题型一 二次系数为1型
十字相乘法分解因式：
【典例1】(1)$x^2 + 3x + 2$；(2)$x^2 - 3x + 2$.
变式.(1)$x^2 + 2x - 3$；(2)$x^2 - 2x - 3$.

【典例1】解:(1)$(x+1)(x+2)$；十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ \ 1\\ x\ \ \ \ 2\end{array} \diagdown \diagup$
(2)$(x-1)(x-2)$；十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ -1\\ x\ \ \ -2\end{array} \diagdown \diagup$
变式.解:(1)$(x+3)(x-1)$；十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ \ 3\\ x\ \ \ -1\end{array} \diagdown \diagup$
(2)$(x-3)(x+1)$；十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ -3\\ x\ \ \ \ 1\end{array} \diagdown \diagup$

【分析】
对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+px+q$，使用十字相乘法分解的核心思路是：寻找两个数$a$、$b$，使得它们的乘积等于常数项$q$，它们的和等于一次项系数$p$，找到后即可将原式分解为$(x+a)(x+b)$。解题时可先观察常数项的符号：若常数项为正，则$a$、$b$同号，符号与一次项系数一致；若常数项为负，则$a$、$b$异号，绝对值较大的数的符号与一次项系数一致，按这个规律可以快速找到符合要求的两个数。
【解析】
按照二次项系数为1的十字相乘法规则逐个分解：
典例1
(1) 对$x^2 + 3x + 2$：
常数项$2=1×2$，一次项系数$3=1+2$，十字分解如下：
$\begin{array}{r} x\ \ \ \ 1\\ x\ \ \ \ 2\end{array} \diagdown \diagup$（交叉相乘的和为$2x+1x=3x$，符合一次项要求）
因此原式分解为$(x+1)(x+2)$。
(2) 对$x^2 - 3x + 2$：
常数项$2=(-1)×(-2)$，一次项系数$-3=(-1)+(-2)$，十字分解如下：
$\begin{array}{r} x\ \ \ -1\\ x\ \ \ -2\end{array} \diagdown \diagup$（交叉相乘的和为$-2x+(-1)x=-3x$，符合一次项要求）
因此原式分解为$(x-1)(x-2)$。
变式
(1) 对$x^2 + 2x - 3$：
常数项$-3=3×(-1)$，一次项系数$2=3+(-1)$，十字分解如下：
$\begin{array}{r} x\ \ \ \ 3\\ x\ \ \ -1\end{array} \diagdown \diagup$（交叉相乘的和为$-x+3x=2x$，符合一次项要求）
因此原式分解为$(x+3)(x-1)$。
(2) 对$x^2 - 2x - 3$：
常数项$-3=(-3)×1$，一次项系数$-2=(-3)+1$，十字分解如下：
$\begin{array}{r} x\ \ \ -3\\ x\ \ \ \ 1\end{array} \diagdown \diagup$（交叉相乘的和为$x+(-3)x=-2x$，符合一次项要求）
因此原式分解为$(x-3)(x+1)$。
【答案】
【典例1】(1)$(x+1)(x+2)$；(2)$(x-1)(x-2)$
变式.(1)$(x+3)(x-1)$；(2)$(x-3)(x+1)$
【知识点】
1. 十字相乘法分解因式
2. 二次三项式因式分解
【点评】
本题是十字相乘法分解因式的基础题型，重点考查二次项系数为1时的十字分解方法，解题的关键是准确判断两个因数的符号，快速找到乘积为常数项、和为一次项系数的两个数，熟练掌握该方法可为后续解方程、代数式化简等运算打下扎实基础。
【难度系数】
0.8

【典例2】(1)$2x^2 - x - 1$；(2)$3x^2 + 5x + 2$.
变式.(1)$4x^2 - 5x + 1$；(2)$3x^2 + 7x + 4$.

【典例2】解:(1)$(2x+1)(x-1)$；十字分解：$\begin{array}{r} 2x\ \ \ \ 1\\ x\ \ \ -1\end{array} \diagdown \diagup$
(2)$(3x+2)(x+1)$；十字分解：$\begin{array}{r} 3x\ \ \ \ 2\\ x\ \ \ \ 1\end{array} \diagdown \diagup$
变式.解:(1)$(4x-1)(x-1)$；十字分解：$\begin{array}{r} 4x\ \ \ -1\\ x\ \ \ -1\end{array} \diagdown \diagup$
(2)$(3x+4)(x+1)$；十字分解：$\begin{array}{r} 3x\ \ \ \ 4\\ x\ \ \ \ 1\end{array} \diagdown \diagup$

【分析】
这组题目均为二次三项式的因式分解题，可采用十字相乘法快速求解。解题思路：对于形如$ax^2+bx+c(a≠0)$的二次三项式，将二次项系数$a$拆为两个因数$a_1、a_2$的乘积，常数项$c$拆为两个因数$c_1、c_2$的乘积，若交叉相乘再相加的结果$a_1c_2+a_2c_1$恰好等于一次项系数$b$，即可直接写成$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$的形式，拆分时可根据一次项系数的符号调整常数项拆分的正负，降低试错成本。
【解析】
典例2
(1) 分解$2x^2 - x - 1$：
二次项系数2拆为$2×1$，常数项-1拆为$1×(-1)$，交叉验证：$2×(-1)+1×1=-1$，与一次项系数一致，十字分解如下：
$\begin{array}{r} 2x\ \ \ \ 1\\ x\ \ \ -1\end{array} \diagdown \diagup$
因此原式$=(2x+1)(x-1)$
(2) 分解$3x^2 + 5x + 2$：
二次项系数3拆为$3×1$，常数项2拆为$2×1$，交叉验证：$3×1+1×2=5$，与一次项系数一致，十字分解如下：
$\begin{array}{r} 3x\ \ \ \ 2\\ x\ \ \ \ 1\end{array} \diagdown \diagup$
因此原式$=(3x+2)(x+1)$
变式
(1) 分解$4x^2 - 5x + 1$：
二次项系数4拆为$4×1$，常数项1拆为$(-1)×(-1)$，交叉验证：$4×(-1)+1×(-1)=-5$，与一次项系数一致，十字分解如下：
$\begin{array}{r} 4x\ \ \ -1\\ x\ \ \ -1\end{array} \diagdown \diagup$
因此原式$=(4x-1)(x-1)$
(2) 分解$3x^2 + 7x + 4$：
二次项系数3拆为$3×1$，常数项4拆为$4×1$，交叉验证：$3×1+1×4=7$，与一次项系数一致，十字分解如下：
$\begin{array}{r} 3x\ \ \ \ 4\\ x\ \ \ \ 1\end{array} \diagdown \diagup$
因此原式$=(3x+4)(x+1)$
【答案】
典例2：(1)$\boldsymbol{(2x+1)(x-1)}$；(2)$\boldsymbol{(3x+2)(x+1)}$
变式：(1)$\boldsymbol{(4x-1)(x-1)}$；(2)$\boldsymbol{(3x+4)(x+1)}$
【知识点】
十字相乘法，因式分解
【点评】
本题是十字相乘法因式分解的基础训练题，核心是掌握十字拆分的验证规则，拆分时注意匹配一次项系数的符号，熟练后可以快速完成二次三项式的因式分解，是因式分解模块非常实用的基础技巧。
【难度系数】
0.8

【典例3】(1)$x^2 - 3xy - 4y^2$；(2)$2x^2 -5xy +3y^2$.
变式.(1)$x^2 -(k+2)x +2k$；(2)$x^2 +2nx -m^2 +n^2$.

【典例3】解:(1)原式=$(x+y)(x-4y)$；十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ \ y\\ x\ \ -4y\end{array} \diagdown \diagup$
(2)原式=$(2x-3y)(x-y).$ 十字分解：$\begin{array}{r} 2x\ \ -3y\\ x\ \ \ -y\end{array} \diagdown \diagup$
变式.解:(1)原式=$(x-2)(x-k)$；十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ \mathrm{}\ \ \ -2\\ x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -k\end{array}$
(2)原式=$(x-m+n)(x+m+n).$ 十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ \mathrm{}\ \ \ -(m-n)\\ x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m+n\end{array}$

【分析】
这四道题均为二次三项式的因式分解，适用十字相乘法求解，解题思路如下：1. 先拆分二次项：将二次项拆分为两个同次项的乘积，竖向排列；2. 再拆分常数项（或非二次项部分）：将常数项（或含参数的常数项、二元式中的二次常数类项）拆分为两个因式的乘积，竖向排列在二次项拆分结果的右侧；3. 交叉验证：计算交叉相乘的和，若结果等于原式的一次项，即拆分正确；4. 横向组合两个因式，写出最终分解结果。
【解析】
典例3
(1) 对$x^2 - 3xy - 4y^2$因式分解：
将二次项$x^2$拆分为$x · x$，常数项$-4y^2$拆分为$y · (-4y)$，交叉验证：$x · (-4y) + x · y = -3xy$，与原式一次项一致，因此可直接分解。
(2) 对$2x^2 -5xy +3y^2$因式分解：
将二次项$2x^2$拆分为$2x · x$，常数项$3y^2$拆分为$(-3y) · (-y)$，交叉验证：$2x · (-y) + x · (-3y) = -5xy$，与原式一次项一致，符合十字相乘要求。
变式
(1) 对$x^2 -(k+2)x +2k$因式分解：
将二次项$x^2$拆分为$x · x$，常数项$2k$拆分为$(-2) · (-k)$，交叉验证：$x · (-k) + x · (-2) = -(k+2)x$，与原式一次项一致，拆分正确。
(2) 对$x^2 +2nx -m^2 +n^2$因式分解：
先整理原式为$x^2 +2nx +(n^2 -m^2)$，将二次项$x^2$拆分为$x · x$，常数项$n^2-m^2=(n+m)(n-m)=-(m-n) · (m+n)$，交叉验证：$x · (m+n) + x · [-(m-n)] = 2nx$，与原式一次项一致，可完成分解。
【答案】
【典例3】(1)原式=$(x+y)(x-4y)$；十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ \ y\\ x\ \ -4y\end{array} \diagdown \diagup$
(2)原式=$(2x-3y)(x-y).$ 十字分解：$\begin{array}{r} 2x\ \ -3y\\ x\ \ \ -y\end{array} \diagdown \diagup$
变式.(1)原式=$(x-2)(x-k)$；十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ \mathrm{}\ \ \ -2\\ x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -k\end{array}$
(2)原式=$(x-m+n)(x+m+n).$ 十字分解：$\begin{array}{r} x\ \ \ \mathrm{}\ \ \ -(m-n)\\ x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m+n\end{array}$
【知识点】
1. 十字相乘法
2. 因式分解
【点评】
这组题目是十字相乘法因式分解的典型训练题，覆盖了二元二次齐次式、含参数的二次三项式等不同类型，核心是掌握“拆二次项、拆常数项、交叉验证、横向组合”的十字相乘规则，熟练掌握后可大幅提升因式分解的运算效率。
【难度系数】
0.7