7. 将点$A(n-1,n+2)$先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点$A'$. 若点$A'$位于第三象限，则$n$的取值范围是（）

A.$n＜-2$
B.$n＜-4$
C.$n＞1$
D.$-4＜n＜-2$

7. B
解析:将点$A(n-1,n+2)$先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点$A'(n+2,n+4)$.
∵点$A'$位于第三象限,$\therefore \begin{cases} n+2＜0, \\ n+4＜0, \end{cases}$解得$n＜-4$.

【分析】
解题时可按三步思考：第一步，回忆点平移的坐标变化规律：横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减，据此计算平移后点$A'$的坐标；第二步，明确第三象限内点的坐标特征：横、纵坐标均为负数，以此为依据列出关于$n$的一元一次不等式组；第三步，求解不等式组，根据解集判断对应选项即可。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律，点$A$向右平移3个单位长度时横坐标加3，向上平移2个单位长度时纵坐标加2：
平移后点$A'$的横坐标为$(n-1)+3 = n+2$，纵坐标为$(n+2)+2 = n+4$，即$A'(n+2, n+4)$。
∵点$A'$位于第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均小于0，
∴列不等式组：$\begin{cases} n+2 ＜ 0 \\ n+4 ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得$n ＜ -2$，解第二个不等式得$n ＜ -4$，根据“同小取小”的解集取法，得不等式组的解集为$n ＜ -4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
点平移的坐标规律；象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础综合题，将坐标平移、象限特征与不等式组的知识点结合考查，解题核心是准确记忆相关基础概念，避免混淆平移规律和象限坐标符号，同时要正确掌握不等式组解集的取法。
【难度系数】
0.7

8. 如图，$△ ABC$经过一定的平移得到$△ A'B'C'$. 如果$△ ABC$上一点$P$的坐标为$(a,b)$，那么这个点在$△ A'B'C'$上的对应点$P'$的坐标为 （）



A.$(a-2,b-3)$
B.$(a-3,b-2)$
C.$(a+3,b+2)$
D.$(a+2,b+3)$

8. C
解析:
∵点B的坐标为$(-2,0)$,点$B'$的坐标为$(1,2)$,$\therefore △ ABC$向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到$△ A'B'C'$.
∵$△ ABC$上点P的坐标为$(a,b)$,
∴点P变换后的对应点$P'$的坐标为$(a+3,b+2)$.

【分析】
平移的核心性质是图形上所有点的平移方向、平移距离完全相同，因此所有对应点的坐标变化规律一致。解题时我们可以先选取一组已知坐标的对应顶点，计算出横、纵坐标的平移变化量，再将该变化量应用到点P上，结合平移"右加左减、上加下减"的坐标变化规则，就能求出对应点P'的坐标。
【解析】
首先选取对应点B和B'，已知点B的坐标为$(-2,0)$，对应点$B'$的坐标为$(1,2)$：
1. 横坐标变化：$1-(-2)=3$，说明$△ ABC$向右平移了3个单位长度，因此点的横坐标需加3；
2. 纵坐标变化：$2-0=2$，说明$△ ABC$向上平移了2个单位长度，因此点的纵坐标需加2。
已知$△ ABC$上点P的坐标为$(a,b)$，按照上述平移规则，对应点$P'$的横坐标为$a+3$，纵坐标为$b+2$，即$P'(a+3,b+2)$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平移的性质
2. 平移的坐标变化规律
【点评】
本题考查平移变换与坐标变化的结合应用，解题关键是通过已知对应点的坐标差确定整体平移规则，熟练掌握平移的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

9. 如图,第一象限内有两点$P(m-4,n)$、$Q(m,n-3)$,将线段$PQ$平移,使点$P$、$Q$分别落在两条坐标轴上,则点$P$平移后的对应点的坐标是$\underline{\hspace{5cm}}$.

9. $(0,3)$或$(-4,0)$
解析:设平移后点P、Q的对应点分别是$P'$、$Q'$.分两种情况:①点$P'$在y轴上,点$Q'$在x轴上,则点$P'$的横坐标为0,点$Q'$的纵坐标为0,$\because 0-(n-3)=-n+3$,$\therefore n-n+3=3$,
∴点P平移后的对应点的坐标是$(0,3)$;②点$P'$在x轴上,点$Q'$在y轴上,则点$P'$的纵坐标为0,点$Q'$的横坐标为0,$\because 0-m=-m$,$\therefore m-4-m=-4$,
∴点P平移后的对应点的坐标是$(-4,0)$.综上所述,点P平移后的对应点的坐标是$(0,3)$或$(-4,0)$.

【分析】
解决这道题首先要明确平移的核心性质：线段平移时，线段上所有点的横、纵坐标的变化量完全相同。题目要求平移后P、Q分别落在两条坐标轴上，说明两个对应点一个在x轴（纵坐标为0），一个在y轴（横坐标为0），因此需要分两种情况讨论：①P的对应点在y轴，Q的对应点在x轴；②P的对应点在x轴，Q的对应点在y轴，再分别根据平移的坐标变化规律计算即可。
【解析】
设平移后点P、Q的对应点分别是$P'$、$Q'$，分两种情况讨论：
① 当$P'$在y轴上，$Q'$在x轴上时：
y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0，因此$P'$横坐标为0，$Q'$纵坐标为0。
平移时纵坐标的变化量为：$0-(n-3)=3-n$，
则$P'$的纵坐标为$n + (3 - n) = 3$，
因此$P'$的坐标为$(0,3)$；
② 当$P'$在x轴上，$Q'$在y轴上时：
x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，因此$P'$纵坐标为0，$Q'$横坐标为0。
平移时横坐标的变化量为：$0 - m = -m$，
则$P'$的横坐标为$(m - 4) + (-m) = -4$，
因此$P'$的坐标为$(-4,0)$。
综上，点P平移后的对应点坐标为$(0,3)$或$(-4,0)$。
【答案】
$(0,3)$或$(-4,0)$
【知识点】
平移的坐标变化规律；坐标轴上点的坐标特征；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查图形平移的坐标性质，解题的关键是抓住平移过程中所有点的横、纵坐标变化量一致的特点，同时要注意分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

10. 在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为$(1,1)$,点 Q 在第二象限,且$PQ// x$轴.若$PQ=5$,则点 Q 的坐标为________.

10. $(-4,1)$

【分析】
解题时首先利用平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等的特征，确定点Q的纵坐标；再根据PQ的长度求出点Q横坐标的可能值；最后结合点Q在第二象限的限制条件，筛选出符合要求的横坐标，即可得到点Q的坐标。
【解析】
解：
∵$PQ// x$轴，点P的坐标为$(1,1)$，
∴点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，即$y_Q=1$。
设点Q的横坐标为$x$，
∵$PQ=5$，
∴$|x-1|=5$，
解得$x=6$或$x=-4$。
又
∵点Q在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，
∴$x=6$不符合题意，舍去，
∴$x=-4$，即点Q的坐标为$(-4,1)$。
【答案】
$(-4,1)$
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 象限点的符号特征
3. 平行于x轴的两点距离计算
【点评】
本题是平面直角坐标系坐标规律的基础应用题，解题的关键是牢记平行于坐标轴的点的坐标特征，同时要注意结合点所在的位置对求出的多解进行取舍，避免因忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,沿着箭头所示方向,每次移动1个单位长度,依次得到点 $ P_1(0,1) $、$ P_2(1,1) $、$ P_3(1,0) $、$ P_4(1,-1) $、$ P_5(2,-1) $、$ P_6(2,0) $,则点 $ P_{2026} $ 的坐标是.

11. $(675,-1)$
解析:根据题意,该点按“上→右→下→下→右→上”的方向每6次为一个循环的规律移动,且每移动一个循环向右移动2个单位长度.$\because 2026÷6=337······4$,
∴点$P_{2026}$的横坐标为$2×337+1=675$,纵坐标为$-1$,
∴点$P_{2026}$的坐标是$(675,-1)$.

【分析】
解决这类点的坐标规律探究题，首先要观察已知点的坐标变化和移动路径，寻找重复出现的规律：首先观察给出的$P_1$到$P_6$的坐标，会发现每移动6次，点的移动方向规律就会重复，且每完成6次移动，整体向右平移2个单位，属于周期规律问题。接下来先计算总移动次数2026里包含多少个完整周期、剩余几次移动，再根据周期对应的坐标变化和剩余步数对应的位置，分别计算横坐标和纵坐标即可。
【解析】
观察点的移动规律可得：每6次移动为一个循环周期，每个周期结束后，点的横坐标增加2，移动路径的规律在每个周期内完全一致。
计算2026除以6的商和余数：$2026 ÷ 6 = 337······4$，即经过了337个完整的循环周期，还剩余4次移动。
横坐标计算：每个完整周期横坐标增加2，337个周期共增加$2 × 337 = 674$，剩余4次移动对应的是周期内第4个点的位置，该位置的横坐标比周期起始横坐标多1，因此总横坐标为$674 + 1 = 675$。
纵坐标计算：周期内第4个点的纵坐标为$-1$，因此$P_{2026}$的纵坐标为$-1$。
综上，点$P_{2026}$的坐标为$(675,-1)$。
【答案】
$(675,-1)$
【知识点】
坐标规律探究；周期问题；平移的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中规律探究类的典型题型，解题的核心是通过观察前若干个点的移动路径和坐标变化找到循环周期，再结合除法运算得到的商和余数推导目标点的坐标，侧重考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.65

12. 在平面直角坐标系中,对于点$ P(x,y) $,若点$ Q $的坐标为$ (ax+y,x+ay) $,则称点$ Q $是点$ P $的“$ a $阶派生点”(其中$ a $为常数,且$ a≠0 $).例如:点$ P(1,4) $的“2阶派生点”为点$ Q(2×1+4,1+2×4) $,即点$ Q(6,9) $.
(1)若点$ P $的坐标为$ (-1,5) $,则它的“3阶派生点”的坐标为________.
(2)若点$ P $的“5阶派生点”的坐标为$ (-9,3) $,求点$ P $的坐标.
(3)若点$ P(c+1,2c-1) $先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到点$ P_1 $.点$ P_1 $的“$-4$阶派生点”$ P_2 $位于坐标轴上,求点$ P_2 $的坐标.

12. (1)$(2,14)$
(2)设点P的坐标为$(a,b)$,根据题意,得$\begin{cases}5a+b=-9, \\ a+5b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2, \\ b=1,\end{cases}$
∴点P的坐标为$(-2,1)$.
(3)由题意可知,$P_1(c-1,2c)$,
∴点$P_1$的“$-4$阶派生点”为$P_2(-4(c-1)+2c,c-1-8c)$,即$P_2(-2c+4,-7c-1)$,
∵点$P_2$在坐标轴上,$\therefore -2c+4=0$或$-7c-1=0$,$\therefore c=2$或$c=-\frac{1}{7}$,
∴点$P_2$的坐标为$(0,-15)$或$(\frac{30}{7},0)$.

【分析】
(1) 直接根据“a阶派生点”的定义，将点P坐标、a=3代入对应公式计算即可得到结果。
(2) 已知派生点坐标反求原点点坐标，可先设出点P的坐标，再根据“5阶派生点”的坐标规则列出二元一次方程组，解方程组即可得到点P的坐标。
(3) 先按照“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”的平移规律求出平移后点$P_1$的坐标，再根据“$-4$阶派生点”的定义写出$P_2$的坐标表达式，最后结合坐标轴上点的坐标特征（x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0）分两种情况列方程求解c，代入即可得到$P_2$的坐标。
【解析】
(1) 已知点$P(-1,5)$，$a=3$，根据派生点定义：
横坐标为$3×(-1)+5=2$，纵坐标为$-1+3×5=14$，故3阶派生点坐标为$(2,14)$。
(2) 设点P的坐标为$(a,b)$，根据题意得：
$\begin{cases}5a+b=-9 \\ a+5b=3\end{cases}$
将第一个方程乘5得$25a+5b=-45$，减去第二个方程得$24a=-48$，解得$a=-2$，代入$5a+b=-9$得$b=1$，即$\begin{cases}a=-2 \\ b=1\end{cases}$。
(3) 点$P(c+1,2c-1)$向左平移2个单位、向上平移1个单位后：
横坐标为$c+1-2=c-1$，纵坐标为$2c-1+1=2c$，故$P_1(c-1,2c)$。
根据“$-4$阶派生点”定义，$P_2$的坐标为：
横坐标：$-4(c-1)+2c=-2c+4$，纵坐标：$c-1+(-4)×2c=-7c-1$，即$P_2(-2c+4,-7c-1)$。
∵$P_2$在坐标轴上，分两种情况：
① 若$P_2$在y轴上，则$-2c+4=0$，解得$c=2$，代入得$P_2(0,-15)$；
② 若$P_2$在x轴上，则$-7c-1=0$，解得$c=-\frac{1}{7}$，代入得$P_2(\frac{30}{7},0)$。
【答案】
(1) $(2,14)$
(2) $(-2,1)$
(3) $(0,-15)$或$(\frac{30}{7},0)$
【知识点】
新定义运算，坐标平移，二元一次方程组应用
【点评】
本题结合新定义考查坐标相关运算，难度适中，解题关键是准确理解“a阶派生点”的运算规则，第三问需注意分点在x轴、y轴两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7