11.(1)按下列语句作图：
①任意作一个$∠ AOB$；②在角内部取一点$P$；③过点$P$分别作$PQ// OA,PM// OB$.
(2)在(1)所作的图中，若$∠ AOB=30°$，猜想$∠ MPQ$的度数.(不用说明理由)

11.解:(1)如答图.
(2)$∠ MPQ$的度数为$30°$或$150°$.

【分析】
(1) 作图题按题干给出的步骤依次操作即可：首先画出任意度数的∠AOB，再在角的内部标注点P，最后利用三角板平移法，分别过点P作OA、OB的平行线即可。(2) 求∠MPQ度数时，依据平行线的性质，两直线平行时同位角相等、同旁内角互补，结合已知∠AOB的度数，分析平行后形成的角与∠AOB的位置关系，即可得到对应的结果，注意不要漏解。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 以O为顶点，先画射线OA，再画射线OB，得到任意∠AOB；
② 在∠AOB的内部区域，标记一个点P；
③ 用平移法画平行线：将三角板的一条边与OA重合，直尺紧贴三角板的另一条边，平移三角板至其边沿经过点P，沿该边画直线得到$PQ// OA$；用同样的方法，将三角板边沿与OB重合，平移后过点P画直线得到$PM// OB$，作图结果如答图所示。
(2) 根据平行线的性质：
因为$PM// OB$，所以PM与OA形成的角和∠AOB相等，为$30°$；又因为$PQ// OA$，若∠MPQ与上述$30°$的角是同位角，则$∠ MPQ=30°$；若∠MPQ与上述$30°$的角是同旁内角，则$∠ MPQ=180°-30°=150°$。
【答案】
(1)如答图.
(2)$∠ MPQ$的度数为$30°$或$150°$.
【知识点】
平行线的画法；平行线的性质；角的运算
【点评】
本题结合作图考查平行线的相关知识，作图部分属于基础操作，计算部分需要考虑平行线形成的角存在相等、互补两种情况，做题时要全面分析图形，避免漏解。
【难度系数】
0.6

12. 如图,在三角形 $ABC$ 中,$D$ 为 $AB$ 的中点.
(1)过点 $D$ 作线段 $DE // BC$ 交 $AC$ 于点 $E$;
(2)过点 $D$ 作线段 $DF // AC$ 交 $BC$ 于点 $F$;
(3)度量线段 $AE,CE$ 的长度,度量线段 $BF,CF$ 的长度,分析这两组数据后,写出你猜想得到的结论;
(4)度量线段 $DE,BC$ 的长度,度量线段 $DF,AC$ 的长度,分析这两组数据后,写出你猜想得到的结论.

12.解:(1)如答图,线段 $DE$ 即为所求.
(2)如答图,线段 $DF$ 即为所求.
(3)由度量结果,得 $AE=CE,BF=CF$.
猜想:经过三角形一边的中点,且平行于三角形另一边的直线经过三角形第三边的中点.
(4)由度量结果,得 $DE=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}AC$.
猜想:连接三角形两边中点的线段的长度等于第三边的一半.

【分析】
本题是动手操作探究类题目，解题可按三步思考：①作图部分：回忆平行线的平移画法，用三角板和直尺配合，平移得到符合要求的平行线DE、DF；②度量部分：按照线段度量的正确方法，分别量出AE、CE、BF、CF、DE、BC、DF、AC的长度；③猜想结论部分：对比同一组线段的长度关系，结合已知D是AB中点的条件，总结出对应的规律即可。
【解析】
(1) 作图步骤：将三角板的一条直角边与BC重合，直尺紧贴三角板的另一条直角边，固定直尺平移三角板，当三角板与BC重合的边经过点D时，沿这条边画直线，与AC的交点即为E，所得线段DE就是所求平行线。
(2) 同理，将三角板的一条直角边与AC重合，直尺紧贴三角板的另一条直角边，固定直尺平移三角板，当三角板与AC重合的边经过点D时，沿这条边画直线，与BC的交点即为F，所得线段DF就是所求平行线。
(3) 用刻度尺分别度量AE和CE、BF和CF的长度，可发现AE与CE长度相等，BF与CF长度相等，结合D是AB中点、DE//BC、DF//AC的条件，即可得到对应猜想结论。
(4) 用刻度尺分别度量DE和BC、DF和AC的长度，可发现DE长度为BC的一半，DF长度为AC的一半，结合D、E、F分别是各边中点的结论，即可得到对应猜想结论。
【答案】
(1)如答图,线段 $DE$ 即为所求.
(2)如答图,线段 $DF$ 即为所求.
(3)由度量结果,得 $AE=CE,BF=CF$.
猜想:经过三角形一边的中点,且平行于三角形另一边的直线经过三角形第三边的中点.
(4)由度量结果,得 $DE=\frac{1}{2}BC,DF=\frac{1}{2}AC$.
猜想:连接三角形两边中点的线段的长度等于第三边的一半.
【知识点】
平行线的画法；线段的度量；几何规律探究
【点评】
本题通过动手作图、度量、归纳的流程探究三角形内平行线的相关性质，既考查了平行线的作图等基础技能，也锻炼了学生的观察能力和归纳总结能力，为后续三角形相关性质的学习做了铺垫。
【难度系数】
0.8

13.平面内的三条直线有4种不同的位置关系，相关性质如下表：

规定：“净线段”“净射线”是指除端点外无其他交点的线段、射线.
(1)平面内的四条直线有多种不同的位置关系，这四条直线：
①所得交点的个数可能是；(写出所有不同的结果)
②被交点分成的“净线段”或“净射线”最多有条；
③将平面分成区域的个数可能是.(写出所有不同的结果)
(2)①平面内的$n$条直线所得交点的个数最多为；(用含$n$的代数式表示)
②平面内的$n$条直线将平面最多分成个区域.(用含$n$的代数式表示)

13.(1)①0或1或3或4或5或6 ②16 ③5或8或9或10或11
(2)①$\frac{n(n-1)}{2}$ ②$[\frac{n(n+1)}{2}+1]$

【分析】
本题围绕平面内直线的位置关系展开，解题思路如下：
1. 探究四条直线的交点、分区域结果时，按照“全平行→部分平行→无平行（区分有无三线共点）”的顺序分类讨论，避免漏解或多解；
2. 求“净线段/净射线”最大值时，需保证交点最多，即无平行直线、无三线共点，此时每条直线被交点分成的段数最多；
3. 推导n条直线的最值规律时，可从2条、3条、4条直线的特殊情况入手，归纳总结一般规律，再代入验证是否成立。
【解析】
(1)① 对四条直线的位置关系分类讨论：
4条直线互相平行：无交点，个数为0；
4条直线交于同一点：仅1个公共交点，个数为1；
3条直线互相平行，第4条与这3条都相交：共3个交点；
两组平行线相交（2条平行，另外2条也平行），或3条直线共点、第4条与这3条分别相交且不过公共点：共4个交点；
2条直线平行，另外2条不平行且交点不在平行线上，两条斜线均与平行线相交：共$2×2+1=5$个交点；
无平行直线，且任意三条不共点，两两相交：总交点数为$3+2+1=6$；
综上，交点个数可能是0或1或3或4或5或6。
② 要“净线段/净射线”最多，需交点最多（无平行、无三线共点）：此时每条直线与另外3条直线相交，每条直线上有3个交点，被分成4段，总条数为$4×4=16$条。
③ 对区域个数分类讨论：
4条全平行：分平面为$4+1=5$个区域；
3条平行第4条与其相交、4条共点、两组平行线相交这三类情况，均将平面分为8个区域；
3条共点、第4条平行于其中一条等情况，将平面分为9个区域；
交点数为5的情况，将平面分为10个区域；
交点最多（6个）时，分平面个数为$1+1+2+3+4=11$个；
综上，区域个数可能是5或8或9或10或11。
(2)① n条直线交点最多时，任意两条不平行、任意三条不共点：第1条和其余$n-1$条交$n-1$个点，第2条和剩下$n-2$条交$n-2$个新点，……，最后两条交1个点，总和为$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$。
② n条直线分平面最多时，第1条分2个区域，第2条最多新增2个区域，第3条最多新增3个区域……第n条最多新增n个区域，总和为$1+1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}+1$。
【答案】
(1)①0或1或3或4或5或6 ②16 ③5或8或9或10或11
(2)①$\frac{n(n-1)}{2}$ ②$\frac{n(n+1)}{2}+1$
【知识点】
平行线的概念、相交线的性质、规律探究
【点评】
本题重点考查分类讨论思想和归纳推理能力，分类时要做到不重不漏，总结一般规律时可通过少量直线的情况验证结论的正确性，是相交线与平行线章节的典型拓展题型。
【难度系数】
0.6