5. 一场大雪后，在平整地面上有一层厚度均匀的积雪，小华用刻度尺测出水平地面上积雪厚度为 $ 180 \, \mathrm{mm} $，然后他用脚使劲将雪踏实，测出脚踩出的雪坑的深度为 $ 165 \, \mathrm{mm} $，如图所示，已知脚印下的雪由于受外力挤压可近似看成冰层，冰的密度为 $ 0.9 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3 $。求：
（1）积雪的密度。
（2）在该地面上 $ 100 \, \mathrm{m}^2 $ 积雪的质量。

（1）已知雪的厚度$h_1 = 180\ \mathrm{mm} = 0.18\ \mathrm{m}$，雪坑的深度$h_2 = 165\ \mathrm{mm} = 0.165\ \mathrm{m}$，雪被踩后成为冰，密度是$0.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，设脚印的面积为$S$，则雪的体积$V_{\mathrm{雪}} = Sh_1$，冰的体积$V_{\mathrm{冰}} = S(h_1 - h_2)$，雪和冰质量不变，根据密度公式$\rho = \frac{m}{V}$得$\frac{\rho_{\mathrm{雪}}}{\rho_{\mathrm{冰}}} = \frac{V_{\mathrm{冰}}}{V_{\mathrm{雪}}} = \frac{h_1 - h_2}{h_1} = \frac{0.18\ \mathrm{m} - 0.165\ \mathrm{m}}{0.18\ \mathrm{m}} = \frac{1}{12}$，所以$\rho_{\mathrm{雪}} = \frac{1}{12}\rho_{\mathrm{冰}} = \frac{1}{12} × 0.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 = 0.075 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$（2）该地面上雪的体积$V' = S'h_1 = 100\ \mathrm{m}^2 × 0.18\ \mathrm{m} = 18\ \mathrm{m}^3$，该地面雪的质量$m' = \rho_{\mathrm{雪}} V' = 0.075 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 18\ \mathrm{m}^3 = 1350\ \mathrm{kg}$

（1）已知雪的厚度$h_1 = 180\ \mathrm{mm} = 0.18\ \mathrm{m}$，雪坑的深度$h_2 = 165\ \mathrm{mm} = 0.165\ \mathrm{m}$，冰的密度$\rho_{\mathrm{冰}} = 0.9 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。设脚印面积为$S$，雪的体积$V_{\mathrm{雪}} = Sh_1$，冰的体积$V_{\mathrm{冰}} = S(h_1 - h_2)$。雪和冰质量不变，由$\rho = \frac{m}{V}$得$\frac{\rho_{\mathrm{雪}}}{\rho_{\mathrm{冰}}} = \frac{V_{\mathrm{冰}}}{V_{\mathrm{雪}}} = \frac{h_1 - h_2}{h_1}$。代入数据：$\frac{\rho_{\mathrm{雪}}}{0.9 × 10^3} = \frac{0.18 - 0.165}{0.18} = \frac{1}{12}$，解得$\rho_{\mathrm{雪}} = \frac{1}{12}×0.9×10^3 = 0.075×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
（2）地面面积$S' = 100\ \mathrm{m}^2$，雪的体积$V' = S'h_1 = 100×0.18 = 18\ \mathrm{m}^3$，质量$m' = \rho_{\mathrm{雪}}V' = 0.075×10^3×18 = 1350\ \mathrm{kg}$。
（1）$0.075×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$；（2）$1350\ \mathrm{kg}$

6. （2025·宿迁泗洪期中）小明的父亲外出时买了一个体积为 $ 300 \, \mathrm{cm}^3 $ 铝材料制造的球形艺术品，用天平测得此球的质量是 $ 540 \, \mathrm{g} $。（$ \rho_{\mathrm{铝}} = 2.7 × 10^3 \, \mathrm{kg/m}^3 $）
（1）请通过计算说明此球是实心还是空心的。
（2）若是空心的，则空心部分的体积为多少？
（3）若在空心部分注满某种液体后，球的总质量为 $ 630 \, \mathrm{g} $，则该液体的密度是多少？

（1）铝的密度$\rho_{\mathrm{铝}} = 2.7 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 = 2.7\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho = \frac{m}{V}$得，$V_{\mathrm{实心}} = \frac{m}{\rho_{\mathrm{铝}}} = \frac{540\ \mathrm{g}}{2.7\ \mathrm{g/cm}^3} = 200\ \mathrm{cm}^3 ＜ 300\ \mathrm{cm}^3$，因为$V_{\mathrm{实心}} ＜ V_{\mathrm{球}}$，所以此球是空心的（2）$V_{\mathrm{空心}} = V_{\mathrm{球}} - V_{\mathrm{实心}} = 300\ \mathrm{cm}^3 - 200\ \mathrm{cm}^3 = 100\ \mathrm{cm}^3$（3）由题可得球中液体的质量$m_{\mathrm{液}} = m_{\mathrm{总}} - m = 630\ \mathrm{g} - 540\ \mathrm{g} = 90\ \mathrm{g}$，铝球的空心部分注满某种液体后，液体的体积$V_{\mathrm{液}} = V_{\mathrm{空心}} = 100\ \mathrm{cm}^3$，所以液体的密度$\rho_{\mathrm{液}} = \frac{m_{\mathrm{液}}}{V_{\mathrm{液}}} = \frac{90\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{cm}^3} = 0.9\ \mathrm{g/cm}^3$

7. （2024·南京玄武校级期中）细心的小明发现家中白酒瓶上标有“$ 500 \, \mathrm{mL} 50\% \mathrm{vol} $”字样，他通过查阅资料了解到：$ \% \mathrm{vol} $ 是表示酒精度数的单位，表示酒精体积与白酒体积的百分比。即“$ 50\% \mathrm{vol} $”表示 $ 100 \, \mathrm{mL} $ 白酒中，含有 $ 50 \, \mathrm{mL} $ 的酒精，其余的物质是水。（$ \rho_{\mathrm{酒精}} = 0.8 \, \mathrm{g/cm}^3 $，不考虑体积随温度的变化，不计酒精和水混合后体积的变化）
（1）求这瓶白酒中酒精的质量。
（2）求这瓶白酒的密度。
（3）若将这瓶白酒的酒精度数调整到“$ 40\% \mathrm{vol} $”，需要加多少毫升水？

（1）根据“$50\%\ \mathrm{vol}$”的含义可知这瓶白酒中含有酒精的体积$V_{\mathrm{酒精}} = 500\ \mathrm{mL} × 50\% = 250\ \mathrm{mL} = 250\ \mathrm{cm}^3$；依据$\rho = \frac{m}{V}$可知，这瓶白酒中酒精的质量$m_{\mathrm{酒精}} = \rho_{\mathrm{酒精}} V_{\mathrm{酒精}} = 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 × 250\ \mathrm{cm}^3 = 200\ \mathrm{g}$（2）这瓶白酒中水的体积$V_{\mathrm{水}} = 500\ \mathrm{mL} - 250\ \mathrm{mL} = 250\ \mathrm{mL} = 250\ \mathrm{cm}^3$；水的质量$m_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}} = 1\ \mathrm{g/cm}^3 × 250\ \mathrm{cm}^3 = 250\ \mathrm{g}$；所以这瓶白酒的总质量$m = m_{\mathrm{酒精}} + m_{\mathrm{水}} = 200\ \mathrm{g} + 250\ \mathrm{g} = 450\ \mathrm{g}$，这瓶白酒的密度$\rho_{\mathrm{白酒}} = \frac{m}{V} = \frac{450\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3} = 0.9\ \mathrm{g/cm}^3$（3）若将这瓶白酒的酒精度调整到“$40\%\ \mathrm{vol}$”，则白酒的体积$V_{\mathrm{白酒}}' = \frac{V_{\mathrm{酒精}}}{40\%} = \frac{250\ \mathrm{mL}}{40\%} = 625\ \mathrm{mL}$；还需要加水的体积$V_{\mathrm{加水}} = V_{\mathrm{白酒}}' - V_{\mathrm{白酒}} = 625\ \mathrm{mL} - 500\ \mathrm{mL} = 125\ \mathrm{mL}$