7. 如图，在▱$ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$M$，$N$ 在对角线 $AC$ 上，且 $AM = CN$。求证：$BM// DN$。

7. 证明:$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD=BC,∠ DAC=∠ BCA$,
$\because CM=AC-AM,AN=AC-CN,AM=CN$,
$\therefore CM=AN,\therefore△ AND≌△ CMB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore∠ AND=∠ CMB,\therefore BM// DN$.

8. 如图，▱$ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，$AC⊥ AB$，$AB = 2\sqrt{5}$，且 $3AC = 2BD$。
(1)求 $AC$ 的长。
(2)求 $△ AOD$ 的面积。

8. 解:(1)$\because ABCD$是平行四边形,
$\therefore OA=\dfrac{1}{2}AC,OB=\dfrac{1}{2}BD$.
$\because AC:BD=2:3,\therefore OA:OB=2:3$,
设$OA=2x,BO=3x,\because AC⊥ AB\ AB=2\sqrt{5}$,
那么在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,勾股定理:$OA^2+AB^2=OB^2$,
$(2x)^2+(2\sqrt{5})^2=(3x)^2$,解得$x=2$或$x=-2$(舍去),
$\therefore OA=4,\therefore AC=8$.
(2)$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}AB× OA=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{5}×4=4\sqrt{5}$,
$\because△ AOB$和$△ AOD$在$BD$边上等高,且$OB=OD$,
$\therefore S_{△ AOD}=S_{△ AOB}=4\sqrt{5}$.

9. 如图，在▱$ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$，$∠ AEB = 45°$，$BD = 2$，将 $△ ABC$ 沿 $AC$ 所在直线翻折 $180°$ 到原来所在同一平面内，若点 $B$ 的落点记为 $B'$，则 $DB'$ 的长为。

9. $\sqrt{2}$