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1. (2025·上海校级月考)已知同一平面内有$\odot O$和点$A$与点$B$,如果$\odot O$的半径为6 cm,线段$OA=10\ \mathrm{cm}$,线段$OB=6\ \mathrm{cm}$,那么直线$AB$与$\odot O$的位置关系为（
A.相切
B.相交或相离
C.相离或相切
D.相交或相切
D
）A.相切
B.相交或相离
C.相离或相切
D.相交或相切
答案
1. D 解析:
∵ ⊙O 的半径为6 cm,线段 OA=10 cm,线段 OB=6 cm,
∴ 点A在⊙O 外部,点 B 在⊙O 上.当 AB ⊥ OB 时,如左图所示,由 OB=6 cm 知,直线 AB 与⊙O 相切;当 AB 与OB 不垂直时,如右图所示,过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D,则OD＜OB,
∴ 直线 AB 与⊙O 相交,
∴ 直线 AB 与⊙O 的位置关系为相交或相切.故选 D.
解析
【分析】首先根据点到圆心的距离与半径的大小关系，确定点A、B与⊙O的位置；再依据直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d和半径r的大小决定，分AB⊥OB和AB不垂直OB两种情况，分别判断d与r的关系，从而确定直线AB与⊙O的位置关系。
【解析】已知⊙O的半径r=6 cm，OA=10 cm＞6 cm，因此点A在⊙O外部；OB=6 cm=r，所以点B在⊙O上。
直线与圆的位置关系由圆心O到直线AB的距离d与r的大小决定：
①当AB⊥OB时，圆心O到直线AB的距离d=OB=6 cm=r，此时直线AB与⊙O相切；
②当AB与OB不垂直时，过点O作OD⊥AB于点D，根据垂线段最短，OD＜OB=6 cm，即d＜r，此时直线AB与⊙O相交。
综上，直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选D。
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，垂线段性质
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是分情况讨论圆心到直线的距离，需考虑直线AB的不同位置，避免漏解，属于基础几何题，侧重对位置关系的理解。
【难度系数】0.5
【解析】已知⊙O的半径r=6 cm，OA=10 cm＞6 cm，因此点A在⊙O外部；OB=6 cm=r，所以点B在⊙O上。
直线与圆的位置关系由圆心O到直线AB的距离d与r的大小决定：
①当AB⊥OB时，圆心O到直线AB的距离d=OB=6 cm=r，此时直线AB与⊙O相切；
②当AB与OB不垂直时，过点O作OD⊥AB于点D，根据垂线段最短，OD＜OB=6 cm，即d＜r，此时直线AB与⊙O相交。
综上，直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选D。
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，垂线段性质
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，关键是分情况讨论圆心到直线的距离，需考虑直线AB的不同位置，避免漏解，属于基础几何题，侧重对位置关系的理解。
【难度系数】0.5
2. 若$\odot O$所在平面内一点$P$到$\odot O$上的点的最大距离为$a$,最小距离为$b(a＞b)$,则此圆的半径为
$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$
.答案
2. $\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$ 解析:若⊙O 所在平面内一点 P 到⊙O 上的点的最大距离为a,最小距离为b,当这个点在圆的内部或在圆上时,圆的直径为a+b,因而半径为$\frac{a+b}{2}$;当此点在圆外时,圆的直径是a-b,因而半径是$\frac{a-b}{2}$.故答案为$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确点与圆的位置关系有三种：圆内、圆上、圆外。题目中a＞b，若点在圆上，则到圆上各点的距离相等，最大和最小距离均等于半径，此时a=b，与题设矛盾，故排除点在圆上的情况，只需分点在圆内和圆外两种情况讨论，再结合最大、最小距离与圆直径的关系求解半径。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在⊙O内部时：点P到圆上的最大距离与最小距离之和为圆的直径，即直径为a+b，因此半径为$\frac{a+b}{2}$；
2. 当点P在⊙O外部时：点P到圆上的最大距离与最小距离之差为圆的直径，即直径为a-b，因此半径为$\frac{a-b}{2}$。
【答案】
$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$
【知识点】
点与圆的位置关系、圆的半径
【点评】
本题需注意分情况讨论点与圆的位置关系，避免遗漏点在圆内或圆外的情况，是圆章节的常考易错题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确点与圆的位置关系有三种：圆内、圆上、圆外。题目中a＞b，若点在圆上，则到圆上各点的距离相等，最大和最小距离均等于半径，此时a=b，与题设矛盾，故排除点在圆上的情况，只需分点在圆内和圆外两种情况讨论，再结合最大、最小距离与圆直径的关系求解半径。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在⊙O内部时：点P到圆上的最大距离与最小距离之和为圆的直径，即直径为a+b，因此半径为$\frac{a+b}{2}$；
2. 当点P在⊙O外部时：点P到圆上的最大距离与最小距离之差为圆的直径，即直径为a-b，因此半径为$\frac{a-b}{2}$。
【答案】
$\frac{a+b}{2}$或$\frac{a-b}{2}$
【知识点】
点与圆的位置关系、圆的半径
【点评】
本题需注意分情况讨论点与圆的位置关系，避免遗漏点在圆内或圆外的情况，是圆章节的常考易错题。
【难度系数】
0.5
3. 已知$\odot O$的半径为5,点$O$到直线$l$的距离为3,则$\odot O$上到直线$l$的距离为2的点共有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. C 解析:如图,OD = OA = OB = 5,OE ⊥ AB,OE = 3,
∴ DE =OD-OE = 5-3 = 2,
∴ 点 D 是圆上到 AB 距离为 2 的点.
∵ OE＞2,
∴ 在 OD 上截取 OH=1,过点 H 作 GF // AB,交圆于点 G,F 两点,则有 HE ⊥ AB,HE = OE-OH = 2,即 GF到 AB 的距离为 2,
∴ 点 G,F 也是圆上到 AB 距离为 2 的点,故选 C.
解析
【分析】
要确定圆上到直线距离为定值的点的个数，需结合圆心到直线的距离和圆的半径分析：设圆心O到直线l的垂线段为OE，E为垂足，已知OE=3，⊙O半径为5。圆上点到直线l的距离为2，分两种情况：一是点在直线l与圆心O之间，此时该点到O的距离为OE-2=1，小于半径，存在2个这样的点；二是点在直线l远离O的一侧，此时该点到O的距离为OE+2=5，等于半径，存在1个这样的点，总共有3个点。
【解析】
设圆心O到直线l的垂线段为OE，E为垂足，由题意得：⊙O的半径r=5，圆心O到直线l的距离OE=3。
圆上点到直线l的距离为2，分两种情况：
1. 当点在直线l与圆心O之间时，该点到直线l的距离为2，则该点到O的距离为OE-2=3-2=1，因1＜5（半径），故在直线l靠近O的一侧存在2个满足条件的点；
2. 当点在直线l远离圆心O的一侧时，该点到直线l的距离为2，则该点到O的距离为OE+2=3+2=5，等于半径，故存在1个满足条件的点。
综上，⊙O上到直线l的距离为2的点共有2+1=3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的性质、点到直线的距离
【点评】
本题考查圆上满足特定距离的点的个数，核心是结合圆心到直线的距离和圆的半径分情况分析，属于初中几何基础题，解题关键是明确点的位置与距离的关系。
【难度系数】
0.3
要确定圆上到直线距离为定值的点的个数，需结合圆心到直线的距离和圆的半径分析：设圆心O到直线l的垂线段为OE，E为垂足，已知OE=3，⊙O半径为5。圆上点到直线l的距离为2，分两种情况：一是点在直线l与圆心O之间，此时该点到O的距离为OE-2=1，小于半径，存在2个这样的点；二是点在直线l远离O的一侧，此时该点到O的距离为OE+2=5，等于半径，存在1个这样的点，总共有3个点。
【解析】
设圆心O到直线l的垂线段为OE，E为垂足，由题意得：⊙O的半径r=5，圆心O到直线l的距离OE=3。
圆上点到直线l的距离为2，分两种情况：
1. 当点在直线l与圆心O之间时，该点到直线l的距离为2，则该点到O的距离为OE-2=3-2=1，因1＜5（半径），故在直线l靠近O的一侧存在2个满足条件的点；
2. 当点在直线l远离圆心O的一侧时，该点到直线l的距离为2，则该点到O的距离为OE+2=3+2=5，等于半径，故存在1个满足条件的点。
综上，⊙O上到直线l的距离为2的点共有2+1=3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的性质、点到直线的距离
【点评】
本题考查圆上满足特定距离的点的个数，核心是结合圆心到直线的距离和圆的半径分情况分析，属于初中几何基础题，解题关键是明确点的位置与距离的关系。
【难度系数】
0.3
4. (2025·自贡中考改编) $PA,PB$ 分别与$\odot O$相切于$A,B$两点.点$C$在$\odot O$上,不与点$A,B$重合.若$∠ P=80°$,则$∠ ACB$的度数为
50°或130°
.答案
4. 50°或130° 解析:如图,连接 OA,OB,
∵ PA,PB 分别与⊙O 相切于 A,B 两点,
∴ ∠PAO = 90° = ∠PBO.
∵ ∠P = 80°,
∴ ∠AOB = 360°-2×90°-80° = 100°,
∴ ∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB =50°,∠C' = 180°-50° = 130°.
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用切线的性质得到直角，结合四边形内角和算出圆心角∠AOB的度数；再考虑点C在圆上的位置有两种情况（优弧AB、劣弧AB），结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，就能求出∠ACB的两种可能度数，注意避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵ PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，
在四边形OAPB中，内角和为360°，
∴ ∠AOB = 360° - ∠PAO - ∠PBO - ∠P = 360° - 90° - 90° - 80° = 100°，
① 当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×100° = 50°；
② 当点C在劣弧AB上时，此时∠ACB与优弧AB上的圆周角互补，
∴ ∠ACB = 180° - 50° = 130°，
综上，∠ACB的度数为50°或130°。
【答案】
50°或130°
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形性质
【点评】
本题考查切线性质、圆周角定理及圆内接四边形性质，核心是需全面考虑点C在圆上的两种位置，避免漏解，是易错题，需学生仔细分析图形。
【难度系数】
0.4
要解决这道题，首先利用切线的性质得到直角，结合四边形内角和算出圆心角∠AOB的度数；再考虑点C在圆上的位置有两种情况（优弧AB、劣弧AB），结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，就能求出∠ACB的两种可能度数，注意避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵ PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，
在四边形OAPB中，内角和为360°，
∴ ∠AOB = 360° - ∠PAO - ∠PBO - ∠P = 360° - 90° - 90° - 80° = 100°，
① 当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×100° = 50°；
② 当点C在劣弧AB上时，此时∠ACB与优弧AB上的圆周角互补，
∴ ∠ACB = 180° - 50° = 130°，
综上，∠ACB的度数为50°或130°。
【答案】
50°或130°
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形性质
【点评】
本题考查切线性质、圆周角定理及圆内接四边形性质，核心是需全面考虑点C在圆上的两种位置，避免漏解，是易错题，需学生仔细分析图形。
【难度系数】
0.4
5. 在半径为 20 的 $\odot O$ 中, 弦 $AB=32$, 点 $P$ 在弦$AB$ 上, 且 $OP=15$, 则 $AP=$
7或25
.答案
5. 7或25 解析:如图,作 OC ⊥ AB 于点 C,
∴ AC = $\frac{1}{2}$AB = 16,OC = $\sqrt{OA^2-AC^2}$ = 12.又 OP = 15,
∴ PC = $\sqrt{OP^2-OC^2}$ = 9,当点P 在线段 AC 上时,AP = 16-9 = 7,同理当点 P 为 P',在线段 BC 上时,AP' = 16+9 = 25.故答案为7或25.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用垂径定理和勾股定理，先作辅助线OC⊥AB，根据垂径定理得到弦AB的一半长度，再通过勾股定理算出圆心到弦的距离OC，以及点P到垂足C的距离PC，最后根据点P在弦AB上的不同位置分情况计算AP的长度，注意不要漏解。
【解析】
1. 作OC⊥AB于点C，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此AC = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×32 = 16$。
2. 在Rt△AOC中，OA是⊙O的半径，即OA=20，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$。
3. 在Rt△POC中，OP=15，OC=12，再由勾股定理得：
$PC = \sqrt{OP^2 - OC^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$。
4. 分两种情况讨论：
当点P在线段AC上时，AP = AC - PC = 16 - 9 = 7；
当点P在线段BC上时，AP = AC + PC = 16 + 9 = 25。
综上，AP的值为7或25。
【答案】
7或25
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合垂径定理与勾股定理求解线段长度，核心是通过作辅助线构造直角三角形，且需考虑点P在弦AB上的不同位置，避免漏解，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们可以利用垂径定理和勾股定理，先作辅助线OC⊥AB，根据垂径定理得到弦AB的一半长度，再通过勾股定理算出圆心到弦的距离OC，以及点P到垂足C的距离PC，最后根据点P在弦AB上的不同位置分情况计算AP的长度，注意不要漏解。
【解析】
1. 作OC⊥AB于点C，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此AC = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×32 = 16$。
2. 在Rt△AOC中，OA是⊙O的半径，即OA=20，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$。
3. 在Rt△POC中，OP=15，OC=12，再由勾股定理得：
$PC = \sqrt{OP^2 - OC^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$。
4. 分两种情况讨论：
当点P在线段AC上时，AP = AC - PC = 16 - 9 = 7；
当点P在线段BC上时，AP = AC + PC = 16 + 9 = 25。
综上，AP的值为7或25。
【答案】
7或25
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合垂径定理与勾股定理求解线段长度，核心是通过作辅助线构造直角三角形，且需考虑点P在弦AB上的不同位置，避免漏解，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
6. (牡丹江中考)$\odot O$的直径$CD=10$,$AB$是$\odot O$的弦,$AB ⊥ CD$,垂足为$M$,$OM:OC=3:5$,则$AC$的长为
$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$
.答案
6. $2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$ 解析:由题意,分以下两种情况:如图①,当点 M 在线段 OC 上时,连接 OA,
∵ ⊙O 的直径 CD = 10,
∴ OA = OC = 5.
∵ OM : OC = 3 : 5,
∴ OM = $\frac{3}{5}$OC = 3,CM =OC-OM = 2.
∵ AB ⊥ CD,
∴ AM = $\sqrt{OA^2-OM^2}$ = $\sqrt{5^2-3^2}$ = 4,
∴ AC = $\sqrt{AM^2+CM^2}$ = $\sqrt{4^2+2^2}$ = $2\sqrt{5}$;如图②,当点 M 在线段 OD 上时,连接 OA,同理可得 OC = 5,OM = 3,AM = $\sqrt{OA^2-OM^2}$ = 4,
∴ CM = OC+OM = 8,
∴ AC =$\sqrt{AM^2+CM^2}$ = $\sqrt{4^2+8^2}$ = $4\sqrt{5}$.综上,AC 的长为$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据直径求出圆的半径，再结合OM与OC的比例关系得到OM的长度；由于AB垂直CD，垂足M的位置存在两种可能（在线段OC上或在线段OD上），需分类讨论，结合垂径定理和勾股定理分别计算AC的长度。
【解析】
已知⊙O的直径CD=10，因此⊙O的半径OA=OC=OD=5。
由OM:OC=3:5，OC=5，可得OM=3。
因为AB⊥CD，根据垂径定理，AB被CD垂直平分，所以AM=√(OA² - OM²)=√(5² - 3²)=4。
分两种情况讨论：
1. 当点M在线段OC上时：
CM=OC - OM=5 - 3=2，
此时AC=√(AM² + CM²)=√(4² + 2²)=2√5；
2. 当点M在线段OD上时：
CM=OC + OM=5 + 3=8，
此时AC=√(AM² + CM²)=√(4² + 8²)=4√5。
综上，AC的长为2√5或4√5。
【答案】
2√5或4√5
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题考查圆中线段长度的计算，核心是利用垂径定理和勾股定理，同时需注意垂足位置的分类讨论，避免漏解，是圆相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先根据直径求出圆的半径，再结合OM与OC的比例关系得到OM的长度；由于AB垂直CD，垂足M的位置存在两种可能（在线段OC上或在线段OD上），需分类讨论，结合垂径定理和勾股定理分别计算AC的长度。
【解析】
已知⊙O的直径CD=10，因此⊙O的半径OA=OC=OD=5。
由OM:OC=3:5，OC=5，可得OM=3。
因为AB⊥CD，根据垂径定理，AB被CD垂直平分，所以AM=√(OA² - OM²)=√(5² - 3²)=4。
分两种情况讨论：
1. 当点M在线段OC上时：
CM=OC - OM=5 - 3=2，
此时AC=√(AM² + CM²)=√(4² + 2²)=2√5；
2. 当点M在线段OD上时：
CM=OC + OM=5 + 3=8，
此时AC=√(AM² + CM²)=√(4² + 8²)=4√5。
综上，AC的长为2√5或4√5。
【答案】
2√5或4√5
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题考查圆中线段长度的计算，核心是利用垂径定理和勾股定理，同时需注意垂足位置的分类讨论，避免漏解，是圆相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
7. (2026·天津期末) 如图,一下水管道横截面为圆形,直径为 260 cm,下雨前水面宽为100 cm,一场大雨过后,水面宽为 240 cm,则水位上升了
70或170
cm.答案
7. 70或170 解析:如图所示,OE ⊥ CD 于点 E,OF ⊥ AB 于点F.根据垂径定理,得 DE = $\frac{1}{2}$CD = 120 cm,BF = $\frac{1}{2}$AB =50 cm,直径为 260 cm,半径 OD = OB = 130 cm,在 Rt△OED中,由勾股定理得 OE = 50 cm.在 Rt△OFB 中,由勾股定理得 OF = 120 cm.如图①,当 CD 在圆心下方时,EF = OF-OE =120-50 = 70(cm);如图②,当 CD 在圆心上方时,EF = OF+OE = 120+50 = 170(cm).故答案为70或170.
解析
【分析】
本题是圆的垂径定理的实际应用问题，核心思路是利用垂径定理将弦长转化为半弦长，结合勾股定理求出圆心到两条水面弦的距离；由于两条弦与圆心的位置关系有两种（同侧或两侧），需分类讨论，避免漏解，最终计算水位上升的高度。
【解析】
1. 确定圆的半径：已知圆的直径为260 cm，故半径 $ r = 130 \, \mathrm{cm} $。
2. 计算圆心到下雨前水面的距离：设圆心为 $ O $，下雨前水面为弦 $ AB $，弦长 $ AB = 100 \, \mathrm{cm} $。过 $ O $ 作 $ OF ⊥ AB $ 于 $ F $，根据垂径定理，$ BF = \frac{1}{2}AB = 50 \, \mathrm{cm} $。在 $ \mathrm{Rt}△ OFB $ 中，由勾股定理得：
$ OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{130^2 - 50^2} = 120 \, \mathrm{cm} $。
3. 计算圆心到雨后水面的距离：雨后水面为弦 $ CD $，弦长 $ CD = 240 \, \mathrm{cm} $。过 $ O $ 作 $ OE ⊥ CD $ 于 $ E $，同理 $ DE = \frac{1}{2}CD = 120 \, \mathrm{cm} $。在 $ \mathrm{Rt}△ OED $ 中，由勾股定理得：
$ OE = \sqrt{OD^2 - DE^2} = \sqrt{130^2 - 120^2} = 50 \, \mathrm{cm} $。
4. 分类讨论水位上升高度：
当 $ CD $ 与 $ AB $ 在圆心 $ O $ 的同侧时，水位上升高度 $ EF = OF - OE = 120 - 50 = 70 \, \mathrm{cm} $；
当 $ CD $ 与 $ AB $ 在圆心 $ O $ 的两侧时，水位上升高度 $ EF = OF + OE = 120 + 50 = 170 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
70或170
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦长计算
【点评】
本题结合实际生活场景，考查垂径定理与勾股定理的综合应用，核心难点是对两条弦与圆心位置关系的分类讨论，易因漏解出错，是圆章节的典型易错题。
【难度系数】
0.5
本题是圆的垂径定理的实际应用问题，核心思路是利用垂径定理将弦长转化为半弦长，结合勾股定理求出圆心到两条水面弦的距离；由于两条弦与圆心的位置关系有两种（同侧或两侧），需分类讨论，避免漏解，最终计算水位上升的高度。
【解析】
1. 确定圆的半径：已知圆的直径为260 cm，故半径 $ r = 130 \, \mathrm{cm} $。
2. 计算圆心到下雨前水面的距离：设圆心为 $ O $，下雨前水面为弦 $ AB $，弦长 $ AB = 100 \, \mathrm{cm} $。过 $ O $ 作 $ OF ⊥ AB $ 于 $ F $，根据垂径定理，$ BF = \frac{1}{2}AB = 50 \, \mathrm{cm} $。在 $ \mathrm{Rt}△ OFB $ 中，由勾股定理得：
$ OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{130^2 - 50^2} = 120 \, \mathrm{cm} $。
3. 计算圆心到雨后水面的距离：雨后水面为弦 $ CD $，弦长 $ CD = 240 \, \mathrm{cm} $。过 $ O $ 作 $ OE ⊥ CD $ 于 $ E $，同理 $ DE = \frac{1}{2}CD = 120 \, \mathrm{cm} $。在 $ \mathrm{Rt}△ OED $ 中，由勾股定理得：
$ OE = \sqrt{OD^2 - DE^2} = \sqrt{130^2 - 120^2} = 50 \, \mathrm{cm} $。
4. 分类讨论水位上升高度：
当 $ CD $ 与 $ AB $ 在圆心 $ O $ 的同侧时，水位上升高度 $ EF = OF - OE = 120 - 50 = 70 \, \mathrm{cm} $；
当 $ CD $ 与 $ AB $ 在圆心 $ O $ 的两侧时，水位上升高度 $ EF = OF + OE = 120 + 50 = 170 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
70或170
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的弦长计算
【点评】
本题结合实际生活场景，考查垂径定理与勾股定理的综合应用，核心难点是对两条弦与圆心位置关系的分类讨论，易因漏解出错，是圆章节的典型易错题。
【难度系数】
0.5
8. 已知$\odot O$的半径为1,A,B,C是$\odot O$上的点.若$AB=\sqrt{3}$,$AC=\sqrt{2}$,求$∠ BAC$的度数.
答案
8. 当弦 AB,AC 在 OA 两侧时,如图①,过点 O 作 OD ⊥ AB,OE ⊥AC,垂足分别为 D,E,则 AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,AE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.在 Rt△OAD 中,由勾股定理得 OD = $\sqrt{OA^2-AD^2}$ =$\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$ = $\frac{1}{2}$,
∴ OD = $\frac{1}{2}$OA,
∴ ∠OAD = 30°.同理OE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = AE,
∴ ∠OAC = 45°,
∴ ∠BAC = ∠OAD+∠OAC =30°+45° = 75°.当弦 AB,AC 在 OA 同侧时,如图②.同理∠OAB = 30°,∠OAC = 45°,
∴ ∠BAC = ∠OAC-∠OAB = 45°-30° = 15°.综上,∠BAC 的度数为75°或15°.
解析
【分析】
本题需利用垂径定理构造直角三角形，结合直角三角形的角度性质求出弦对应的圆心角的一半，再根据AB、AC与OA的位置关系分两种情况计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
已知⊙O的半径OA=1，分两种情况讨论：
1. 当弦AB、AC在OA两侧时（如图①）：
过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，根据垂径定理，得：
AD = ½AB = ½×√3 = √3/2，AE = ½AC = ½×√2 = √2/2。
在Rt△OAD中，OA=1，由勾股定理得：
OD = √(OA² - AD²) = √(1² - (√3/2)²) = √(1 - 3/4) = 1/2，
∴ OD = ½OA，根据直角三角形的性质，得∠OAD = 30°。
同理，在Rt△OAE中，OE = √(OA² - AE²) = √(1² - (√2/2)²) = √(1 - 1/2) = √2/2，
∴ OE = AE，故△OAE为等腰直角三角形，∠OAE = 45°。
∴ ∠BAC = ∠OAD + ∠OAE = 30° + 45° = 75°。
2. 当弦AB、AC在OA同侧时（如图②）：
同理可得∠OAD = 30°，∠OAE = 45°，
此时∠BAC = ∠OAE - ∠OAD = 45° - 30° = 15°。
综上，∠BAC的度数为75°或15°。
【答案】
75°或15°
【知识点】
垂径定理，直角三角形性质，圆的弦长计算
【点评】
本题考查圆中弦对应的角度计算，核心是利用垂径定理转化为直角三角形问题，需注意分类讨论弦的位置，避免漏解，体现了数学的分类思想。
【难度系数】
0.5
本题需利用垂径定理构造直角三角形，结合直角三角形的角度性质求出弦对应的圆心角的一半，再根据AB、AC与OA的位置关系分两种情况计算∠BAC的度数，避免漏解。
【解析】
已知⊙O的半径OA=1，分两种情况讨论：
1. 当弦AB、AC在OA两侧时（如图①）：
过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，根据垂径定理，得：
AD = ½AB = ½×√3 = √3/2，AE = ½AC = ½×√2 = √2/2。
在Rt△OAD中，OA=1，由勾股定理得：
OD = √(OA² - AD²) = √(1² - (√3/2)²) = √(1 - 3/4) = 1/2，
∴ OD = ½OA，根据直角三角形的性质，得∠OAD = 30°。
同理，在Rt△OAE中，OE = √(OA² - AE²) = √(1² - (√2/2)²) = √(1 - 1/2) = √2/2，
∴ OE = AE，故△OAE为等腰直角三角形，∠OAE = 45°。
∴ ∠BAC = ∠OAD + ∠OAE = 30° + 45° = 75°。
2. 当弦AB、AC在OA同侧时（如图②）：
同理可得∠OAD = 30°，∠OAE = 45°，
此时∠BAC = ∠OAE - ∠OAD = 45° - 30° = 15°。
综上，∠BAC的度数为75°或15°。
【答案】
75°或15°
【知识点】
垂径定理，直角三角形性质，圆的弦长计算
【点评】
本题考查圆中弦对应的角度计算，核心是利用垂径定理转化为直角三角形问题，需注意分类讨论弦的位置，避免漏解，体现了数学的分类思想。
【难度系数】
0.5
9. 如图,$\odot O$的直径为10,A,B,C,D是$\odot O$上四个动点,且$AB=6,CD=8$,若点 E,F 分别是弦AB,CD 的中点,试求线段 EF 的长度的取值范围.
答案
9. 连接 OE,OF,OA,OC,如图所示.
∵ ⊙O的直径为 10,
∴ OA = OC = 5.
∵ 点 E,F分别是弦 AB,CD 的中点,AB = 6,CD =8,
∴ OE ⊥ AB,OF ⊥ CD,AE = $\frac{1}{2}$AB = 3,CF = $\frac{1}{2}$CD = 4,
∴ OE = $\sqrt{OA^2-AE^2}$ =$\sqrt{5^2-3^2}$ = 4,OF = $\sqrt{OC^2-CF^2}$ = $\sqrt{5^2-4^2}$ = 3.当 AB // CD 时,E,O,F 三点共线,当 AB,CD 位于点 O 的同侧时,线段 EF的长度最短,为 OE-OF = 1;当 AB,CD 位于点 O 的两侧时,线段 EF 的长度最长,为 OE+OF =7,
∴ 线段 EF 的长度的取值范围是1≤EF≤7.
解析
【分析】
要确定线段EF的长度取值范围，需先利用垂径定理和勾股定理求出OE、OF的长度，再结合两条弦AB、CD的位置变化分析EF的最值：连接圆心与弦的中点，得到垂直关系，结合勾股定理计算OE、OF；当AB与CD平行时，E、O、F三点共线，此时EF会出现最值，进而确定其取值范围。
【解析】
连接OE、OF、OA、OC，如图所示。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ OA = OC = 5。
∵ 点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB = 6，CD = 8，
根据垂径定理，OE⊥AB，OF⊥CD，且AE = $\frac{1}{2}$AB = 3，CF = $\frac{1}{2}$CD = 4。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = 4；
在Rt△COF中，由勾股定理得：OF = $\sqrt{OC^2 - CF^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3。
当AB//CD时，E、O、F三点共线：
若AB、CD位于圆心O的同侧，此时EF最短，长度为OE - OF = 4 - 3 = 1；
若AB、CD位于圆心O的两侧，此时EF最长，长度为OE + OF = 4 + 3 = 7。
因此线段EF的长度的取值范围是1 ≤ EF ≤ 7。
【答案】
1≤EF≤7
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦的性质
【点评】
本题结合垂径定理与勾股定理，通过分析两条弦的位置关系确定线段EF的最值，考查了圆的相关性质的应用，需注意弦的位置变化对线段长度的影响。
【难度系数】
0.5
要确定线段EF的长度取值范围，需先利用垂径定理和勾股定理求出OE、OF的长度，再结合两条弦AB、CD的位置变化分析EF的最值：连接圆心与弦的中点，得到垂直关系，结合勾股定理计算OE、OF；当AB与CD平行时，E、O、F三点共线，此时EF会出现最值，进而确定其取值范围。
【解析】
连接OE、OF、OA、OC，如图所示。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ OA = OC = 5。
∵ 点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB = 6，CD = 8，
根据垂径定理，OE⊥AB，OF⊥CD，且AE = $\frac{1}{2}$AB = 3，CF = $\frac{1}{2}$CD = 4。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = 4；
在Rt△COF中，由勾股定理得：OF = $\sqrt{OC^2 - CF^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3。
当AB//CD时，E、O、F三点共线：
若AB、CD位于圆心O的同侧，此时EF最短，长度为OE - OF = 4 - 3 = 1；
若AB、CD位于圆心O的两侧，此时EF最长，长度为OE + OF = 4 + 3 = 7。
因此线段EF的长度的取值范围是1 ≤ EF ≤ 7。
【答案】
1≤EF≤7
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦的性质
【点评】
本题结合垂径定理与勾股定理，通过分析两条弦的位置关系确定线段EF的最值，考查了圆的相关性质的应用，需注意弦的位置变化对线段长度的影响。
【难度系数】
0.5
10. (1) 圆的一条弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为
(2) (2025·盐城期中) 圆被弦所分成的两条弧长之比为$7:5$,这条弦所对的圆周角的度数为
30°或150°
.(2) (2025·盐城期中) 圆被弦所分成的两条弧长之比为$7:5$,这条弦所对的圆周角的度数为
75°或105°
.答案
10. (1)30°或150° 解析:如图①,根据题意得 OA = AB = OB,
∴ △OAB 是等边三角形,
∴ ∠AOB = 60°,
∴ ∠ACB =$\frac{1}{2}$∠AOB = 30°,
∴ ∠ADB = 180°-∠ACB = 150°,即这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°.
(2)75°或105° 解析:如图②所示,
∵ 弦 AB 把⊙O 分成7:5的两部分,
∴ ∠AOB = 360°×$\frac{5}{7+5}$ = 150°,
∴ ∠AMB =$\frac{1}{2}$∠AOB = 75°,
∴ ∠ANB = 180°-∠AMB = 105°,
∴ 弦 AB所对的圆周角为75°或105°.
解析
【分析】
解决弦所对的圆周角问题，需先确定弦对应的圆心角，再依据圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）计算；同时要注意，弦所对的圆周角有两个，分别对应优弧和劣弧，二者互补，解题时需全面考虑，避免漏解。第(1)问中，弦长等于半径，可推出圆心构成等边三角形，得到圆心角；第(2)问根据弧长比算出对应圆心角，再求圆周角。
【解析】
(1) 设圆的半径为$ r $，由弦长等于半径，得$ OA = OB = AB = r $，因此$ △ OAB $是等边三角形，圆心角$ ∠ AOB = 60° $。根据圆周角定理，劣弧$ AB $所对的圆周角$ ∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB = 30° $；优弧$ AB $所对的圆周角与$ ∠ ACB $互补，即$ ∠ ADB = 180° - 30° = 150° $，故这条弦所对的圆周角为$ 30° $或$ 150° $。
(2) 弦$ AB $把圆分成弧长比$ 7:5 $的两部分，整个圆周为$ 360° $，则劣弧$ AB $对应的圆心角$ ∠ AOB = 360° × \frac{5}{7+5} = 150° $，优弧$ AB $对应的圆心角为$ 360° - 150° = 210° $。根据圆周角定理，劣弧$ AB $所对的圆周角$ ∠ AMB = \frac{1}{2}∠ AOB = 75° $，优弧$ AB $所对的圆周角$ ∠ ANB = \frac{1}{2} × 210° = 105° $，故这条弦所对的圆周角为$ 75° $或$ 105° $。
【答案】10. (1)30°或150° (2)75°或105°
【知识点】圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】本题考查圆周角定理的应用，核心是明确弦所对的圆周角有两个，分别对应优弧和劣弧，二者互补，解题时需全面分析，避免漏解，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.6
解决弦所对的圆周角问题，需先确定弦对应的圆心角，再依据圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）计算；同时要注意，弦所对的圆周角有两个，分别对应优弧和劣弧，二者互补，解题时需全面考虑，避免漏解。第(1)问中，弦长等于半径，可推出圆心构成等边三角形，得到圆心角；第(2)问根据弧长比算出对应圆心角，再求圆周角。
【解析】
(1) 设圆的半径为$ r $，由弦长等于半径，得$ OA = OB = AB = r $，因此$ △ OAB $是等边三角形，圆心角$ ∠ AOB = 60° $。根据圆周角定理，劣弧$ AB $所对的圆周角$ ∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB = 30° $；优弧$ AB $所对的圆周角与$ ∠ ACB $互补，即$ ∠ ADB = 180° - 30° = 150° $，故这条弦所对的圆周角为$ 30° $或$ 150° $。
(2) 弦$ AB $把圆分成弧长比$ 7:5 $的两部分，整个圆周为$ 360° $，则劣弧$ AB $对应的圆心角$ ∠ AOB = 360° × \frac{5}{7+5} = 150° $，优弧$ AB $对应的圆心角为$ 360° - 150° = 210° $。根据圆周角定理，劣弧$ AB $所对的圆周角$ ∠ AMB = \frac{1}{2}∠ AOB = 75° $，优弧$ AB $所对的圆周角$ ∠ ANB = \frac{1}{2} × 210° = 105° $，故这条弦所对的圆周角为$ 75° $或$ 105° $。
【答案】10. (1)30°或150°
(2)75°或105° 【知识点】圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】本题考查圆周角定理的应用，核心是明确弦所对的圆周角有两个，分别对应优弧和劣弧，二者互补，解题时需全面分析，避免漏解，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.6
11. (襄阳中考)已知$\odot O$的直径$AB$长为2,弦$AC$长为$\sqrt{2}$,那么弦$AC$所对的圆周角的度数等于
45°或135°
.答案
11. 45°或135° 解析:如图,连接 BC,
∵ ⊙O 的直径 AB,
∴ ∠ACB = 90°,根据勾股定理得 BC = $\sqrt{AB^2-AC^2}$ =$\sqrt{2}$,
∴ △ABC 为等腰直角三角形,
∴ ∠ABC = 45°,∠AC'C = 135°,
∴ 弦 AC 所对的圆周角的度数等于45°或者135°.故答案为45°或135°.
解析
【分析】
要解决该问题，需明确弦所对的圆周角有两个，分别位于弦的两侧，结合圆周角定理逐步推导：首先利用直径所对的圆周角为直角构造直角三角形，通过勾股定理算出边长，得到一个圆周角的度数；再根据圆内接四边形的对角互补，得到弦另一侧的圆周角度数，注意不能漏解。
【解析】
连接BC，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ACB中，AB=2，AC=√2，由勾股定理得：
BC = √(AB² - AC²) = √(2² - (√2)²) = √2，
∴ AC = BC，即△ACB为等腰直角三角形，
∴ ∠ABC = 45°，这是弦AC在优弧AB上所对的圆周角。
又
∵ 四边形ACBC'是圆内接四边形，
∴ ∠AC'C + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴ ∠AC'C = 180° - 45° = 135°，这是弦AC在劣弧AC上所对的圆周角。
因此，弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°。
【答案】
45°或135°
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质
【点评】
本题考查圆周角的相关性质，核心是掌握弦所对的圆周角有两个，需全面考虑位置避免漏解，是中考中易因思维片面丢分的典型题。
【难度系数】
0.4
要解决该问题，需明确弦所对的圆周角有两个，分别位于弦的两侧，结合圆周角定理逐步推导：首先利用直径所对的圆周角为直角构造直角三角形，通过勾股定理算出边长，得到一个圆周角的度数；再根据圆内接四边形的对角互补，得到弦另一侧的圆周角度数，注意不能漏解。
【解析】
连接BC，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ACB中，AB=2，AC=√2，由勾股定理得：
BC = √(AB² - AC²) = √(2² - (√2)²) = √2，
∴ AC = BC，即△ACB为等腰直角三角形，
∴ ∠ABC = 45°，这是弦AC在优弧AB上所对的圆周角。
又
∵ 四边形ACBC'是圆内接四边形，
∴ ∠AC'C + ∠ABC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
∴ ∠AC'C = 180° - 45° = 135°，这是弦AC在劣弧AC上所对的圆周角。
因此，弦AC所对的圆周角的度数为45°或135°。
【答案】
45°或135°
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质
【点评】
本题考查圆周角的相关性质，核心是掌握弦所对的圆周角有两个，需全面考虑位置避免漏解，是中考中易因思维片面丢分的典型题。
【难度系数】
0.4
