方程。
(1) $4x + 3(2x - 3) = 12 - (x - 4)$；
(2) $\frac{x + 1}{4} - 1 = \frac{2x - 1}{6}$；
(3) $\frac{x}{0.7} - \frac{0.17 - 0.2x}{0.03} = 1$。
(1) $4x + 3(2x - 3) = 12 - (x - 4)$；
(2) $\frac{x + 1}{4} - 1 = \frac{2x - 1}{6}$；
(3) $\frac{x}{0.7} - \frac{0.17 - 0.2x}{0.03} = 1$。
答案
解：
(1) 去括号，得
$4x + 6x - 9 = 12 - x + 4$
移项，得
$4x + 6x + x = 12 + 4 + 9$
合并同类项，得
$11x = 25$
系数化为1，得
$x = \frac{25}{11}$
(2) 去分母（两边同乘12），得
$3(x+1) - 12 = 2(2x - 1)$
去括号，得
$3x + 3 - 12 = 4x - 2$
移项，得
$3x - 4x = -2 - 3 + 12$
合并同类项，得
$-x = 7$
系数化为1，得
$x = -7$
(3) 将分母化为整数，原方程变形为
$\frac{10x}{7} - \frac{17 - 20x}{3} = 1$
去分母（两边同乘21），得
$30x - 7(17 - 20x) = 21$
去括号，得
$30x - 119 + 140x = 21$
移项、合并同类项，得
$170x = 140$
系数化为1，得
$x = \frac{14}{17}$
(1) 去括号，得
$4x + 6x - 9 = 12 - x + 4$
移项，得
$4x + 6x + x = 12 + 4 + 9$
合并同类项，得
$11x = 25$
系数化为1，得
$x = \frac{25}{11}$
(2) 去分母（两边同乘12），得
$3(x+1) - 12 = 2(2x - 1)$
去括号，得
$3x + 3 - 12 = 4x - 2$
移项，得
$3x - 4x = -2 - 3 + 12$
合并同类项，得
$-x = 7$
系数化为1，得
$x = -7$
(3) 将分母化为整数，原方程变形为
$\frac{10x}{7} - \frac{17 - 20x}{3} = 1$
去分母（两边同乘21），得
$30x - 7(17 - 20x) = 21$
去括号，得
$30x - 119 + 140x = 21$
移项、合并同类项，得
$170x = 140$
系数化为1，得
$x = \frac{14}{17}$
解析
【分析】
这三道题均为一元一次方程求解，遵循一元一次方程的通用解题思路逐步推导：①对于带括号的方程（如第(1)题），先利用去括号法则去掉括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号；②对于含普通分数分母的方程（如第(2)题），先找各分母的最小公倍数，利用等式的性质两边同乘最小公倍数去分母，注意不要漏乘没有分母的常数项；③对于含小数分母的方程（如第(3)题），先利用分数的基本性质，将分子分母同乘相应的整十、整百数，把分母化为整数后，再按常规步骤求解，每一步需注意符号变化，避免计算错误。
【解析】
(1) 去括号，得
$4x + 6x - 9 = 12 - x + 4$
移项，得
$4x + 6x + x = 12 + 4 + 9$
合并同类项，得
$11x = 25$
系数化为1，得
$x = \frac{25}{11}$
(2) 去分母（两边同乘12），得
$3(x+1) - 12 = 2(2x - 1)$
去括号，得
$3x + 3 - 12 = 4x - 2$
移项，得
$3x - 4x = -2 - 3 + 12$
合并同类项，得
$-x = 7$
系数化为1，得
$x = -7$
(3) 将分母化为整数，原方程变形为
$\frac{10x}{7} - \frac{17 - 20x}{3} = 1$
去分母（两边同乘21），得
$30x - 7(17 - 20x) = 21$
去括号，得
$30x - 119 + 140x = 21$
移项、合并同类项，得
$170x = 140$
系数化为1，得
$x = \frac{14}{17}$
【答案】
(1) $x=\frac{25}{11}$；(2) $x=-7$；(3) $x=\frac{14}{17}$
【知识点】
一元一次方程解法，等式的性质，去括号法则
【点评】
三道题覆盖了一元一次方程的常见考查形式，分别对应带括号、带分数分母、带小数分母的类型，解题的易错点在于去括号时的符号变化、去分母时漏乘常数项、小数化整数时混淆分数性质和等式性质，计算时需仔细核对每一步。
【难度系数】
0.7
这三道题均为一元一次方程求解，遵循一元一次方程的通用解题思路逐步推导：①对于带括号的方程（如第(1)题），先利用去括号法则去掉括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号；②对于含普通分数分母的方程（如第(2)题），先找各分母的最小公倍数，利用等式的性质两边同乘最小公倍数去分母，注意不要漏乘没有分母的常数项；③对于含小数分母的方程（如第(3)题），先利用分数的基本性质，将分子分母同乘相应的整十、整百数，把分母化为整数后，再按常规步骤求解，每一步需注意符号变化，避免计算错误。
【解析】
(1) 去括号，得
$4x + 6x - 9 = 12 - x + 4$
移项，得
$4x + 6x + x = 12 + 4 + 9$
合并同类项，得
$11x = 25$
系数化为1，得
$x = \frac{25}{11}$
(2) 去分母（两边同乘12），得
$3(x+1) - 12 = 2(2x - 1)$
去括号，得
$3x + 3 - 12 = 4x - 2$
移项，得
$3x - 4x = -2 - 3 + 12$
合并同类项，得
$-x = 7$
系数化为1，得
$x = -7$
(3) 将分母化为整数，原方程变形为
$\frac{10x}{7} - \frac{17 - 20x}{3} = 1$
去分母（两边同乘21），得
$30x - 7(17 - 20x) = 21$
去括号，得
$30x - 119 + 140x = 21$
移项、合并同类项，得
$170x = 140$
系数化为1，得
$x = \frac{14}{17}$
【答案】
(1) $x=\frac{25}{11}$；(2) $x=-7$；(3) $x=\frac{14}{17}$
【知识点】
一元一次方程解法，等式的性质，去括号法则
【点评】
三道题覆盖了一元一次方程的常见考查形式，分别对应带括号、带分数分母、带小数分母的类型，解题的易错点在于去括号时的符号变化、去分母时漏乘常数项、小数化整数时混淆分数性质和等式性质，计算时需仔细核对每一步。
【难度系数】
0.7
7. 提升题某商场在“购物节”期间搞促销活动，活动规则如下：
①购物金额不超过100元不予优惠；
②购物金额超过100元但不足500元的，全部打九折；
③购物金额不少于500元的，其中500元的部分打九折，超过500元的部分打八折。
（1）小丽第一次购得商品的标价为200元，按活动规定，她实际付款金额为元。
（2）小丽第二次购物实际花费了490元，则第二次所购商品的标价为多少元？（请利用一元一次方程解答）
（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？
①购物金额不超过100元不予优惠；
②购物金额超过100元但不足500元的，全部打九折；
③购物金额不少于500元的，其中500元的部分打九折，超过500元的部分打八折。
（1）小丽第一次购得商品的标价为200元，按活动规定，她实际付款金额为元。
（2）小丽第二次购物实际花费了490元，则第二次所购商品的标价为多少元？（请利用一元一次方程解答）
（3）若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？
答案
解：
(1) 180
(2) 购物金额为500元时，实际付款为$500×0.9=450$元，
因为$490＞450$，所以第二次所购商品标价不少于500元。
设第二次所购商品的标价为$x$元，根据题意得：
$500×0.9 + 0.8(x-500)=490$
$450 + 0.8x - 400 = 490$
$0.8x = 440$
$x=550$
答：第二次所购商品的标价为550元。
(3) 将两次购得的商品合为一次购买更省钱，理由如下：
两次商品总标价为$200+550=750$元，
合为一次购买的实际付款为：
$500×0.9 + (750-500)×0.8=450+200=650\mathrm{元}$
两次分开购买的总付款为$180+490=670$元，
因为$650＜670$，所以合为一次购买更省钱。
(1) 180
(2) 购物金额为500元时，实际付款为$500×0.9=450$元，
因为$490＞450$，所以第二次所购商品标价不少于500元。
设第二次所购商品的标价为$x$元，根据题意得：
$500×0.9 + 0.8(x-500)=490$
$450 + 0.8x - 400 = 490$
$0.8x = 440$
$x=550$
答：第二次所购商品的标价为550元。
(3) 将两次购得的商品合为一次购买更省钱，理由如下：
两次商品总标价为$200+550=750$元，
合为一次购买的实际付款为：
$500×0.9 + (750-500)×0.8=450+200=650\mathrm{元}$
两次分开购买的总付款为$180+490=670$元，
因为$650＜670$，所以合为一次购买更省钱。
解析
【分析】
（1）第一问中商品标价200元，符合活动规则②“超过100元但不足500元全部打九折”的要求，直接用标价乘以折扣即可算出实际付款金额。
（2）第二问首先需要判断实际花费490元对应的优惠区间：先计算标价500元时的实际付款为450元，490元大于450元，说明第二次商品标价超过500元，对应规则③。再设标价为x元，根据“500元部分的折扣费用+超出500元部分的折扣费用=实际付款”的等量关系列一元一次方程，解方程即可求出标价。
（3）第三问要判断合买是否更省钱，只需分别算出两次分开购买的总花费、两次商品合买的总花费，对比两个花费的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 200元符合超过100元不足500元打九折的规则，实际付款：$200×0.9=180$元。
(2) 先计算购物金额为500元时的实际付款：$500×0.9=450$元，因为$490＞450$，所以第二次所购商品标价不少于500元。
设第二次所购商品的标价为$x$元，根据题意列方程：
$500×0.9 + 0.8(x-500)=490$
化简得：$450 + 0.8x - 400 = 490$
移项合并得：$0.8x = 440$
解得：$x=550$
(3) 两次分开购买的总付款：$180+490=670$元
两次商品总标价：$200+550=750$元
合为一次购买的实际付款：
$500×0.9 + (750-500)×0.8=450+200=650$元
因为$650＜670$，所以合为一次购买更省钱。
【答案】
(1) 180；(2) 550元；(3) 合为一次购买更省钱，理由见解析。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 分段计费问题 3. 打折销售计算
【点评】
本题是贴近生活的促销优惠类实际应用题，解题关键是先明确不同消费区间对应的优惠规则，准确判断费用所属区间后再列式或列方程计算，能有效考查学生利用数学知识分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问中商品标价200元，符合活动规则②“超过100元但不足500元全部打九折”的要求，直接用标价乘以折扣即可算出实际付款金额。
（2）第二问首先需要判断实际花费490元对应的优惠区间：先计算标价500元时的实际付款为450元，490元大于450元，说明第二次商品标价超过500元，对应规则③。再设标价为x元，根据“500元部分的折扣费用+超出500元部分的折扣费用=实际付款”的等量关系列一元一次方程，解方程即可求出标价。
（3）第三问要判断合买是否更省钱，只需分别算出两次分开购买的总花费、两次商品合买的总花费，对比两个花费的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 200元符合超过100元不足500元打九折的规则，实际付款：$200×0.9=180$元。
(2) 先计算购物金额为500元时的实际付款：$500×0.9=450$元，因为$490＞450$，所以第二次所购商品标价不少于500元。
设第二次所购商品的标价为$x$元，根据题意列方程：
$500×0.9 + 0.8(x-500)=490$
化简得：$450 + 0.8x - 400 = 490$
移项合并得：$0.8x = 440$
解得：$x=550$
(3) 两次分开购买的总付款：$180+490=670$元
两次商品总标价：$200+550=750$元
合为一次购买的实际付款：
$500×0.9 + (750-500)×0.8=450+200=650$元
因为$650＜670$，所以合为一次购买更省钱。
【答案】
(1) 180；(2) 550元；(3) 合为一次购买更省钱，理由见解析。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 分段计费问题 3. 打折销售计算
【点评】
本题是贴近生活的促销优惠类实际应用题，解题关键是先明确不同消费区间对应的优惠规则，准确判断费用所属区间后再列式或列方程计算，能有效考查学生利用数学知识分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
