练习20
日期
天气

日期：2024年10月1日；天气：晴

本题为练习20的日期与天气填写类题目，需结合实际情况填写，示例填写内容如下。

1. 已知$a＜b$，$c$为任意数，则下列不等式中总是成立的是（）

A.$\frac{a}{c}＜\frac{b}{c}$
B.$a - c ＜ b - c$
C.$c - a ＜ c - b$
D.$ac^2 ＜ bc^2$

B

根据不等式的性质：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变。对各选项分析：A选项，当c＜0时，a/c ＞ b/c，不成立；B选项，a ＜ b两边同时减c，得a - c ＜ b - c，总是成立；C选项，a ＜ b两边乘-1得 -a ＞ -b，两边加c得c - a ＞ c - b，不成立；D选项，当c=0时，ac²=bc²，不成立。

2. x与6的和的一半是非负数，用不等式表示为 （）

A.$\frac{1}{2}(x+6) ≥ 0$
B.$\frac{1}{2}x + 6 ≤ 0$
C.$\frac{1}{2}x + 6 ≥ 0$
D.$\frac{1}{2}(x+6) ≤ 0$

A

先表示“x与6的和”为$x+6$，再表示“和的一半”为$\frac{1}{2}(x+6)$，“非负数”即大于等于0，因此不等式为$\frac{1}{2}(x+6)≥0$，对应选项A。

3. 如图,将两个关于$x$的一元一次不等式的解集表示在同一数轴上,则这两个不等式的公共解集为 ()


A.$x＞3$
B.$-1≤ x＜3$
C.$x≥ -1$
D.$x＜3$

A

先确定两个不等式的解集：数轴上-1处为实心点，向右延伸，对应解集为$x≥ -1$；3处为空心点，向右延伸，对应解集为$x＞3$。两个解集的公共部分是$x＞3$。

4. 已知$(m-3)x^{|m|-2} - 2 ＞ 6$是关于$x$的一元一次不等式，则$m=$.

-3

根据一元一次不等式的定义，未知数x的次数为1，且x的系数不为0。因此：
1. 未知数x的次数满足：$|m| - 2 = 1$，解得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$；
2. x的系数满足：$m - 3 ≠ 0$，解得$m≠3$；
综合以上两个条件，可得$m=-3$。

5. 若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}3x - 2y = 2k -5, \\2x - 3y = 3k\end{cases}$的解满足$x + y ＞ 3$，则$k$的取值范围是 ______ 。

$k＜-8$

先解方程组$\begin{cases}3x -2y =2k -5 \\2x -3y=3k\end{cases}$，①×3得$9x -6y=6k -15$③，②×2得$4x -6y=6k$④，③-④得$5x=-15$，解得$x=-3$；将$x=-3$代入②得$2×(-3)-3y=3k$，解得$y=-k-2$；则$x+y=-3 + (-k -2)=-k -5$，由$x+y＞3$得$-k -5＞3$，移项得$-k＞8$，两边同乘-1（不等号方向改变）得$k＜-8$。

6. 若不等式$3x - m ≤ 0$的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是。

$9 ≤ m ＜ 12$

解不等式$3x - m ≤ 0$，移项得$3x ≤ m$，系数化为1得$x ≤ \frac{m}{3}$。因为不等式的正整数解是1,2,3，所以正整数解的最大值为3，因此需满足$3 ≤ \frac{m}{3} ＜ 4$，两边同时乘3得$9 ≤ m ＜ 12$。

三、解答题
7. 解不等式组：$\begin{cases} -3x ≥ x -4, \\4 -x ＞2(1 -x), \end{cases}$ 并求出它的所有整数解的和。

不等式组的解集为$-2＜x≤1$，所有整数解的和为0。

解不等式组$\begin{cases}-3x≥ x -4&①\\4 -x＞2(1 -x)&②\end{cases}$
解不等式①：移项得$-3x -x≥ -4$，合并同类项得$-4x≥ -4$，系数化为1得$x≤1$；
解不等式②：去括号得$4 -x＞2 -2x$，移项得$-x +2x＞2 -4$，合并同类项得$x＞-2$；
所以不等式组的解集为$-2＜x≤1$，其整数解为$-1$，$0$，$1$，所有整数解的和为$-1+0+1=0$。

8. 按要求完成以下问题.
(1) 一个长方形纸片的长减少 3 cm,宽增加 1 cm,就成为一个正方形纸片,并且长方形纸片周长比正方形纸片周长的 1.5 倍少 8 cm,求这个长方形纸片的长与宽各是多少?
(2) 小明同学想用(1)中得到的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为 36 cm² 的长方形纸片,使它的长与宽之比为 3:2,请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?

(1)长为9 cm，宽为5 cm；(2)不能。

(1)设正方形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则长方形的长为$ (x+3) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (x-1) \, \mathrm{cm} $。
长方形周长为$ 2[(x+3)+(x-1)] = 4x + 4 $，正方形周长为$ 4x $。
根据题意列方程：$ 4x + 4 = 1.5 × 4x - 8 $，
解方程得：$ 4x + 4 = 6x - 8 $，$ 2x = 12 $，$ x = 6 $。
因此长方形的长为$ 6 + 3 = 9 \, \mathrm{cm} $，宽为$ 6 - 1 = 5 \, \mathrm{cm} $。
(2)设裁出的长方形长为$ 3a \, \mathrm{cm} $，宽为$ 2a \, \mathrm{cm} $，
由面积得：$ 3a × 2a = 36 $，即$ 6a^2 = 36 $，解得$ a = \sqrt{6} \approx 2.45 $，
则长为$ 3\sqrt{6} \approx 7.35 \, \mathrm{cm} $，而正方形边长为$ 6 \, \mathrm{cm} $，
因为$ 3\sqrt{6} ＞ 6 $，所以无法裁出符合要求的纸片。