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（1）下图是一个三级台阶，是由6个长方体砖组成的；若组成类似的六级台阶，需要（）个长方体；按照这个规律，组成n级台阶，需要（）个长方体。
A.$14$ $n+1$
B.$21$ $\dfrac{n(n+1)}{2}$
C.$36$ $n(n+1)$
A.$14$ $n+1$
B.$21$ $\dfrac{n(n+1)}{2}$
C.$36$ $n(n+1)$
答案
B
解析
【分析】
首先观察三级台阶的长方体数量规律：从上往下数，每层的长方体数量等于所在的层数，第1层1个、第2层2个、第3层3个，总数为1+2+3=6个，和题目给出的数量一致。按照这个规律，六级台阶的总数就是从1到6的连续自然数之和，n级台阶的总数就是从1到n的连续自然数之和，用学过的连续数求和方法计算即可。
【解析】
1. 计算六级台阶的长方体数量：
按照规律，六级台阶总数=1+2+3+4+5+6，通过配对计算：
(1+6)+(2+5)+(3+4)=7×3=21（个）
2. 推导n级台阶的长方体数量：
从1到n的连续自然数求和，公式为（首项+末项）×项数÷2，这里首项是1，末项是n，项数是n，代入得：
总数=(1+n)×n÷2=$\frac{n(n+1)}{2}$
综上符合的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
图形找规律，用字母表示数，连续自然数求和
【点评】
本题需要先通过已知的三级台阶找到堆叠的数量规律，再延伸到六级台阶和通用的n级台阶的计算，既考查观察归纳能力，也考查对规律的抽象表达能力，掌握连续自然数求和方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察三级台阶的长方体数量规律：从上往下数，每层的长方体数量等于所在的层数，第1层1个、第2层2个、第3层3个，总数为1+2+3=6个，和题目给出的数量一致。按照这个规律，六级台阶的总数就是从1到6的连续自然数之和，n级台阶的总数就是从1到n的连续自然数之和，用学过的连续数求和方法计算即可。
【解析】
1. 计算六级台阶的长方体数量：
按照规律，六级台阶总数=1+2+3+4+5+6，通过配对计算：
(1+6)+(2+5)+(3+4)=7×3=21（个）
2. 推导n级台阶的长方体数量：
从1到n的连续自然数求和，公式为（首项+末项）×项数÷2，这里首项是1，末项是n，项数是n，代入得：
总数=(1+n)×n÷2=$\frac{n(n+1)}{2}$
综上符合的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
图形找规律，用字母表示数，连续自然数求和
【点评】
本题需要先通过已知的三级台阶找到堆叠的数量规律，再延伸到六级台阶和通用的n级台阶的计算，既考查观察归纳能力，也考查对规律的抽象表达能力，掌握连续自然数求和方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（2）实验小学合唱队采用“插空”站队的方式设计舞台造型，需要后一排比前一排多1人。第一排站$m$人，站4排共有()人。
A.$4m+3$
B.$4m+4$
C.$4m+6$
A.$4m+3$
B.$4m+4$
C.$4m+6$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要根据“后一排比前一排多1人”的规律，依次写出4排每一排的人数，再把四排人数相加，最后化简算式就能得到总人数。第一步先确定每排人数：第一排已知是m人，后一排都比前一排多1，所以依次加1就能得到后面三排的人数；第二步把四排人数加起来，将相同的字母项和常数项分别合并，就能得到结果。
【解析】
首先根据题意列出每一排的人数：
第1排人数：$ m $人
第2排人数：比第1排多1人，即 $ m + 1 $ 人
第3排人数：比第2排多1人，即 $ (m + 1) + 1 = m + 2 $ 人
第4排人数：比第3排多1人，即 $ (m + 2) + 1 = m + 3 $ 人
总人数为四排人数之和：
$\begin{aligned}&m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3)\\=&(m + m + m + m) + (1 + 2 + 3)\\=&4m + 6\end{aligned}$
因此总人数为$ 4m + 6 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用字母表示数、找规律列式、加法运算
【点评】
这道题结合实际站队场景考察用字母表示数量的能力，解题核心是先根据题干的数量规律写出每部分的表达式，再通过加法合并得到最终结果，计算时要注意常数项求和不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据“后一排比前一排多1人”的规律，依次写出4排每一排的人数，再把四排人数相加，最后化简算式就能得到总人数。第一步先确定每排人数：第一排已知是m人，后一排都比前一排多1，所以依次加1就能得到后面三排的人数；第二步把四排人数加起来，将相同的字母项和常数项分别合并，就能得到结果。
【解析】
首先根据题意列出每一排的人数：
第1排人数：$ m $人
第2排人数：比第1排多1人，即 $ m + 1 $ 人
第3排人数：比第2排多1人，即 $ (m + 1) + 1 = m + 2 $ 人
第4排人数：比第3排多1人，即 $ (m + 2) + 1 = m + 3 $ 人
总人数为四排人数之和：
$\begin{aligned}&m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3)\\=&(m + m + m + m) + (1 + 2 + 3)\\=&4m + 6\end{aligned}$
因此总人数为$ 4m + 6 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用字母表示数、找规律列式、加法运算
【点评】
这道题结合实际站队场景考察用字母表示数量的能力，解题核心是先根据题干的数量规律写出每部分的表达式，再通过加法合并得到最终结果，计算时要注意常数项求和不要出错。
【难度系数】
0.7
（3）学校阅览室的三角形书桌，如下图：
一张书桌坐6人，2张拼起来能坐8人……像这样拼下去，如果书桌数量用a表示，那么一共可以坐多少人？用字母表示为（）。
A.$4a-2$
B.$6a+2$
C.$2a+4$
一张书桌坐6人，2张拼起来能坐8人……像这样拼下去，如果书桌数量用a表示，那么一共可以坐多少人？用字母表示为（）。
A.$4a-2$
B.$6a+2$
C.$2a+4$
答案
C
解析
【分析】
我们先从已知条件入手，先列出不同数量书桌对应的可坐人数：1张书桌坐6人，2张拼起来坐8人，再观察题图里3张书桌拼起来的情况，数出可坐10人。对比发现，每多拼1张书桌，可坐的人数就增加2人。接下来我们可以把这个规律用含有字母a的式子表示出来，也可以把a=1代入各个选项验证，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
首先整理已知数据验证推导：
1. 当书桌数量$a=1$时，可坐人数为6人：
代入A选项：$4×1-2=2$（人），和实际人数不符，排除；
代入B选项：$6×1+2=8$（人），和实际人数不符，排除；
代入C选项：$2×1+4=6$（人），和实际人数一致。
2. 验证$a=2$的情况：
代入C选项得$2×2+4=8$（人），和题目给出的2张书桌坐8人完全符合。
3. 规律总结：每增加1张书桌，可多坐2人，基础固定可坐4人，因此a张书桌的总可坐人数为$2a+4$。
【答案】
C
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 用字母表示数
3. 代数式验证
【点评】
本题主要考查归纳推理能力，解题时既可以通过列举多组数据总结出通用规律，也可以用代入特殊值的方法快速排除错误选项，是找规律类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
我们先从已知条件入手，先列出不同数量书桌对应的可坐人数：1张书桌坐6人，2张拼起来坐8人，再观察题图里3张书桌拼起来的情况，数出可坐10人。对比发现，每多拼1张书桌，可坐的人数就增加2人。接下来我们可以把这个规律用含有字母a的式子表示出来，也可以把a=1代入各个选项验证，排除不符合的选项就能得到正确答案。
【解析】
首先整理已知数据验证推导：
1. 当书桌数量$a=1$时，可坐人数为6人：
代入A选项：$4×1-2=2$（人），和实际人数不符，排除；
代入B选项：$6×1+2=8$（人），和实际人数不符，排除；
代入C选项：$2×1+4=6$（人），和实际人数一致。
2. 验证$a=2$的情况：
代入C选项得$2×2+4=8$（人），和题目给出的2张书桌坐8人完全符合。
3. 规律总结：每增加1张书桌，可多坐2人，基础固定可坐4人，因此a张书桌的总可坐人数为$2a+4$。
【答案】
C
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 用字母表示数
3. 代数式验证
【点评】
本题主要考查归纳推理能力，解题时既可以通过列举多组数据总结出通用规律，也可以用代入特殊值的方法快速排除错误选项，是找规律类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
3.五子棋历史悠久、流传广泛,是一项特别适合小学生的益智棋类运动。乐乐和同学用棋子摆出了下面的图形：
(1)观察图形并填表。
(2)编号为⑤的图形需要()枚棋子,编号为ⓝ的图形需要()枚棋子。
(3)乐乐用61枚棋子按规律摆了一个图形,此图形的编号为()。
(1)观察图形并填表。
(2)编号为⑤的图形需要()枚棋子,编号为ⓝ的图形需要()枚棋子。
(3)乐乐用61枚棋子按规律摆了一个图形,此图形的编号为()。
答案
(1)
图形编号③对应的棋子枚数：$3×3+1$
(2)
$3×5+1=16$
编号为$n$的图形需要 $3n+1$ 枚棋子。
(3)
解：
设此图形的编号为$n$。
$3n+1=61$
$3n=61-1$
$3n=60$
$n=20$
答：(1) 表格中图形③的棋子枚数为$3×3+1$；(2) 编号为⑤的图形需要16枚棋子，编号为$n$的图形需要$(3n+1)$枚棋子；(3) 乐乐用61枚棋子摆出的图形编号为20。
图形编号③对应的棋子枚数：$3×3+1$
(2)
$3×5+1=16$
编号为$n$的图形需要 $3n+1$ 枚棋子。
(3)
解：
设此图形的编号为$n$。
$3n+1=61$
$3n=61-1$
$3n=60$
$n=20$
答：(1) 表格中图形③的棋子枚数为$3×3+1$；(2) 编号为⑤的图形需要16枚棋子，编号为$n$的图形需要$(3n+1)$枚棋子；(3) 乐乐用61枚棋子摆出的图形编号为20。
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题可分三步思考：第一步先观察不同编号图形的棋子数量变化，会发现相邻编号的棋子数每次增加3，属于等差变化规律；第二步根据前几个图形的棋子数和编号的对应关系，总结出编号为n的图形的棋子数通用表达式；第三步根据通用表达式，分别完成填表、求指定编号的棋子数、已知棋子数反求编号的问题，反求编号时用学过的简易方程求解即可。
【解析】
(1) 观察已知图形的棋子数规律：
编号①的棋子数：$3×1+1=4$枚
编号②的棋子数：$3×2+1=7$枚
因此编号③的棋子数为$3×3+1$，对应填入表格即可。
(2) 求编号⑤的棋子数：将n=5代入总结的规律表达式，计算得$3×5+1=16$枚；
总结通用规律：编号为n的图形，棋子数=3×编号+1，即需要$(3n+1)$枚棋子。
(3) 设这个图形的编号为n，根据规律列方程：
$3n+1=61$
方程两边同时减去1：$3n=61-1$
计算得：$3n=60$
方程两边同时除以3：$n=60÷3$
解得：$n=20$
【答案】
(1) 图形编号③对应的棋子枚数为$3×3+1$；
(2) 16，$3n+1$；
(3) 20
【知识点】
图形规律探究，用字母表示数，简易方程应用
【点评】
本题结合五子棋摆图形的趣味场景，考查学生的观察归纳能力和知识应用能力，既需要从特例中总结通用规律，也能锻炼正向计算和反向求解的逻辑思维，难度适中，贴近生活。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题可分三步思考：第一步先观察不同编号图形的棋子数量变化，会发现相邻编号的棋子数每次增加3，属于等差变化规律；第二步根据前几个图形的棋子数和编号的对应关系，总结出编号为n的图形的棋子数通用表达式；第三步根据通用表达式，分别完成填表、求指定编号的棋子数、已知棋子数反求编号的问题，反求编号时用学过的简易方程求解即可。
【解析】
(1) 观察已知图形的棋子数规律：
编号①的棋子数：$3×1+1=4$枚
编号②的棋子数：$3×2+1=7$枚
因此编号③的棋子数为$3×3+1$，对应填入表格即可。
(2) 求编号⑤的棋子数：将n=5代入总结的规律表达式，计算得$3×5+1=16$枚；
总结通用规律：编号为n的图形，棋子数=3×编号+1，即需要$(3n+1)$枚棋子。
(3) 设这个图形的编号为n，根据规律列方程：
$3n+1=61$
方程两边同时减去1：$3n=61-1$
计算得：$3n=60$
方程两边同时除以3：$n=60÷3$
解得：$n=20$
【答案】
(1) 图形编号③对应的棋子枚数为$3×3+1$；
(2) 16，$3n+1$；
(3) 20
【知识点】
图形规律探究，用字母表示数，简易方程应用
【点评】
本题结合五子棋摆图形的趣味场景，考查学生的观察归纳能力和知识应用能力，既需要从特例中总结通用规律，也能锻炼正向计算和反向求解的逻辑思维，难度适中，贴近生活。
【难度系数】
0.7
4.数学源于生活。在手工实践活动中,彤彤用火柴棒摆出了如下图形:
(1)按图示规律完成下表:
(2)摆第2022个图形需要几根火柴棒?
(1)按图示规律完成下表:
(2)摆第2022个图形需要几根火柴棒?
答案
(1)
图形编号③对应的小棒根数：$1+5+5+5$
图形编号$n$对应的小棒根数：$5n+1$
(2)
$5×2022 + 1 = 10111$
答：摆第2022个图形需要10111根火柴棒。
图形编号③对应的小棒根数：$1+5+5+5$
图形编号$n$对应的小棒根数：$5n+1$
(2)
$5×2022 + 1 = 10111$
答：摆第2022个图形需要10111根火柴棒。
解析
【分析】
我们先观察前几个图形的火柴棒数量变化：可以发现每多1个图形，火柴棒就增加5根，第1个图形的火柴棒数可以写成1+5，第2个是1+5+5，以此类推，第3个就是1加3个5的和。再把规律推广到一般情况，第n个图形就是1加上n个5，整理可得通用的表达式。求第2022个图形的火柴棒数时，只需要把n=2022代入通用表达式计算即可。
【解析】
(1) 观察图形规律：
第1个图形火柴棒根数：1+5 = 6根
第2个图形火柴棒根数：1+5+5 = 11根
所以第3个图形火柴棒根数：1+5+5+5 = 16根
继续推导，第n个图形的火柴棒根数就是1加上n个5相加的和，列成式子就是5×n +1，也就是5n+1。
(2) 求第2022个图形的火柴棒数，把n=2022代入式子5n+1计算：
$5×2022 +1$
$= 10110 +1$
$= 10111$（根）
【答案】
(1) 图形编号③对应的小棒根数：$1+5+5+5$；图形编号$n$对应的小棒根数：$5n+1$
(2) 摆第2022个图形需要10111根火柴棒。
【知识点】
图形找规律；用字母表示数；含字母式子求值
【点评】
本题结合手工实践场景考查规律探究能力，需要先从具体的前几个图形中归纳出数量变化的共性规律，再将规律用含字母的式子表示，最后代入数值计算，是规律探究类的常见题型。
【难度系数】
0.7
我们先观察前几个图形的火柴棒数量变化：可以发现每多1个图形，火柴棒就增加5根，第1个图形的火柴棒数可以写成1+5，第2个是1+5+5，以此类推，第3个就是1加3个5的和。再把规律推广到一般情况，第n个图形就是1加上n个5，整理可得通用的表达式。求第2022个图形的火柴棒数时，只需要把n=2022代入通用表达式计算即可。
【解析】
(1) 观察图形规律：
第1个图形火柴棒根数：1+5 = 6根
第2个图形火柴棒根数：1+5+5 = 11根
所以第3个图形火柴棒根数：1+5+5+5 = 16根
继续推导，第n个图形的火柴棒根数就是1加上n个5相加的和，列成式子就是5×n +1，也就是5n+1。
(2) 求第2022个图形的火柴棒数，把n=2022代入式子5n+1计算：
$5×2022 +1$
$= 10110 +1$
$= 10111$（根）
【答案】
(1) 图形编号③对应的小棒根数：$1+5+5+5$；图形编号$n$对应的小棒根数：$5n+1$
(2) 摆第2022个图形需要10111根火柴棒。
【知识点】
图形找规律；用字母表示数；含字母式子求值
【点评】
本题结合手工实践场景考查规律探究能力，需要先从具体的前几个图形中归纳出数量变化的共性规律，再将规律用含字母的式子表示，最后代入数值计算，是规律探究类的常见题型。
【难度系数】
0.7
5. 观察下面的算式。
① 9×0+1=1
② 9×1+2=11
③ 9×2+3=21
④ 9×3+4=31
……
你能用式子表示出第n个算式吗？
① 9×0+1=1
② 9×1+2=11
③ 9×2+3=21
④ 9×3+4=31
……
你能用式子表示出第n个算式吗？
答案
$9×(n-1)+n=10n-9$
答：第n个算式是$9×(n-1)+n=10n-9$。
答：第n个算式是$9×(n-1)+n=10n-9$。
解析
【分析】
要写出第n个算式，我们可以把已知算式和它们的序号一一对应，分别观察算式中每一部分和序号的关系：首先看9乘的数，第1个算式乘0、第2个乘1、第3个乘2……这个数总是比算式序号小1，也就是(n-1)；再看加号后面的数，第1个是1、第2个是2、第3个是3……刚好等于算式序号n；最后看等号右边的结果，我们可以通过计算左边的式子得到通用的结果，也可以观察结果的规律：第1个是1、第2个是11、第3个是21……相邻结果差10，也能推导出通用表达式。
【解析】
我们将算式序号和各部分对应验证：
第1个算式（n=1）：9×(1-1)+1=9×0+1=1，和已知一致；
第2个算式（n=2）：9×(2-1)+2=9×1+2=11，和已知一致；
第3个算式（n=3）：9×(3-1)+3=9×2+3=21，和已知一致；
……
对第n个算式，左边为9×(n-1)+n，计算可得：
9×(n-1)+n = 9n - 9 + n = 10n -9
因此第n个算式为9×(n-1)+n=10n-9。
【答案】
$9×(n-1)+n=10n-9$
【知识点】
找规律，用字母表示数，式子化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是找到算式各部分和序号的对应关系，通过从特殊到一般的思路归纳通用表达式，熟练掌握对应法找规律就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
要写出第n个算式，我们可以把已知算式和它们的序号一一对应，分别观察算式中每一部分和序号的关系：首先看9乘的数，第1个算式乘0、第2个乘1、第3个乘2……这个数总是比算式序号小1，也就是(n-1)；再看加号后面的数，第1个是1、第2个是2、第3个是3……刚好等于算式序号n；最后看等号右边的结果，我们可以通过计算左边的式子得到通用的结果，也可以观察结果的规律：第1个是1、第2个是11、第3个是21……相邻结果差10，也能推导出通用表达式。
【解析】
我们将算式序号和各部分对应验证：
第1个算式（n=1）：9×(1-1)+1=9×0+1=1，和已知一致；
第2个算式（n=2）：9×(2-1)+2=9×1+2=11，和已知一致；
第3个算式（n=3）：9×(3-1)+3=9×2+3=21，和已知一致；
……
对第n个算式，左边为9×(n-1)+n，计算可得：
9×(n-1)+n = 9n - 9 + n = 10n -9
因此第n个算式为9×(n-1)+n=10n-9。
【答案】
$9×(n-1)+n=10n-9$
【知识点】
找规律，用字母表示数，式子化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是找到算式各部分和序号的对应关系，通过从特殊到一般的思路归纳通用表达式，熟练掌握对应法找规律就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.7
