11.若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2,则$\frac{a+b}{4m}+2m-3cd$的值为.

11. -7或1 解析:因为 a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,m 的绝对值为 2,所以$a+b=0,cd=1,m=±2$,所以原式$=0+2m-3=-3+2m$.当$m=2$时,原式$=1$;当$m=-2$时,原式$=-7$.

12. (2026·上海期中)对2025进行如下的操作:第一次减去它的$\frac{1}{2}$,第二次减去第一次剩下的$\frac{1}{3}$,第三次减去第二次剩下的$\frac{1}{4}$……一直到减去前一次剩下的$\frac{1}{2025}$,那么最后剩下的数是.

12. 1 解析:最后剩下的数为 $2025×(1-\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×\dots×(1-\dfrac{1}{2025}) = 2025×\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}×\dots×\dfrac{2024}{2025} = 2025×\dfrac{1}{2025} = 1.$

13. 新题型 新定义（2025·临汾期中）对于有理数$a,b$,定义运算:$a \otimes b = a × b - a - b + 1$.例如$3 \otimes 4 = 3 × 4 - 3 - 4 + 1 = 6$.
(1)计算$5 \otimes (-2)$和$(-2) \otimes 5$的值,并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律$a \otimes b = b \otimes a$,再任取一组$a,b$的值检验自己的判断；
(2)对于有理数$a=2,b=-1,c=3$,这种运算是否满足结合律$(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$,请通过计算判断.

13. (1)由题意知 $5\otimes(-2) = 5×(-2)-5-(-2)+1 = -12$,$(-2)\otimes5 = (-2)×5-(-2)-5+1 = -12$,可知$5\otimes(-2) = (-2)\otimes5$；可取 $a=2,b=1$,$2\otimes1 = 2×1-2-1+1 = 0$,$1\otimes2 = 1×2-1-2+1 = 0$,可知$2\otimes1 = 1\otimes2$,故这种运算满足交换律 $a\otimes b = b\otimes a$.
(2)由题意知 $2\otimes(-1) = 2×(-1)-2-(-1)+1 = -2$,$-1\otimes3 = (-1)×3-(-1)-3+1 = -4$,对于有理数 $a=2,b=-1,c=3$,$(a\otimes b)\otimes c = [2\otimes(-1)]\otimes3 = (-2)\otimes3 = (-2)×3-(-2)-3+1 = -6$,$a\otimes(b\otimes c) = 2\otimes[(-1)\otimes3] = 2\otimes(-4) = 2×(-4)-2-(-4)+1 = -5$,可知$(a\otimes b)\otimes c ≠ a\otimes(b\otimes c)$,故这种运算不满足结合律$(a\otimes b)\otimes c = a\otimes(b\otimes c)$.

14. 如图为乘法表的一部分,每一个空格内填入该格最上方与最左方的两数之积,则16个阴影空格中填入的数之和是。

14. 87 500 解析:因为每一个空格内填入该格最上方与最左方的两数之积,所以 16 个阴影空格中填入的数之和是$61×(86+87+88+89)+62×(86+87+88+89)+63×(86+87+88+89)+64×(86+87+88+89) = (61+62+63+64)×(86+87+88+89) = 250×350 = 87 500.$

15. (2026·镇江期中)阅读理解:计算$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$时,若把$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})$与$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$分别看作一个整体,再利用分配律进行运算,可以大大降低难度.过程如下:
解:设$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$为$A$, $(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})$为$B$,则原式$=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB=B-A=\frac{1}{5}$.
请用上面的方法计算:
(1) $(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})=$;
(2) $(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n})(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n+1})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n+1})(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n})$.

15. (1) $\dfrac{1}{7}$ 解析:设 $(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})$ 为 $A$, $(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})$ 为 $B$,则原式$=(1+A)B-(1+B)A = B+AB-A-AB = B-A = \dfrac{1}{7}.$
(2) 设 $(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n})$ 为 $A$, $(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n+1})$ 为 $B$,则原式$=(1+A)B-(1+B)A = B+AB-A-AB = B-A = \dfrac{1}{n+1}.$