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1.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若∠1=54°,则∠2的度数为 ()
A.$26°$
B.$36°$
C.$46°$
D.$54°$
A.$26°$
B.$36°$
C.$46°$
D.$54°$
答案
B
解析
已知EO⊥CD，由垂直的定义可得∠COE=90°，又因为AB是直线，平角为180°，因此∠2 + ∠COE + ∠1 = 180°，将∠1=54°代入，计算得∠2=180°-90°-54°=36°。
2. 如图，$DA⊥ AB$，$CD⊥ DA$，$∠ B=56°$，则$∠ C$的度数是 （）
A.$114°$
B.$124°$
C.$134°$
D.$144°$
A.$114°$
B.$124°$
C.$134°$
D.$144°$
答案
B
解析
∵ $DA⊥AB$，$CD⊥DA$，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $CD// AB$，
根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ B + ∠ C = 180°$，
∵ $∠ B=56°$，
∴ $∠ C = 180° - 56° = 124°$
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
∴ $CD// AB$，
根据两直线平行，同旁内角互补，得$∠ B + ∠ C = 180°$，
∵ $∠ B=56°$，
∴ $∠ C = 180° - 56° = 124°$
3.如图，$AB// CD$，点$E$在$AB$上，$EC$平分$∠ AED$.若$∠ 1=65°$，则$∠ 2$的度数为（）
A.$45°$
B.$50°$
C.$57.5°$
D.$65°$
A.$45°$
B.$50°$
C.$57.5°$
D.$65°$
答案
B
解析
因为$AB// CD$，由平行线内错角相等可得$∠ AEC=∠ 1=65°$。已知$EC$平分$∠ AED$，因此$∠ AED=2∠ AEC=2×65°=130°$。根据邻补角的和为$180°$，可得$∠ 2=180°-∠ AED=180°-130°=50°$。
4.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中，平移重合图形是（）
A.平行四边形
B.等腰梯形
C.正六边形
D.圆
A.平行四边形
B.等腰梯形
C.正六边形
D.圆
答案
A
解析
根据平移重合图形的定义逐一判断：
1. 平行四边形：作平行于任意一组对边的直线，可将其分割为两个全等的小平行四边形，其中一个小平行四边形沿平行于另一组对边的方向平移后，能与另一部分完全重合，符合定义。
2. 等腰梯形、正六边形、圆都不存在符合要求的分割线，分割得到的两部分无法通过平移重合，不符合定义。
综上，只有平行四边形是平移重合图形。
1. 平行四边形：作平行于任意一组对边的直线，可将其分割为两个全等的小平行四边形，其中一个小平行四边形沿平行于另一组对边的方向平移后，能与另一部分完全重合，符合定义。
2. 等腰梯形、正六边形、圆都不存在符合要求的分割线，分割得到的两部分无法通过平移重合，不符合定义。
综上，只有平行四边形是平移重合图形。
5. 直线a,b,c,d的位置如图所示，若∠1=105°,∠2=105°,∠3=115°,则∠4的度数为 （）
A.45°
B.55°
C.60°
D.65°
A.45°
B.55°
C.60°
D.65°
答案
D
解析
∵∠1=105°，∠2=105°，∴∠1=∠2，根据同位角相等，两直线平行，可得a//b。
由a//b，根据两直线平行，同位角相等，直线c截a、b所得的与∠3同位的角等于115°，该角与∠4的对顶角互补，因此∠4=180°-115°=65°。
由a//b，根据两直线平行，同位角相等，直线c截a、b所得的与∠3同位的角等于115°，该角与∠4的对顶角互补，因此∠4=180°-115°=65°。
6.如图，木棒AB，CD与EF分别在G，H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB=100°，∠EHD=80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转°.
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
解：当木棒AB旋转后与CD平行时，根据同位角相等，两直线平行，可得旋转后对应的同位角满足∠EGB' = ∠EHD = 80°。
已知原∠EGB=100°，因此至少需要旋转的角度为：
100° - 80° = 20°。
已知原∠EGB=100°，因此至少需要旋转的角度为：
100° - 80° = 20°。
7.如图，已知$AB// CD$，$CD// EF$，$AE$平分$∠ BAC$，$AC⊥ CE$，有下列结论：①$AB// EF$；②$2∠1-∠4=90°$；③$2∠3-∠2=180°$；④$∠3+\frac{1}{2}∠4=135°$.其中正确的结论有（填序号）.
答案
解：
① 已知$AB// CD$，$CD// EF$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$AB// EF$，故①正确。
② 因为$AB// CD$，两直线平行同旁内角互补，所以$∠ BAC + ∠ 2 = 180°$。
因为$AE$平分$∠ BAC$，所以$∠ BAC=2∠ 1$，代入得$2∠ 1 + ∠ 2 = 180°$。
又$AC⊥ CE$，所以$∠ ACE=∠ 2 + ∠ 4 = 90°$，即$∠ 2=90°-∠ 4$。
将$∠ 2=90°-∠ 4$代入$2∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，得$2∠ 1 + 90° - ∠ 4 = 180°$，整理得$2∠ 1 - ∠ 4 = 90°$，故②正确。
③ 因为$AB// EF$，两直线平行同旁内角互补，所以$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$，即$∠ 1=180°-∠ 3$。
将$∠ 1=180°-∠ 3$代入$2∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，得$2(180°-∠ 3) + ∠ 2 = 180°$，整理得$2∠ 3 - ∠ 2 = 180°$，故③正确。
④ 由$2∠ 1 - ∠ 4 = 90°$得$∠ 1 = 45° + \frac{1}{2}∠ 4$，代入$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$，得$45° + \frac{1}{2}∠ 4 + ∠ 3 = 180°$，整理得$∠ 3 + \frac{1}{2}∠ 4 = 135°$，故④正确。
综上，正确的结论有$\boldsymbol{①②③④}$。
① 已知$AB// CD$，$CD// EF$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$AB// EF$，故①正确。
② 因为$AB// CD$，两直线平行同旁内角互补，所以$∠ BAC + ∠ 2 = 180°$。
因为$AE$平分$∠ BAC$，所以$∠ BAC=2∠ 1$，代入得$2∠ 1 + ∠ 2 = 180°$。
又$AC⊥ CE$，所以$∠ ACE=∠ 2 + ∠ 4 = 90°$，即$∠ 2=90°-∠ 4$。
将$∠ 2=90°-∠ 4$代入$2∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，得$2∠ 1 + 90° - ∠ 4 = 180°$，整理得$2∠ 1 - ∠ 4 = 90°$，故②正确。
③ 因为$AB// EF$，两直线平行同旁内角互补，所以$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$，即$∠ 1=180°-∠ 3$。
将$∠ 1=180°-∠ 3$代入$2∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，得$2(180°-∠ 3) + ∠ 2 = 180°$，整理得$2∠ 3 - ∠ 2 = 180°$，故③正确。
④ 由$2∠ 1 - ∠ 4 = 90°$得$∠ 1 = 45° + \frac{1}{2}∠ 4$，代入$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$，得$45° + \frac{1}{2}∠ 4 + ∠ 3 = 180°$，整理得$∠ 3 + \frac{1}{2}∠ 4 = 135°$，故④正确。
综上，正确的结论有$\boldsymbol{①②③④}$。
