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【典例 1】计算：
(1)$(x+3)(x-2)=$
(2)$(2x-3)(x+1)=$
变式.(1)$(x-3)(x-3)=$
(2)$(x-2)(x+2)=$
(1)$(x+3)(x-2)=$
$x^2+x-6$
；(2)$(2x-3)(x+1)=$
$2x^2-x-3$
.变式.(1)$(x-3)(x-3)=$
$x^2-6x+9$
；(2)$(x-2)(x+2)=$
$x^2-4$
.答案
(1)$x^2+x-6$ (2)$2x^2-x-3$
变式.(1)$x^2-6x+9$ (2)$x^2-4$
变式.(1)$x^2-6x+9$ (2)$x^2-4$
解析
【分析】
本题考查整式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，运算过程中注意每一项的符号，最后合并同类项得到结果；若遇到特殊结构的多项式乘法，如两个相同的多项式相乘、两数和与两数差相乘，可直接用完全平方公式、平方差公式简化运算，提升解题效率。
【解析】
典例计算
(1) 计算$(x+3)(x-2)$：
根据多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(x+3)(x-2)&=x· x + x· (-2) + 3· x + 3× (-2)\\&=x^2 -2x +3x -6\\&=x^2 +x -6\end{aligned}$
(2) 计算$(2x-3)(x+1)$：
根据多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(2x-3)(x+1)&=2x· x +2x· 1 + (-3)· x + (-3)× 1\\&=2x^2 +2x -3x -3\\&=2x^2 -x -3\end{aligned}$
变式计算
(1) 计算$(x-3)(x-3)$：
方法一：按多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(x-3)(x-3)&=x· x +x· (-3) + (-3)· x + (-3)× (-3)\\&=x^2 -3x -3x +9\\&=x^2 -6x +9\end{aligned}$
方法二：用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a=x,b=3$，直接得结果为$x^2 -6x +9$。
(2) 计算$(x-2)(x+2)$：
方法一：按多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(x-2)(x+2)&=x· x +x· 2 + (-2)· x + (-2)× 2\\&=x^2 +2x -2x -4\\&=x^2 -4\end{aligned}$
方法二：用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，代入$a=x,b=2$，直接得结果为$x^2 -4$。
【答案】
典例：(1)$x^2+x-6$；(2)$2x^2-x-3$
变式：(1)$x^2-6x+9$；(2)$x^2-4$
【知识点】
多项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于整式乘除的基础题型，核心考察多项式乘法运算规则及特殊乘法公式的应用，熟练掌握相关法则和公式既能提升运算速度，也能减少符号、合并同类项等易错点的出现，是后续学习整式化简、因式分解等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，运算过程中注意每一项的符号，最后合并同类项得到结果；若遇到特殊结构的多项式乘法，如两个相同的多项式相乘、两数和与两数差相乘，可直接用完全平方公式、平方差公式简化运算，提升解题效率。
【解析】
典例计算
(1) 计算$(x+3)(x-2)$：
根据多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(x+3)(x-2)&=x· x + x· (-2) + 3· x + 3× (-2)\\&=x^2 -2x +3x -6\\&=x^2 +x -6\end{aligned}$
(2) 计算$(2x-3)(x+1)$：
根据多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(2x-3)(x+1)&=2x· x +2x· 1 + (-3)· x + (-3)× 1\\&=2x^2 +2x -3x -3\\&=2x^2 -x -3\end{aligned}$
变式计算
(1) 计算$(x-3)(x-3)$：
方法一：按多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(x-3)(x-3)&=x· x +x· (-3) + (-3)· x + (-3)× (-3)\\&=x^2 -3x -3x +9\\&=x^2 -6x +9\end{aligned}$
方法二：用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入$a=x,b=3$，直接得结果为$x^2 -6x +9$。
(2) 计算$(x-2)(x+2)$：
方法一：按多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}(x-2)(x+2)&=x· x +x· 2 + (-2)· x + (-2)× 2\\&=x^2 +2x -2x -4\\&=x^2 -4\end{aligned}$
方法二：用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，代入$a=x,b=2$，直接得结果为$x^2 -4$。
【答案】
典例：(1)$x^2+x-6$；(2)$2x^2-x-3$
变式：(1)$x^2-6x+9$；(2)$x^2-4$
【知识点】
多项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于整式乘除的基础题型，核心考察多项式乘法运算规则及特殊乘法公式的应用，熟练掌握相关法则和公式既能提升运算速度，也能减少符号、合并同类项等易错点的出现，是后续学习整式化简、因式分解等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
【典例2】计算：
(1)$(2a-3b)(a+b)-a(2a-b)$；
(2)$x^2(x-2y)-y(x^2-y^2)$。
(1)$(2a-3b)(a+b)-a(2a-b)$；
(2)$x^2(x-2y)-y(x^2-y^2)$。
答案
解:(1)原式$=-3b^2$；
(2)原式$=x^3+y^3-3x^2y$.
(2)原式$=x^3+y^3-3x^2y$.
解析
【分析】
这两道题属于整式的混合运算，解题遵循“先乘除，后加减”的运算顺序。第一步先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则展开所有乘积项，去括号时要注意符号变化，不要漏乘括号内的每一项；第二步找出所有同类项，按照合并同类项法则合并，最终得到化简结果。
【解析】
(1) 先按运算法则展开各项，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a· a + 2a· b - 3b· a - 3b· b - (a· 2a - a· b)\\&=2a^2 + 2ab - 3ab - 3b^2 - 2a^2 + ab\\&=(2a^2 - 2a^2) + (2ab - 3ab + ab) - 3b^2\\&=-3b^2\end{aligned}$
(2) 先按运算法则展开各项，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2· x - x^2· 2y - (y· x^2 - y· y^2)\\&=x^3 - 2x^2y - x^2y + y^3\\&=x^3 + (-2x^2y - x^2y) + y^3\\&=x^3 + y^3 - 3x^2y\end{aligned}$
【答案】
(1)$-3b^2$；(2)$x^3+y^3-3x^2y$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘除的基础常规题型，重点考查整式乘法运算法则的应用，解题时需注意去括号的符号变化，避免出现漏乘、合并同类项错误的问题，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式的混合运算，解题遵循“先乘除，后加减”的运算顺序。第一步先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则展开所有乘积项，去括号时要注意符号变化，不要漏乘括号内的每一项；第二步找出所有同类项，按照合并同类项法则合并，最终得到化简结果。
【解析】
(1) 先按运算法则展开各项，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a· a + 2a· b - 3b· a - 3b· b - (a· 2a - a· b)\\&=2a^2 + 2ab - 3ab - 3b^2 - 2a^2 + ab\\&=(2a^2 - 2a^2) + (2ab - 3ab + ab) - 3b^2\\&=-3b^2\end{aligned}$
(2) 先按运算法则展开各项，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2· x - x^2· 2y - (y· x^2 - y· y^2)\\&=x^3 - 2x^2y - x^2y + y^3\\&=x^3 + (-2x^2y - x^2y) + y^3\\&=x^3 + y^3 - 3x^2y\end{aligned}$
【答案】
(1)$-3b^2$；(2)$x^3+y^3-3x^2y$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式乘除的基础常规题型，重点考查整式乘法运算法则的应用，解题时需注意去括号的符号变化，避免出现漏乘、合并同类项错误的问题，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
【典例3】已知$x+2y=5,xy=3$，则$(1-x)(1-2y)=$
变式.若$x^2-5x-1=0$，求$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$的值.
$2$
.变式.若$x^2-5x-1=0$，求$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$的值.
答案
2
变式.解:$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$
$=5×7=35$
变式.解:$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$
$=5×7=35$
解析
【分析】
对于典例，先利用多项式乘多项式法则将待求式展开，再整理为含有已知条件$x+2y$和$xy$的形式，整体代入已知数值即可计算结果。对于变式，观察四个一次式的结构特征，将$(x-1)$与$(x-4)$配对、$(x-2)$与$(x-3)$配对分别相乘，两组乘积中均含有$x^2-5x$的公共部分，再根据已知方程推出$x^2-5x$的值，整体代入即可快速求解，无需单独计算$x$的取值。
【解析】
典例解析：
先展开待求式：
$\begin{aligned}(1-x)(1-2y)&=1 - 2y - x + 2xy\\&=1 - (x+2y) + 2xy\end{aligned}$
将$x+2y=5$，$xy=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1 - 5 + 2×3\\&=1-5+6\\&=2\end{aligned}$
变式解析：
先对待求式分组：
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=[(x-1)(x-4)]×[(x-2)(x-3)]$
分别计算两组乘积：
$(x-1)(x-4)=x^2-5x+4$
$(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$
由$x^2-5x-1=0$可得$x^2-5x=1$，代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(1+4)×(1+6)\\&=5×7\\&=35\end{aligned}$
【答案】
典例：$\boxed{2}$；变式：$\boxed{35}$
【知识点】
整式乘法运算，代数式求值，整体代入思想
【点评】
这两道题是整式乘除模块代数式求值的典型题型，核心是通过对所求代数式进行展开或分组变形，构造出与已知条件一致的整体结构，利用整体代入法简化运算，避免了解方程求未知数的繁琐步骤，掌握变形技巧和整体代入思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
对于典例，先利用多项式乘多项式法则将待求式展开，再整理为含有已知条件$x+2y$和$xy$的形式，整体代入已知数值即可计算结果。对于变式，观察四个一次式的结构特征，将$(x-1)$与$(x-4)$配对、$(x-2)$与$(x-3)$配对分别相乘，两组乘积中均含有$x^2-5x$的公共部分，再根据已知方程推出$x^2-5x$的值，整体代入即可快速求解，无需单独计算$x$的取值。
【解析】
典例解析：
先展开待求式：
$\begin{aligned}(1-x)(1-2y)&=1 - 2y - x + 2xy\\&=1 - (x+2y) + 2xy\end{aligned}$
将$x+2y=5$，$xy=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1 - 5 + 2×3\\&=1-5+6\\&=2\end{aligned}$
变式解析：
先对待求式分组：
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=[(x-1)(x-4)]×[(x-2)(x-3)]$
分别计算两组乘积：
$(x-1)(x-4)=x^2-5x+4$
$(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$
由$x^2-5x-1=0$可得$x^2-5x=1$，代入上式：
$\begin{aligned}原式&=(1+4)×(1+6)\\&=5×7\\&=35\end{aligned}$
【答案】
典例：$\boxed{2}$；变式：$\boxed{35}$
【知识点】
整式乘法运算，代数式求值，整体代入思想
【点评】
这两道题是整式乘除模块代数式求值的典型题型，核心是通过对所求代数式进行展开或分组变形，构造出与已知条件一致的整体结构，利用整体代入法简化运算，避免了解方程求未知数的繁琐步骤，掌握变形技巧和整体代入思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
【典例4】先化简，再求值：$(a+2)(a-2)+a(4-a)$，其中$a=\frac{1}{4}$。
答案
解:原式$=a^2-4+4a-a^2$
$=4a-4$,
当$a=\frac{1}{4}$时,原式$=1-4=-3$.
$=4a-4$,
当$a=\frac{1}{4}$时,原式$=1-4=-3$.
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步化简原式，首先观察到$(a+2)(a-2)$符合平方差公式的结构特征，可直接利用平方差公式展开；其次$a(4-a)$属于单项式乘多项式，按照单项式乘多项式的运算法则展开即可；最后合并同类项得到最简整式。第二步将$a=\frac{1}{4}$代入最简整式中计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：原式利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开得：
$原式=a^2-4+4a-a^2$
$=4a-4$
当$a=\frac{1}{4}$时，代入最简式计算：
$原式=4×\frac{1}{4}-4$
$=1-4$
$=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘法公式及运算法则的应用，解题时需准确识别公式的结构特征，展开运算时注意符号问题，合并同类项和代值计算时细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步化简原式，首先观察到$(a+2)(a-2)$符合平方差公式的结构特征，可直接利用平方差公式展开；其次$a(4-a)$属于单项式乘多项式，按照单项式乘多项式的运算法则展开即可；最后合并同类项得到最简整式。第二步将$a=\frac{1}{4}$代入最简整式中计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：原式利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开得：
$原式=a^2-4+4a-a^2$
$=4a-4$
当$a=\frac{1}{4}$时，代入最简式计算：
$原式=4×\frac{1}{4}-4$
$=1-4$
$=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘法公式及运算法则的应用，解题时需准确识别公式的结构特征，展开运算时注意符号问题，合并同类项和代值计算时细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
变式1.先化简,再求值:$2(x-8)(x-5)-(2x-1)(x+2)$,其中$x=3$.
答案
解:原式$=2(x^2-13x+40)-(2x^2+3x-2)$
$=-29x+82$,
当$x=3$时,原式$=-87+82=-5$.
$=-29x+82$,
当$x=3$时,原式$=-87+82=-5$.
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先根据多项式乘多项式的法则分别计算两个乘积项：先算(x-8)(x-5)，结果乘2，再算(2x-1)(x+2)；第二步去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；第三步合并同类项得到最简整式；最后将x=3代入最简式计算数值即可。运算过程中要注意不要漏乘多项式的项，注意符号变化。
【解析】
解：先利用多项式乘多项式法则展开计算：
首先计算$(x-8)(x-5)=x^2-5x-8x+40=x^2-13x+40$，乘2得$2(x^2-13x+40)=2x^2-26x+80$；
再计算$(2x-1)(x+2)=2x^2+4x-x-2=2x^2+3x-2$；
代入原式去括号、合并同类项：
原式$=2x^2-26x+80-(2x^2+3x-2)$
$=2x^2-26x+80-2x^2-3x+2$
$=-29x+82$
最后代入$x=3$求值：
当$x=3$时，原式$=-29×3+82=-87+82=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
多项式乘多项式；整式的加减；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法运算、去括号法则和合并同类项的能力，解题的易错点是去括号时的符号变化以及多项式相乘时漏乘项，运算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先根据多项式乘多项式的法则分别计算两个乘积项：先算(x-8)(x-5)，结果乘2，再算(2x-1)(x+2)；第二步去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号；第三步合并同类项得到最简整式；最后将x=3代入最简式计算数值即可。运算过程中要注意不要漏乘多项式的项，注意符号变化。
【解析】
解：先利用多项式乘多项式法则展开计算：
首先计算$(x-8)(x-5)=x^2-5x-8x+40=x^2-13x+40$，乘2得$2(x^2-13x+40)=2x^2-26x+80$；
再计算$(2x-1)(x+2)=2x^2+4x-x-2=2x^2+3x-2$；
代入原式去括号、合并同类项：
原式$=2x^2-26x+80-(2x^2+3x-2)$
$=2x^2-26x+80-2x^2-3x+2$
$=-29x+82$
最后代入$x=3$求值：
当$x=3$时，原式$=-29×3+82=-87+82=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
多项式乘多项式；整式的加减；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法运算、去括号法则和合并同类项的能力，解题的易错点是去括号时的符号变化以及多项式相乘时漏乘项，运算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
变式2.已知$x^2+x=10$，求$(2x-1)^2-(3x+1)(x-2)-1$的值.
答案
解:原式$=(2x-1)(2x-1)-(3x^2-5x-2)-1$
$=4x^2-4x+1-3x^2+5x+1$
$=x^2+x+2$,
当$x^2+x=10$时,原式$=12$.
$=4x^2-4x+1-3x^2+5x+1$
$=x^2+x+2$,
当$x^2+x=10$时,原式$=12$.
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题时无需先求解x的值，可按以下思路思考：第一步，根据完全平方公式、多项式乘多项式法则将原式的各项展开；第二步，去括号时注意符号变化，再合并同类项将原式化简为最简形式；第三步，观察化简后的式子，发现其恰好包含已知条件中的$x^2+x$，采用整体代入的方法计算即可，这样能避免解方程求x的繁琐，减少计算错误。
【解析】
利用整式乘法法则展开并化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2x-1)^2-(3x+1)(x-2)-1\\&=(4x^2-4x+1)-(3x^2-5x-2)-1\\&=4x^2-4x+1-3x^2+5x+2-1\\&=x^2+x+2\end{aligned}$
已知$x^2+x=10$，将其整体代入化简后的式子：
原式$=10+2=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的混合运算能力，核心是熟练掌握整式乘法的相关运算法则，解题时优先采用“先化简再求值”的思路，整体代入思想的运用可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题属于整式化简求值类题目，解题时无需先求解x的值，可按以下思路思考：第一步，根据完全平方公式、多项式乘多项式法则将原式的各项展开；第二步，去括号时注意符号变化，再合并同类项将原式化简为最简形式；第三步，观察化简后的式子，发现其恰好包含已知条件中的$x^2+x$，采用整体代入的方法计算即可，这样能避免解方程求x的繁琐，减少计算错误。
【解析】
利用整式乘法法则展开并化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2x-1)^2-(3x+1)(x-2)-1\\&=(4x^2-4x+1)-(3x^2-5x-2)-1\\&=4x^2-4x+1-3x^2+5x+2-1\\&=x^2+x+2\end{aligned}$
已知$x^2+x=10$，将其整体代入化简后的式子：
原式$=10+2=12$
【答案】
12
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的混合运算能力，核心是熟练掌握整式乘法的相关运算法则，解题时优先采用“先化简再求值”的思路，整体代入思想的运用可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
变式3.先化简,再求值:$[(3m+4n)^2 - 3m(3m+4n)] ÷ (-6n)$,其中$m=1,n=3.$
答案
解:原式$=(9m^2+24mn+16n^2-9m^2-12mn)÷(-6n)$
$=-2m-\frac{8}{3}n$,
当$m=1,n=3$时,原式$=-10$.
$=-2m-\frac{8}{3}n$,
当$m=1,n=3$时,原式$=-10$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简、再求值”的思路解题即可：第一步先处理中括号内的运算，先分别计算完全平方、单项式乘多项式，再合并同类项化简括号内的式子；第二步将括号内化简后的结果除以单项式，得到最简整式；最后将m、n的取值代入最简式计算结果，运算过程中需注意符号的变化。
【解析】
解：原式$=[(9m^2+24mn+16n^2) - (9m^2+12mn)] ÷ (-6n)$
$=(9m^2+24mn+16n^2 - 9m^2 - 12mn) ÷ (-6n)$
$=(12mn + 16n^2) ÷ (-6n)$
$=12mn ÷ (-6n) + 16n^2 ÷ (-6n)$
$=-2m - \frac{8}{3}n$
当$m=1,n=3$时，
原式$=-2×1 - \frac{8}{3}×3$
$=-2 - 8$
$=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式混合运算 3.化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握整式乘除、合并同类项的相关法则，运算时注意遵循运算顺序，重点关注去括号、除法运算时的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简、再求值”的思路解题即可：第一步先处理中括号内的运算，先分别计算完全平方、单项式乘多项式，再合并同类项化简括号内的式子；第二步将括号内化简后的结果除以单项式，得到最简整式；最后将m、n的取值代入最简式计算结果，运算过程中需注意符号的变化。
【解析】
解：原式$=[(9m^2+24mn+16n^2) - (9m^2+12mn)] ÷ (-6n)$
$=(9m^2+24mn+16n^2 - 9m^2 - 12mn) ÷ (-6n)$
$=(12mn + 16n^2) ÷ (-6n)$
$=12mn ÷ (-6n) + 16n^2 ÷ (-6n)$
$=-2m - \frac{8}{3}n$
当$m=1,n=3$时，
原式$=-2×1 - \frac{8}{3}×3$
$=-2 - 8$
$=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式混合运算 3.化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握整式乘除、合并同类项的相关法则，运算时注意遵循运算顺序，重点关注去括号、除法运算时的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
