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8.有甲、乙两筐水果，甲筐水果重为$(m-1)^2$ kg，乙筐水果重为$(m^2 -1)$ kg（其中$m＞1$），售完后，两筐水果都卖了120元.
(1)哪筐水果卖的单价高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
(1)哪筐水果卖的单价高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
答案
解：
(1) 甲筐水果的单价为 $\frac{120}{(m-1)^2}$ 元/kg，
乙筐水果的单价为 $\frac{120}{m^2-1}$ 元/kg。
计算两分母的差：
$\begin{aligned}(m^2-1)-(m-1)^2&=m^2-1-(m^2-2m+1)\\&=2m-2\end{aligned}$
$\because m＞1$，
$\therefore 2(m-1)＞0$，即 $m^2-1 ＞ (m-1)^2 ＞ 0$，
分子相同的正分数，分母越小分数值越大，
$\therefore \frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2-1}$，
即甲筐水果卖的单价高。
(2) 计算倍数：
$\begin{aligned}\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1}&=\frac{120}{(m-1)^2} · \frac{m^2-1}{120}\\&=\frac{(m-1)(m+1)}{(m-1)^2}\\&=\frac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
答：(1) 甲筐水果卖的单价高；(2) 高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
(1) 甲筐水果的单价为 $\frac{120}{(m-1)^2}$ 元/kg，
乙筐水果的单价为 $\frac{120}{m^2-1}$ 元/kg。
计算两分母的差：
$\begin{aligned}(m^2-1)-(m-1)^2&=m^2-1-(m^2-2m+1)\\&=2m-2\end{aligned}$
$\because m＞1$，
$\therefore 2(m-1)＞0$，即 $m^2-1 ＞ (m-1)^2 ＞ 0$，
分子相同的正分数，分母越小分数值越大，
$\therefore \frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2-1}$，
即甲筐水果卖的单价高。
(2) 计算倍数：
$\begin{aligned}\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1}&=\frac{120}{(m-1)^2} · \frac{m^2-1}{120}\\&=\frac{(m-1)(m+1)}{(m-1)^2}\\&=\frac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
答：(1) 甲筐水果卖的单价高；(2) 高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“单价=总价÷重量”，先分别表示出两筐水果的单价。第一问比较单价高低：两个单价的分子相同，只需比较分母的大小即可，可使用差比法将两个分母作差，结合$m＞1$的条件判断差的正负，得出分母的大小关系，再根据“分子相同的正分数，分母越小，分数值越大”的规律判断单价高低。第二问求倍数关系，用较高的单价除以较低的单价，按照分式除法法则转化为乘法运算，再因式分解、约分即可得到结果。
【解析】
(1) 根据单价公式计算两筐水果的单价：
甲筐水果的单价为 $\frac{120}{(m-1)^2}$ 元/kg，
乙筐水果的单价为 $\frac{120}{m^2-1}$ 元/kg。
用差比法比较两个分母的大小：
$\begin{aligned}(m^2-1)-(m-1)^2&=m^2-1-(m^2-2m+1)\\&=2m-2=2(m-1)\end{aligned}$
$\because m＞1$，
$\therefore 2(m-1)＞0$，即 $m^2-1 ＞ (m-1)^2 ＞ 0$，
根据分子相同的正分数，分母越小分数值越大，可得：
$\therefore \frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2-1}$，即甲筐水果单价更高。
(2) 用高单价除以低单价计算倍数：
$\begin{aligned}\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1}&=\frac{120}{(m-1)^2} · \frac{m^2-1}{120}\\&=\frac{(m-1)(m+1)}{(m-1)^2}\\&=\frac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 甲筐水果卖的单价高；(2) 高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
【知识点】
分式大小比较、分式乘除运算、因式分解
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的应用，解题关键是先根据数量关系表示出两个单价，再利用差比法比较代数式大小，计算倍数时要熟练掌握分式除法法则和约分技巧，注意题目给出的参数范围可保证所有分式有意义。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确“单价=总价÷重量”，先分别表示出两筐水果的单价。第一问比较单价高低：两个单价的分子相同，只需比较分母的大小即可，可使用差比法将两个分母作差，结合$m＞1$的条件判断差的正负，得出分母的大小关系，再根据“分子相同的正分数，分母越小，分数值越大”的规律判断单价高低。第二问求倍数关系，用较高的单价除以较低的单价，按照分式除法法则转化为乘法运算，再因式分解、约分即可得到结果。
【解析】
(1) 根据单价公式计算两筐水果的单价：
甲筐水果的单价为 $\frac{120}{(m-1)^2}$ 元/kg，
乙筐水果的单价为 $\frac{120}{m^2-1}$ 元/kg。
用差比法比较两个分母的大小：
$\begin{aligned}(m^2-1)-(m-1)^2&=m^2-1-(m^2-2m+1)\\&=2m-2=2(m-1)\end{aligned}$
$\because m＞1$，
$\therefore 2(m-1)＞0$，即 $m^2-1 ＞ (m-1)^2 ＞ 0$，
根据分子相同的正分数，分母越小分数值越大，可得：
$\therefore \frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2-1}$，即甲筐水果单价更高。
(2) 用高单价除以低单价计算倍数：
$\begin{aligned}\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1}&=\frac{120}{(m-1)^2} · \frac{m^2-1}{120}\\&=\frac{(m-1)(m+1)}{(m-1)^2}\\&=\frac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 甲筐水果卖的单价高；(2) 高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
【知识点】
分式大小比较、分式乘除运算、因式分解
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的应用，解题关键是先根据数量关系表示出两个单价，再利用差比法比较代数式大小，计算倍数时要熟练掌握分式除法法则和约分技巧，注意题目给出的参数范围可保证所有分式有意义。
【难度系数】
0.7
9. 已知$a^2 + 10a + 25 = -|b - 4|$，求代数式$\frac{2b^2 - 18}{a^2 - 4a + 4} ÷ \frac{3 - b}{2a - 4}$的值。
答案
解：
由$a^2 + 10a + 25 = -|b - 4|$，整理得
$(a+5)^2 + |b-4| = 0$
$\because (a+5)^2 ≥ 0$，$|b-4| ≥ 0$
$\therefore a+5=0$，$b-4=0$
解得$a=-5$，$b=4$。
化简代数式：
$\frac{2b^2 - 18}{a^2 - 4a + 4} ÷ \frac{3 - b}{2a - 4}$
$=\frac{2(b^2 - 9)}{(a-2)^2} · \frac{2a-4}{3-b}$
$=\frac{2(b+3)(b-3)}{(a-2)^2} · \frac{2(a-2)}{-(b-3)}$
$=-\frac{4(b+3)}{a-2}$
将$a=-5$，$b=4$代入：
原式$=-\frac{4×(4+3)}{-5 - 2}=-\frac{28}{-7}=4$
由$a^2 + 10a + 25 = -|b - 4|$，整理得
$(a+5)^2 + |b-4| = 0$
$\because (a+5)^2 ≥ 0$，$|b-4| ≥ 0$
$\therefore a+5=0$，$b-4=0$
解得$a=-5$，$b=4$。
化简代数式：
$\frac{2b^2 - 18}{a^2 - 4a + 4} ÷ \frac{3 - b}{2a - 4}$
$=\frac{2(b^2 - 9)}{(a-2)^2} · \frac{2a-4}{3-b}$
$=\frac{2(b+3)(b-3)}{(a-2)^2} · \frac{2(a-2)}{-(b-3)}$
$=-\frac{4(b+3)}{a-2}$
将$a=-5$，$b=4$代入：
原式$=-\frac{4×(4+3)}{-5 - 2}=-\frac{28}{-7}=4$
解析
【分析】
解题时先从已知等式入手，首先将等式左边的二次三项式配方成完全平方形式，再移项得到两个非负数相加等于0的形式，根据非负数的性质可求出a、b的值；接下来对所求的分式除法进行化简，先将除法转化为乘法，再对分子分母分别因式分解，约分化为最简形式，最后将a、b的值代入最简式计算即可得到结果，计算过程中要注意符号的处理。
【解析】
首先处理已知条件：
由$a^2 + 10a + 25 = -|b - 4|$，整理得：
$(a+5)^2 + |b-4| = 0$
$\because (a+5)^2 ≥ 0$，$|b-4| ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0
$\therefore a+5=0$，$b-4=0$
解得$a=-5$，$b=4$。
接下来化简代数式：
$\frac{2b^2 - 18}{a^2 - 4a + 4} ÷ \frac{3 - b}{2a - 4}$
先将除法转化为乘法，同时对各部分因式分解：
$=\frac{2(b^2 - 9)}{(a-2)^2} · \frac{2a-4}{3-b}$
$=\frac{2(b+3)(b-3)}{(a-2)^2} · \frac{2(a-2)}{-(b-3)}$
约分（注意$3-b=-(b-3)$，约掉公因式$(b-3)$和$(a-2)$）：
$=-\frac{4(b+3)}{a-2}$
将$a=-5$，$b=4$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{4×(4+3)}{-5 - 2}=-\frac{28}{-7}=4$
【答案】
4
【知识点】
非负数的性质、分式的乘除运算、因式分解
【点评】
本题是典型的代数化简求值类题目，解题核心是先利用非负数的性质确定字母取值，再正确完成分式的因式分解和约分化简，计算时要格外注意符号变换，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知等式入手，首先将等式左边的二次三项式配方成完全平方形式，再移项得到两个非负数相加等于0的形式，根据非负数的性质可求出a、b的值；接下来对所求的分式除法进行化简，先将除法转化为乘法，再对分子分母分别因式分解，约分化为最简形式，最后将a、b的值代入最简式计算即可得到结果，计算过程中要注意符号的处理。
【解析】
首先处理已知条件：
由$a^2 + 10a + 25 = -|b - 4|$，整理得：
$(a+5)^2 + |b-4| = 0$
$\because (a+5)^2 ≥ 0$，$|b-4| ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0
$\therefore a+5=0$，$b-4=0$
解得$a=-5$，$b=4$。
接下来化简代数式：
$\frac{2b^2 - 18}{a^2 - 4a + 4} ÷ \frac{3 - b}{2a - 4}$
先将除法转化为乘法，同时对各部分因式分解：
$=\frac{2(b^2 - 9)}{(a-2)^2} · \frac{2a-4}{3-b}$
$=\frac{2(b+3)(b-3)}{(a-2)^2} · \frac{2(a-2)}{-(b-3)}$
约分（注意$3-b=-(b-3)$，约掉公因式$(b-3)$和$(a-2)$）：
$=-\frac{4(b+3)}{a-2}$
将$a=-5$，$b=4$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{4×(4+3)}{-5 - 2}=-\frac{28}{-7}=4$
【答案】
4
【知识点】
非负数的性质、分式的乘除运算、因式分解
【点评】
本题是典型的代数化简求值类题目，解题核心是先利用非负数的性质确定字母取值，再正确完成分式的因式分解和约分化简，计算时要格外注意符号变换，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
