1. 如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE.若$AE=4$,$EC=2$,则BC的长是 （）

A.2
B.4
C.6
D.8




（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）

1. C 解析：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE=4，
∴BC=BE+EC=4+2=6.

【分析】
解题的突破口是题目给出的“AB的垂直平分线”这一条件，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。点E在AB的垂直平分线DE上，因此可推出BE和AE长度相等，已知AE=4即可得到BE的长度；又因为BC由BE和EC两段组成，已知EC=2，将两段长度相加就能求出BC的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：BE=AE=4，
又
∵EC=2，
∴BC=BE+EC=4+2=6，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是利用性质得到相等的线段，再结合线段和差关系计算即可。
【难度系数】
0.9

2. 如图,点 D 在$△ ABC$的边 BC 上,且$BC=BD+AD$,则点 D （）

A.在线段 AB 的垂直平分线上
B.在线段 AC 的垂直平分线上
C.在线段 BC 的垂直平分线上
D.不能确定

2. B

【分析】
首先观察已知条件$BC=BD+AD$，结合点D在BC上的位置特征，我们知道线段BC本身可拆分为$BD+DC$，将这两个式子对比就能得到相等的线段关系，再结合线段垂直平分线的判定定理（到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上），即可判断点D的位置。
【解析】
$\because$ 点D在$△ ABC$的边BC上
$\therefore BC=BD+DC$
又$\because$ 已知$BC=BD+AD$
$\therefore BD+DC=BD+AD$
等式两边同时减去BD，可得$AD=DC$
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点D在线段AC的垂直平分线上。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
线段的和差计算；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础类题目，解题的核心是通过线段的和差关系推导出$AD=DC$，再结合线段垂直平分线的判定定理即可得出结论，能有效考查学生对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ABC$中,D为边BC上的一点,且$AC=AD$,线段BD的垂直平分线交边AB于点E,$AB=8$,$AC=6$,则$△ ADE$的周长为 （）

A.14
B.16
C.18
D.20

3. A 解析：
∵线段BD的垂直平分线交边AB于点E，
∴ED=BE，
∴AE+BE=AE+DE=8.
∵AC=AD，
∴AD=6，则△ADE的周长为AE+DE+AD=14.

【分析】
要求△ADE的周长，首先明确周长为AE+DE+AD，需要将未知线段转化为已知长度的线段。首先根据线段垂直平分线的性质，可得ED=BE，由此可将AE+DE转化为AE+BE，也就是AB的长度；再结合AC=AD的条件，可得到AD的长度等于AC的长度，最后代入数值即可求出周长。
【解析】
∵线段BD的垂直平分线交边AB于点E，
∴根据线段垂直平分线的性质，点E到B、D两点的距离相等，即ED=BE，
∴AE+DE = AE+BE = AB = 8，
又
∵AC=AD，AC=6，
∴AD=6，
∴△ADE的周长 = AE+DE+AD = 8+6 = 14。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等价转化，将未知的线段和转化为已知的边长，降低计算难度，解题时要注意挖掘题目中隐含的线段相等关系。
【难度系数】
0.8

4. 如图,线段AC、AB的垂直平分线交于点O,已知OC=2,则OB=.

4. 2 解析：连接OA.
∵线段AC、AB的垂直平分线交于点O，
∴OA=OC，OA=OB，
∴OB=OC=2.

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。已知点O是线段AC、AB的垂直平分线的交点，说明点O同时在两条垂直平分线上，因此我们可以通过连接辅助线OA，将OB、OC分别与OA建立等量关系，最后通过等量代换就能求出OB的长度。
【解析】
连接OA.
∵ 线段AC的垂直平分线过点O，
∴ OA = OC，
∵ 线段AB的垂直平分线过点O，
∴ OA = OB，
∴ OB = OC = 2.
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是正确作出辅助线OA，利用性质建立线段间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 如图,已知直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线,$ C、D $是$ l $上任意两点(除$ AB $的中点外).求证:$ ∠ CAD=∠ CBD $.

5. 证明：
∵直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线且$ C、D $在直线$ l $上，
∴$ CA = CB, DA = DB $. 在$ △CAD $ 和 $ △CBD $ 中，
$\begin{cases} DA=DB, \\ CA=CB, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴$ △CAD≌△CBD $(SSS),
∴$ ∠CAD=∠CBD $.

【分析】
要证明∠CAD=∠CBD，可通过证明两角所在的三角形全等推导。首先结合已知条件：直线l是AB的垂直平分线，C、D在l上，根据线段垂直平分线的性质可得到两组相等的线段；再观察△CAD和△CBD，除了得到的两组相等线段外，还有公共边CD，因此可通过SSS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线且$ C、D $在直线$ l $上，
∴$ CA = CB, DA = DB $。
在$ △CAD $ 和 $ △CBD $ 中，
$\begin{cases} DA=DB, \\ CA=CB, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴$ △CAD≌△CBD $(SSS)，
∴$ ∠CAD=∠CBD $。
【答案】
$∠CAD=∠CBD$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再结合公共边构造全等三角形，通过全等的性质得到对应角相等，熟练掌握相关定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

6. 如图，C是线段AB外一点.借助无刻度的直尺和圆规，判断点C是否在线段AB的垂直平分线上.（要求：用两种方法判断；保留作图痕迹，不写作法）

6. 方法一:如图1,以点 C 为圆心、CA 的长为半径画圆 C,圆弧经过点 B 即可判定点 C 在线段 AB 的垂直平分线上.
方法二:如图2,作线段 AB 的垂直平分线,若经过点 C 即可判定点 C 在线段 AB 的垂直平分线上.

【分析】
要判断点C是否在线段AB的垂直平分线上，可从两个方向思考：
1. 从判定定理出发：根据“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，仅需验证CA与CB的长度是否相等，用圆规即可完成长度比较。
2. 从定义出发：先作出线段AB的垂直平分线，直接观察点C是否在这条直线上，通过尺规作垂直平分线的基本操作即可实现。
【解析】
方法一：利用线段垂直平分线的判定定理验证。以点C为圆心、CA的长为半径画弧，若圆弧经过点B，说明CA=CB，即可判定点C在线段AB的垂直平分线上；若圆弧不经过点B，则点C不在AB的垂直平分线上。
方法二：利用垂直平分线的定义作图验证。先用尺规作出线段AB的垂直平分线，若该垂直平分线经过点C，即可判定点C在线段AB的垂直平分线上；若不经过，则点C不在AB的垂直平分线上。
【答案】
方法一:如图1,以点 C 为圆心、CA 的长为半径画圆 C,圆弧经过点 B 即可判定点 C 在线段 AB 的垂直平分线上.
方法二:如图2,作线段 AB 的垂直平分线,若经过点 C 即可判定点 C 在线段 AB 的垂直平分线上.

【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规基本作图
【点评】
本题结合尺规操作考查线段垂直平分线判定的应用，两种解题思路分别从点的性质、线的位置两个角度切入，既加深了对垂直平分线相关定理的理解，也锻炼了动手作图能力。
【难度系数】
0.8