12. (★★)如图,$DE⊥AB$,$DF⊥AC$,垂足分别为点E,F,DE=DF。求证:AD垂直平分EF。

在$\mathrm{Rt}△ AED$和$\mathrm{Rt}△ AFD$中,
$\begin{cases} DE=DF, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt} △ AED ≌ \mathrm{Rt}△ AAFD(\mathrm{HL})$。
∴ $AE=AF$。
又
∵ $DE=DF$,
∴ $AD$垂直平分$EF$。

13. (★★)如图,在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使DE=BD,且AB+BD=DC。求证:点E在线段AC的垂直平分线上。

∵ $AD$是高,
∴ $AD⊥BC$。
又
∵ $BD = DE$,
∴ $AD$所在的直线是线段$BE$的垂直平分线。
∴ $AB=AE$。
∴ $AB+BD=AE+DE$。
又
∵ $AB+BD=DC$,
∴ $DC=AE+DE$。
∴ $DE+EC=AE+DE$。
∴ $EC=AE$。
∴ 点$E$在线段$AC$的垂直平分线上。

14. (★★)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°。
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹,不写作法)。
(2)在已作的图形中,若l分别交AB,AC及BC的延长线于点D,E,F,连接BE。求证:EF=2DE。

(1)如图,直线$l$即为所求。
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,
∵ $∠ A=30°$,
∴ $∠ ABC=60°$。
又
∵ $l$为线段$AB$的垂直平分线,
∴ $EA=EB$,$∠ EDA = ∠ EDB=90°$。
∴ $∠ EBA = ∠ A=30°$。
∴ $∠ AED = ∠ BED=60°$。
∴ $∠ EBC=30° = ∠ EBA$,$∠ FEC=60°$。
又
∵ $DE⊥AB$,$EC⊥BC$,
∴ $DE=EC$。
在$\mathrm{Rt}△ ECF$中,$∠ FEC=60°$,
∴ $∠ EFC=30°$。
∴ $EF=2EC$。
∴ $EF=2DE$。

15. (★★★)如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,∠A=90°,AB=BC=2AD=4,边CD的垂直平分线分别交AB,CD于点E,F,则AE的长为 【 】


A.$\sqrt{13}$
B.$\frac{7}{2}$
C.7
D.$\frac{21}{4}$

B