1. 正方形的对称轴有（）.

A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

D

根据轴对称图形对称轴的定义，正方形的对称轴包含2组对边中点连线所在的直线，以及2条对角线所在的直线，总共有4条。

2. 下列说法正确的是（）.

A.四条边都相等的四边形是正方形
B.四个角都相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形

D

逐一判断选项：A选项，四条边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，说法错误；B选项，四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，说法错误；C选项，对角线垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，说法错误；D选项，菱形本身对角线互相垂直，若对角线相等，则该菱形满足正方形的判定条件，是正方形，说法正确。

3. 如图,正方形ABCD的面积为34,四边形DEFG也是正方形,且顶点A，E，G三点在同一条直线上，$CG=2$,则正方形DEFG的面积等于.

$\boldsymbol{18}$

1. 证明三角形全等
∵ 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形
∴ $AD=CD$，$DE=DG$，$∠ ADC=∠ EDG=90°$
∴ $∠ ADC - ∠ EDC = ∠ EDG - ∠ EDC$，即$∠ ADE=∠ CDG$
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases} AD=CD \\ ∠ ADE=∠ CDG \\ DE=DG \end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CDG$（SAS），可得$AE=CG=2$，$∠ AED=∠ CGD$。
2. 推导直角三角形
∵ 四边形DEFG是正方形，∴ $∠ DEG=∠ DGE=45°$
∴ $∠ AED=180° - ∠ DEG=135°$，因此$∠ CGD=135°$
可得$∠ AGC=∠ CGD - ∠ DGE=135° - 45°=90°$，即$△ AGC$是直角三角形。
3. 用勾股定理求AG
正方形ABCD面积为34，因此$AD^2=CD^2=34$，由勾股定理得对角线$AC^2=AD^2+CD^2=34+34=68$
在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$AG^2 + CG^2 = AC^2$，代入$CG=2$、$AC^2=68$：
$AG^2=68-2^2=64$，即$AG=8$。
4. 计算正方形DEFG的面积
∵ A、E、G三点共线，∴ $EG=AG-AE=8-2=6$，EG是正方形DEFG的对角线。
设正方形DEFG边长为$x$，由勾股定理得$EG^2=x^2+x^2=2x^2$，代入$EG=6$：
$2x^2=36$，解得$x^2=18$，即正方形DEFG的面积为18。

4. 如图，E为正方形ABCD的边AB上的点，$DF ⊥ DE$，交BC的延长线于点F. 求证：$AE=CF$.

证明如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AD=DC$，$∠ A=∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ DCF=180°-∠ BCD=90°$，即$∠ A=∠ DCF$。
$\because DF⊥ DE$，
$\therefore ∠ EDF=90°$，
$\therefore ∠ ADE + ∠ EDC = 90°$，$∠ CDF + ∠ EDC = 90°$，
$\therefore ∠ ADE=∠ CDF$。
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ DCF \\AD=DC \\∠ ADE=∠ CDF\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=CF$。

要证明$AE=CF$，可通过证明$AE$、$CF$所在的$△ ADE$和$△ CDF$全等推导得出，步骤如下：
1. 根据正方形的性质，可得$AD=DC$，$∠ A = ∠ BCD=90°$，因此$∠ DCF=180°-∠ BCD=90°$，即$∠ A=∠ DCF$。
2. 由$DF⊥ DE$得$∠ EDF=90°$，可推出$∠ ADE + ∠ EDC = ∠ CDF + ∠ EDC=90°$，根据同角的余角相等，得到$∠ ADE=∠ CDF$。
3. 结合上述条件，通过ASA判定$△ ADE≌△ CDF$，由全等三角形对应边相等即可证得$AE=CF$。

5. 在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,过点$O$作直线$EF$,$GH$,分别交平行四边形的四条边于$E$,$F$,$G$,$H$四点,连结$EG$,$GF$,$FH$,$HE$.
（1）如图甲,试判断四边形$EGFH$的形状,并说明理由.
（2）如图乙,当$EF ⊥ GH$时,四边形$EGFH$的形状是________.
（3）如图丙,在（2）的条件下,若$AC=BD$,则四边形$EGFH$的形状是________.
（4）如图丁,在（3）的条件下,若$AC ⊥ BD$,试判断四边形$EGFH$的形状,并说明理由.

（1）四边形$EGFH$是平行四边形，理由见上述解析；
（2）$\boldsymbol{菱形}$；
（3）$\boldsymbol{菱形}$；
（4）四边形$EGFH$是正方形，理由见上述解析。

（1）四边形$EGFH$是平行四边形，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC、BD$交于点$O$，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$，$AB// CD$，$AD// BC$，
∴ $∠ AGO=∠ CHO$，$∠ GAO=∠ HCO$，
∴ $△ AGO ≌ △ CHO$（AAS），得$OG=OH$，
同理可证$△ AOE ≌ △ COF$（AAS），得$OE=OF$，
∴ 四边形$EGFH$的对角线$EF、GH$互相平分，
∴ 四边形$EGFH$是平行四边形。
（2）已知四边形$EGFH$是平行四边形，且$EF⊥ GH$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可得四边形$EGFH$是菱形。
（3）$AC=BD$时，平行四边形$ABCD$是矩形，仍满足$EF、GH$过点$O$，$OE=OF$，$OG=OH$，且$EF⊥ GH$，四边形$EGFH$对角线互相平分且垂直，因此仍是菱形。
（4）四边形$EGFH$是正方形，理由如下：
∵ $AC=BD$且$AC⊥ BD$，四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $OA=OB$，$∠ OAE=∠ OBG=45°$，$AC⊥ BD$，
∵ $EF⊥ GH$，
∴ $∠ AOE + ∠ AOG=90°$，又$∠ BOG + ∠ AOG=90°$，
∴ $∠ AOE=∠ BOG$，
∴ $△ AOE ≌ △ BOG$（ASA），得$OE=OG$，
结合$OE=OF$，$OG=OH$，可得$EF=2OE$，$GH=2OG$，即$EF=GH$，
由（2）知四边形$EGFH$是菱形，对角线$EF=GH$，
∴ 菱形$EGFH$是正方形。