23. 如图1,在正方形ABCD中,点E在AB的延长线上,连结CE,过点A作$AF⊥CE$于点F,分别交对角线BD和边BC于点G,H。
(1)求证:$BE=BH$。
(2)如图2,连结CG,EG,已知$BD=2$,设$BH=x,AE=y$。
①求$y$关于$x$的函数表达式;
②当$x=2-\sqrt{2}$时,求四边形BECG的面积。

23. (1)证明:在正方形ABCD中,$BC=AB$,$∠ABC=90°$,所以$∠CBE=∠ABC=90°$,所以$∠BCE+∠E=90°$。因为$AF⊥CE$,所以$∠BAH+∠E=90°$。所以$∠BCE=∠BAH$。所以$△BCE≌△BAH$(ASA),所以$BE=BH$。
(2)解:①由(1)可知,$BE=BH=x$。因为四边形ABCD为正方形,所以$∠BAD=90°$。又因为$BD=2$,所以$AD=AB=\sqrt{2}$。所以$AE=BE+AB=x+\sqrt{2}$,即$y=x+\sqrt{2}$。
②如图,连结AC,则$AC=BD=2$。当$x=2-\sqrt{2}$时,$AE=y=2$,所以$AE=AC$。又因为$AF⊥CE$,所以$CF=EF$,所以$GC=GE$。因为$DA=DC$,$BA=BC$,所以BD为AC的垂直平分线,所以$GC=GA$,所以$GA=GE$。过点G作$GM⊥AE$于点M,则$EM=\frac{1}{2}AE=1$,$GM// BC$,所以$BM=EM-BE=\sqrt{2}-1$。所以$S_{四边形BECG}=S_{△BEC}+S_{△BGC}=\frac{1}{2}BC·BE+\frac{1}{2}BC·BM=\frac{\sqrt{2}}{2}$。