17.如图,这是乐乐在公园荡秋千的示意图,开始时乐乐坐在秋千的起始位置,且起始位置与地面垂直。秋千的转轴O到地面的距离OA=3 m。乐乐在荡秋千的过程中,当她摆动到最高点C时,过点C作CE⊥OA于点E。此时点C到OA的距离CE=2 m。当乐乐从C处摆动到B处时,有BO⊥CO,过点B作BD⊥OA于点D。
(1)OB与OC是否相等?
(2)试说明:∠BOD=∠OCE。
(3)求OD的长度。

17.解:(1)因为OB与OC表示相同的秋千绳,
所以$OB=OC$。
(2)因为$CE⊥ OA$于点E,$BO⊥ CO$于点O,$BD⊥ OA$于点D,
所以$∠ BDO=∠ OEC=∠ BOC=90°$,
所以$∠ BOD+∠ COE=90°,∠ OCE+∠ COE=90°$,
所以$∠ BOD=∠ OCE$。
(3)在$△ BOD$和$△ OCE$中,$\begin{cases}∠ BDO=∠ OEC,\\∠ BOD=∠ OCE,\\OB=CO,\end{cases}$
所以$△ BOD≌△ OCE(\mathrm{AAS})$,
所以$OD=CE=2\ \mathrm{m}$,
即$OD$的长度为2 m。

【分析】
(1)第一问可结合生活常识判断：OB和OC都是秋千的绳索，同一根秋千绳索长度固定，因此可直接得出二者的长度关系；
(2)第二问要证两个角相等，先梳理图中的垂直条件，能得到多个90°角，发现∠BOD和∠OCE都与∠COE互余，根据同角的余角相等即可证明两角相等；
(3)第三问要求OD的长度，已知CE=2m，结合前两问得到的角相等、边相等的结论，可证明△BOD和△OCE全等，再根据全等三角形对应边相等即可求出OD的长度。
【解析】
(1) 因为OB和OC是同一秋千的绳索，长度固定，所以$OB=OC$，二者相等。
(2) 证明：$\because CE⊥ OA$于点E，$BD⊥ OA$于点D，$BO⊥ CO$于点O，
$\therefore ∠ BDO=∠ OEC=∠ BOC=90°$，
$\therefore ∠ BOD+∠ COE=90°$，$∠ OCE+∠ COE=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠ BOD=∠ OCE$。
(3) 解：在$△ BOD$和$△ OCE$中：
$\begin{cases}∠ BDO=∠ OEC \\∠ BOD=∠ OCE \\OB=OC\end{cases}$
$\therefore △ BOD≌△ OCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=CE$，
已知$CE=2\ \mathrm{m}$，因此$OD=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $OB$与$OC$相等；
(2) $∠ BOD=∠ OCE$，证明如上；
(3) $OD$的长度为$2\ \mathrm{m}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，垂线的定义
【点评】
本题结合生活中的荡秋千场景出题，引导学生将实际问题转化为几何问题求解，考查的都是基础几何知识点，解题核心是抓住“秋千绳长度不变”这一隐含条件，再结合垂直、余角、全等三角形的相关性质逐步推导即可。
【难度系数】
0.8

拓展培优
18.某校项目式学习小组开展项目活动。
项目主题:测量某水潭的宽度。
问题驱动:能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度?
组内探究:由于水潭中间不易到达,无法直接测量,需要借助一些工具,比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角仪、平面镜等,甚至还可以利用无人机,确定方法后,先画出测量示意图,然后进行实地测量,并得到具体数据,从而计算水潭的宽度。
成果展示:下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案:

(1)经过同学们的讨论和老师的点评,同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度,我们学习了以下判定三角形全等的方法:①SSS;②ASA或AAS;③SAS。上述两种方案分别应用了哪种判定三角形全等的方法?
答:方案一:;方案二:。(填序号)
(2)请写出方案一计算水潭的宽度AB的过程。

18.解:(1)② ③
(2)因为$CE// AB$,所以$∠ B=∠ C,∠ A=∠ E$。
在$△ BDA$和$△ CDE$中,$\begin{cases}∠ A=∠ E,\\∠ B=∠ C,\\BD=CD,\end{cases}$
所以$△ BDA≌△ CDE(\mathrm{AAS})$,所以$BA=CE=20\ \mathrm{m}$。

【分析】
本题考查全等三角形在实际测量场景中的应用。第(1)问解题思路：先回忆全等三角形的4种判定定理的适用条件，再匹配两种测量方案构造的相等条件：方案一构造了两组角对应相等、一组对边相等，对应ASA/AAS的判定规则；方案二构造了两组边对应相等且两边的夹角相等，对应SAS的判定规则。第(2)问解题思路：先利用平行线的性质得到两组内错角相等，再结合已知的边相等条件，用AAS证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质，即可求出水潭宽度AB的长度。
【解析】
(1) 方案一的构造满足两角及其中一角的对边相等的全等判定条件，对应判定方法②ASA或AAS；方案二的构造满足两边及其夹角相等的全等判定条件，对应判定方法③SAS。
(2) 由方案一的测量构造可知$CE// AB$，根据平行线的内错角相等性质可得：$∠ B=∠ C$，$∠ A=∠ E$。
在$△ BDA$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ E\\∠ B=∠ C\\BD=CD\end{cases}$
因此$△ BDA≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，根据全等三角形对应边相等的性质，可得$BA=CE$，代入测得的$CE=20\ \mathrm{m}$，即可得到$AB$的长度。
【答案】
(1) $\boxed{②}$；$\boxed{③}$
(2) 因为$CE// AB$,所以$∠ B=∠ C,∠ A=∠ E$。
在$△ BDA$和$△ CDE$中,$\begin{cases}∠ A=∠ E,\\∠ B=∠ C,\\BD=CD,\end{cases}$
所以$△ BDA≌△ CDE(\mathrm{AAS})$,所以$BA=CE=20\ \mathrm{m}$。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题将几何知识和实际测量需求结合，考查学生将实际问题抽象为几何模型的能力，需要熟练掌握全等三角形的判定规则和性质，是几何知识应用于生活的典型题型。
【难度系数】
0.7