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例1 计算：
(1) $(\dfrac{5}{3y})^2$； (2) $(\dfrac{3x^2 y}{-5z^3})^3$.
【思路导析】计算分式的乘方，需将分子、分母分别乘方.
【请你解答】
(1) $(\dfrac{5}{3y})^2$； (2) $(\dfrac{3x^2 y}{-5z^3})^3$.
【思路导析】计算分式的乘方，需将分子、分母分别乘方.
【请你解答】
答案
解：
(1) 原式$=\dfrac{5^2}{(3y)^2}$
$=\dfrac{25}{9y^2}$
(2) 原式$=\dfrac{(3x^2 y)^3}{(-5z^3)^3}$
$=\dfrac{3^3 · (x^2)^3 · y^3}{(-5)^3 · (z^3)^3}$
$=\dfrac{27x^6 y^3}{-125z^9}$
$=-\dfrac{27x^6 y^3}{125z^9}$
(1) 原式$=\dfrac{5^2}{(3y)^2}$
$=\dfrac{25}{9y^2}$
(2) 原式$=\dfrac{(3x^2 y)^3}{(-5z^3)^3}$
$=\dfrac{3^3 · (x^2)^3 · y^3}{(-5)^3 · (z^3)^3}$
$=\dfrac{27x^6 y^3}{-125z^9}$
$=-\dfrac{27x^6 y^3}{125z^9}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘方运算，解题思路如下：首先依据分式乘方的运算法则，将分式的分子、分母分别进行乘方运算；其次对分子、分母中属于积的形式的整式，运用积的乘方法则，把每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；计算过程中遇到幂的乘方时，遵循“底数不变，指数相乘”的规则，最后注意符号的化简，将结果整理为最简形式即可。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方：
原式$=\dfrac{5^2}{(3y)^2}$
分别计算分子、分母的乘方，其中$(3y)^2=3^2 · y^2=9y^2$：
$=\dfrac{25}{9y^2}$
(2) 同理先运用分式乘方法则，分子、分母分别乘方：
原式$=\dfrac{(3x^2 y)^3}{(-5z^3)^3}$
再运用积的乘方、幂的乘方法则展开分子、分母：
$=\dfrac{3^3 · (x^2)^3 · y^3}{(-5)^3 · (z^3)^3}$
分别计算系数和指数：$3^3=27$，$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$，$(-5)^3=-125$，$(z^3)^3=z^{3×3}=z^9$：
$=\dfrac{27x^6 y^3}{-125z^9}$
最后化简符号，将负号移到分式前面：
$=-\dfrac{27x^6 y^3}{125z^9}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{25}{9y^2}}$；(2) $\boxed{-\dfrac{27x^6 y^3}{125z^9}}$
【知识点】
分式乘方运算、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是分式乘方的基础运算题，解题核心是牢记分式乘方“分子分母分别乘方”的规则，同时要熟练结合整式乘方的相关法则计算，运算时要特别注意负数的奇次幂结果为负，避免符号和指数计算错误。
【难度系数】
0.85
本题考查分式的乘方运算，解题思路如下：首先依据分式乘方的运算法则，将分式的分子、分母分别进行乘方运算；其次对分子、分母中属于积的形式的整式，运用积的乘方法则，把每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘；计算过程中遇到幂的乘方时，遵循“底数不变，指数相乘”的规则，最后注意符号的化简，将结果整理为最简形式即可。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则，将分子、分母分别乘方：
原式$=\dfrac{5^2}{(3y)^2}$
分别计算分子、分母的乘方，其中$(3y)^2=3^2 · y^2=9y^2$：
$=\dfrac{25}{9y^2}$
(2) 同理先运用分式乘方法则，分子、分母分别乘方：
原式$=\dfrac{(3x^2 y)^3}{(-5z^3)^3}$
再运用积的乘方、幂的乘方法则展开分子、分母：
$=\dfrac{3^3 · (x^2)^3 · y^3}{(-5)^3 · (z^3)^3}$
分别计算系数和指数：$3^3=27$，$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$，$(-5)^3=-125$，$(z^3)^3=z^{3×3}=z^9$：
$=\dfrac{27x^6 y^3}{-125z^9}$
最后化简符号，将负号移到分式前面：
$=-\dfrac{27x^6 y^3}{125z^9}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{25}{9y^2}}$；(2) $\boxed{-\dfrac{27x^6 y^3}{125z^9}}$
【知识点】
分式乘方运算、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题是分式乘方的基础运算题，解题核心是牢记分式乘方“分子分母分别乘方”的规则，同时要熟练结合整式乘方的相关法则计算，运算时要特别注意负数的奇次幂结果为负，避免符号和指数计算错误。
【难度系数】
0.85
例2 计算：
(1)$(-\dfrac{b^2}{2a})÷(-\dfrac{b}{a^2})^3÷(\dfrac{1}{ab})^3$；
(2)$\dfrac{m^2 - n^2}{(m - n)^2}·(\dfrac{n - m}{mn})^2÷\dfrac{m + n}{m}$.
【思路导析】1. 先算乘方，再算乘除；
2. 在乘除混合运算中，先将除法变成乘法；
3. 负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)$(-\dfrac{b^2}{2a})÷(-\dfrac{b}{a^2})^3÷(\dfrac{1}{ab})^3$；
(2)$\dfrac{m^2 - n^2}{(m - n)^2}·(\dfrac{n - m}{mn})^2÷\dfrac{m + n}{m}$.
【思路导析】1. 先算乘方，再算乘除；
2. 在乘除混合运算中，先将除法变成乘法；
3. 负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 先计算乘方运算：
$(-\dfrac{b}{a^2})^3 = -\dfrac{b^3}{a^6}$，$(\dfrac{1}{ab})^3 = \dfrac{1}{a^3b^3}$
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= (-\dfrac{b^2}{2a}) ÷ (-\dfrac{b^3}{a^6}) ÷ \dfrac{1}{a^3b^3}\\&= (-\dfrac{b^2}{2a}) × (-\dfrac{a^6}{b^3}) × a^3b^3\\&= \dfrac{b^2 · a^6 · a^3b^3}{2a · b^3}\\&= \dfrac{a^8b^2}{2}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解、计算乘方：
$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，$(\dfrac{n-m}{mn})^2 = \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} = \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2}$
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&= \dfrac{(m+n)(m-n) · (m-n)^2 · m}{(m-n)^2 · m^2n^2 · (m+n)}\\&= \dfrac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
(1) 先计算乘方运算：
$(-\dfrac{b}{a^2})^3 = -\dfrac{b^3}{a^6}$，$(\dfrac{1}{ab})^3 = \dfrac{1}{a^3b^3}$
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= (-\dfrac{b^2}{2a}) ÷ (-\dfrac{b^3}{a^6}) ÷ \dfrac{1}{a^3b^3}\\&= (-\dfrac{b^2}{2a}) × (-\dfrac{a^6}{b^3}) × a^3b^3\\&= \dfrac{b^2 · a^6 · a^3b^3}{2a · b^3}\\&= \dfrac{a^8b^2}{2}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解、计算乘方：
$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，$(\dfrac{n-m}{mn})^2 = \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} = \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2}$
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&= \dfrac{(m+n)(m-n) · (m-n)^2 · m}{(m-n)^2 · m^2n^2 · (m+n)}\\&= \dfrac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题均为分式的乘除混合运算，解题可按以下思路展开：①优先计算乘方运算，计算时注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正，同时遵循分式乘方法则，即分子、分母分别乘方；②将所有除法运算转化为乘法运算，除以一个分式等价于乘这个分式的倒数；③若分子或分母中存在多项式，先对多项式因式分解，再将所有分子的乘积作为新分子、所有分母的乘积作为新分母，最后约去分子分母的公因式，化简得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
根据分式乘方法则和负数奇次幂的性质，得$(-\dfrac{b}{a^2})^3 = -\dfrac{b^3}{a^6}$，$(\dfrac{1}{ab})^3 = \dfrac{1}{a^3b^3}$
再将除法转化为乘法，约分化简：
$\begin{aligned}原式&= (-\dfrac{b^2}{2a}) ÷ (-\dfrac{b^3}{a^6}) ÷ \dfrac{1}{a^3b^3}\\&= (-\dfrac{b^2}{2a}) × (-\dfrac{a^6}{b^3}) × a^3b^3\\&= \dfrac{b^2 · a^6 · a^3b^3}{2a · b^3}\\&= \dfrac{a^8b^2}{2}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解、计算乘方：
利用平方差公式得$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，根据分式乘方法则和偶次幂的性质得$(\dfrac{n-m}{mn})^2 = \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} = \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2}$
再将除法转化为乘法，约分化简：
$\begin{aligned}原式&= \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&= \dfrac{(m+n)(m-n) · (m-n)^2 · m}{(m-n)^2 · m^2n^2 · (m+n)}\\&= \dfrac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{a^8b^2}{2}$；(2) $\dfrac{m-n}{mn^2}$
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除混合运算，因式分解
【点评】
本题重点考查分式混合运算的基本规则，解题时要严格遵守“先乘方、再乘除”的运算顺序，注意运算过程中的符号判断，熟练运用约分技巧可有效简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
这两道题均为分式的乘除混合运算，解题可按以下思路展开：①优先计算乘方运算，计算时注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正，同时遵循分式乘方法则，即分子、分母分别乘方；②将所有除法运算转化为乘法运算，除以一个分式等价于乘这个分式的倒数；③若分子或分母中存在多项式，先对多项式因式分解，再将所有分子的乘积作为新分子、所有分母的乘积作为新分母，最后约去分子分母的公因式，化简得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
根据分式乘方法则和负数奇次幂的性质，得$(-\dfrac{b}{a^2})^3 = -\dfrac{b^3}{a^6}$，$(\dfrac{1}{ab})^3 = \dfrac{1}{a^3b^3}$
再将除法转化为乘法，约分化简：
$\begin{aligned}原式&= (-\dfrac{b^2}{2a}) ÷ (-\dfrac{b^3}{a^6}) ÷ \dfrac{1}{a^3b^3}\\&= (-\dfrac{b^2}{2a}) × (-\dfrac{a^6}{b^3}) × a^3b^3\\&= \dfrac{b^2 · a^6 · a^3b^3}{2a · b^3}\\&= \dfrac{a^8b^2}{2}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解、计算乘方：
利用平方差公式得$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，根据分式乘方法则和偶次幂的性质得$(\dfrac{n-m}{mn})^2 = \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} = \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2}$
再将除法转化为乘法，约分化简：
$\begin{aligned}原式&= \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&= \dfrac{(m+n)(m-n) · (m-n)^2 · m}{(m-n)^2 · m^2n^2 · (m+n)}\\&= \dfrac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{a^8b^2}{2}$；(2) $\dfrac{m-n}{mn^2}$
【知识点】
分式乘方运算，分式乘除混合运算，因式分解
【点评】
本题重点考查分式混合运算的基本规则，解题时要严格遵守“先乘方、再乘除”的运算顺序，注意运算过程中的符号判断，熟练运用约分技巧可有效简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
例3 计算:$(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1).$
【思路导析】将原式乘代数式$(x-\frac{1}{x})$即可
连续利用平方差公式,再同时除以代数式$(x-\frac{1}{x})$保持化简后的结果不变.
【示范解答】当$x=\pm1$时,原式$=0$.
当$x≠0$且$x≠\pm1$时,
原式$=(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})·$
$(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷(x-\frac{1}{x})$
$=(x^2-\frac{1}{x^2})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})·$
$(x^2-1)÷\frac{x^2-1}{x}$
$=(x^{32}-\frac{1}{x^{32}})· x$
$=x^{33}-\frac{1}{x^{31}}.$
【思路导析】将原式乘代数式$(x-\frac{1}{x})$即可
连续利用平方差公式,再同时除以代数式$(x-\frac{1}{x})$保持化简后的结果不变.
【示范解答】当$x=\pm1$时,原式$=0$.
当$x≠0$且$x≠\pm1$时,
原式$=(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})·$
$(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷(x-\frac{1}{x})$
$=(x^2-\frac{1}{x^2})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})·$
$(x^2-1)÷\frac{x^2-1}{x}$
$=(x^{32}-\frac{1}{x^{32}})· x$
$=x^{33}-\frac{1}{x^{31}}.$
答案
解：当$x=\pm1$时，$x^2-1=0$，原式$=0$。
当$x≠0$且$x≠\pm1$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷(x-\frac{1}{x})\\&=(x^2-\frac{1}{x^2})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷\frac{x^2-1}{x}\\&=(x^4-\frac{1}{x^4})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^8-\frac{1}{x^8})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^{16}-\frac{1}{x^{16}})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^{32}-\frac{1}{x^{32}})· x\\&=x^{33}-\frac{1}{x^{31}}\end{aligned}$
验证可知$x=\pm1$时也满足上式，最终结果为$x^{33}-\frac{1}{x^{31}}$。
当$x≠0$且$x≠\pm1$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷(x-\frac{1}{x})\\&=(x^2-\frac{1}{x^2})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷\frac{x^2-1}{x}\\&=(x^4-\frac{1}{x^4})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^8-\frac{1}{x^8})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^{16}-\frac{1}{x^{16}})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^{32}-\frac{1}{x^{32}})· x\\&=x^{33}-\frac{1}{x^{31}}\end{aligned}$
验证可知$x=\pm1$时也满足上式，最终结果为$x^{33}-\frac{1}{x^{31}}$。
解析
【分析】
观察原式结构，前半部分是多个形如$(x^{2^n}+\frac{1}{x^{2^n}})$的因式相乘，符合平方差公式中“两数和”的特征，缺少对应的“两数差”因式$(x-\frac{1}{x})$。因此可以先将原式乘$(x-\frac{1}{x})$再除以$(x-\frac{1}{x})$（保证原式值不变），即可连续使用平方差公式化简；同时要注意分式有意义的条件，需先讨论$x=\pm1$时的特殊情况，再计算$x≠\pm1$且$x≠0$的情况，最后验证结果是否可以统一。
【解析】
当$x=\pm1$时，因式$x^2-1=0$，因此原式$=0$。
当$x≠0$且$x≠\pm1$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷(x-\frac{1}{x})\\&=(x^2-\frac{1}{x^2})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷\frac{x^2-1}{x}\\&=(x^4-\frac{1}{x^4})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^8-\frac{1}{x^8})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^{16}-\frac{1}{x^{16}})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^{32}-\frac{1}{x^{32}})· x\\&=x^{33}-\frac{1}{x^{31}}\end{aligned}$
经检验，当$x=\pm1$时，$x^{33}-\frac{1}{x^{31}}=\pm1-(\pm1)=0$，也满足上述结果。
【答案】
$x^{33}-\frac{1}{x^{31}}$
【知识点】
平方差公式，分式乘除运算，分类讨论
【点评】
本题是整式乘法与分式运算的综合题，核心考查平方差公式的灵活运用，解题的突破口是利用“乘除同一个不为0的式子，原式值不变”的性质构造平方差公式的结构，解题时需注意考虑特殊值的情况，避免漏解，对运算能力和公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
观察原式结构，前半部分是多个形如$(x^{2^n}+\frac{1}{x^{2^n}})$的因式相乘，符合平方差公式中“两数和”的特征，缺少对应的“两数差”因式$(x-\frac{1}{x})$。因此可以先将原式乘$(x-\frac{1}{x})$再除以$(x-\frac{1}{x})$（保证原式值不变），即可连续使用平方差公式化简；同时要注意分式有意义的条件，需先讨论$x=\pm1$时的特殊情况，再计算$x≠\pm1$且$x≠0$的情况，最后验证结果是否可以统一。
【解析】
当$x=\pm1$时，因式$x^2-1=0$，因此原式$=0$。
当$x≠0$且$x≠\pm1$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷(x-\frac{1}{x})\\&=(x^2-\frac{1}{x^2})(x^2+\frac{1}{x^2})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})(x^2-1)÷\frac{x^2-1}{x}\\&=(x^4-\frac{1}{x^4})(x^4+\frac{1}{x^4})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^8-\frac{1}{x^8})(x^8+\frac{1}{x^8})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^{16}-\frac{1}{x^{16}})(x^{16}+\frac{1}{x^{16}})· x\\&=(x^{32}-\frac{1}{x^{32}})· x\\&=x^{33}-\frac{1}{x^{31}}\end{aligned}$
经检验，当$x=\pm1$时，$x^{33}-\frac{1}{x^{31}}=\pm1-(\pm1)=0$，也满足上述结果。
【答案】
$x^{33}-\frac{1}{x^{31}}$
【知识点】
平方差公式，分式乘除运算，分类讨论
【点评】
本题是整式乘法与分式运算的综合题，核心考查平方差公式的灵活运用，解题的突破口是利用“乘除同一个不为0的式子，原式值不变”的性质构造平方差公式的结构，解题时需注意考虑特殊值的情况，避免漏解，对运算能力和公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
计算:
(1)$\frac{1}{8}a^2b^2 ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) · (\frac{3b^2}{2a})^2$；
(2)$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \frac{a-3}{a^2 -1}$。
(1)$\frac{1}{8}a^2b^2 ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) · (\frac{3b^2}{2a})^2$；
(2)$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \frac{a-3}{a^2 -1}$。
答案
解：
(1) 先计算乘方运算：
$(\frac{3b^2}{2a})^2 = \frac{9b^4}{4a^2}$
将除法转化为乘法：
原式$=\frac{1}{8}a^2b^2 · (-\frac{4b^2}{3a}) · \frac{9b^4}{4a^2}$
约分计算：
$= -\frac{1×4×9}{8×3×4} · \frac{a^2b^2 · b^2 · b^4}{a · a^2}$
$= -\frac{3b^8}{8a}$
(2) 对各多项式因式分解，将除法转化为乘法：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$
原式$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · \frac{(a+1)(a-1)}{a-3}$
约分：
$=\frac{(a-2)(a+1)}{a-3}$
$=\frac{a^2 - a - 2}{a-3}$
(1) 先计算乘方运算：
$(\frac{3b^2}{2a})^2 = \frac{9b^4}{4a^2}$
将除法转化为乘法：
原式$=\frac{1}{8}a^2b^2 · (-\frac{4b^2}{3a}) · \frac{9b^4}{4a^2}$
约分计算：
$= -\frac{1×4×9}{8×3×4} · \frac{a^2b^2 · b^2 · b^4}{a · a^2}$
$= -\frac{3b^8}{8a}$
(2) 对各多项式因式分解，将除法转化为乘法：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$
原式$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · \frac{(a+1)(a-1)}{a-3}$
约分：
$=\frac{(a-2)(a+1)}{a-3}$
$=\frac{a^2 - a - 2}{a-3}$
解析
【分析】
分式乘除混合运算遵循先乘方、再乘除的运算顺序，计算时先将除法运算统一转化为乘法运算：
(1) 对于单项式组成的分式运算，先计算乘方项，再将系数、同底数幂分别结合后约分计算，注意符号运算规则；
(2) 对于含多项式的分式运算，先对每个多项式进行因式分解，再转化为乘法后约去分子分母的公因式，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
$(\frac{3b^2}{2a})^2 = \frac{9b^4}{4a^2}$
将除法转化为乘法：
原式$=\frac{1}{8}a^2b^2 · (-\frac{4b^2}{3a}) · \frac{9b^4}{4a^2}$
约分计算：
$= -\frac{1×4×9}{8×3×4} · \frac{a^2b^2 · b^2 · b^4}{a · a^2}$
$= -\frac{3b^8}{8a}$
(2) 先对各多项式因式分解，再将除法转化为乘法：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$
原式$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · \frac{(a+1)(a-1)}{a-3}$
约分：
$=\frac{(a-2)(a+1)}{a-3}$
$=\frac{a^2 - a - 2}{a-3}$
【答案】
(1) $-\frac{3b^8}{8a}$；(2) $\frac{a^2 - a - 2}{a-3}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、幂的运算
【点评】
本题考查分式乘除混合运算的化简，解题时要严格遵循运算顺序，注意负号的处理，含多项式的分式运算要先因式分解再约分，避免直接拆分计算出错。
【难度系数】
0.7
分式乘除混合运算遵循先乘方、再乘除的运算顺序，计算时先将除法运算统一转化为乘法运算：
(1) 对于单项式组成的分式运算，先计算乘方项，再将系数、同底数幂分别结合后约分计算，注意符号运算规则；
(2) 对于含多项式的分式运算，先对每个多项式进行因式分解，再转化为乘法后约去分子分母的公因式，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
$(\frac{3b^2}{2a})^2 = \frac{9b^4}{4a^2}$
将除法转化为乘法：
原式$=\frac{1}{8}a^2b^2 · (-\frac{4b^2}{3a}) · \frac{9b^4}{4a^2}$
约分计算：
$= -\frac{1×4×9}{8×3×4} · \frac{a^2b^2 · b^2 · b^4}{a · a^2}$
$= -\frac{3b^8}{8a}$
(2) 先对各多项式因式分解，再将除法转化为乘法：
$a^2-4=(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a+1)(a-1)$
原式$=\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · \frac{(a+1)(a-1)}{a-3}$
约分：
$=\frac{(a-2)(a+1)}{a-3}$
$=\frac{a^2 - a - 2}{a-3}$
【答案】
(1) $-\frac{3b^8}{8a}$；(2) $\frac{a^2 - a - 2}{a-3}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、幂的运算
【点评】
本题考查分式乘除混合运算的化简，解题时要严格遵循运算顺序，注意负号的处理，含多项式的分式运算要先因式分解再约分，避免直接拆分计算出错。
【难度系数】
0.7
