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7. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$CD$和$CE$分别是$AB$边上的高和中线,若$AD=2$,$DE=$$3$,则$CD$的长是（
A.3
B.4
C.5
D.$2\sqrt{5}$
B
）A.3
B.4
C.5
D.$2\sqrt{5}$
答案
7.B
8.(2024·淮阴区期中)如图,将一根长 12 cm 的筷子置于底面直径为 6 cm,高为 8 cm 的圆柱形杯子中,则筷子露在杯子外面的长度至少为
2
cm.答案
8.2
9. (2024·涟水县期末)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90^{ \circ }$,$AB=4$,$BC=6$.
(1)尺规作图:作$AC$的垂直平分线,交$BC$于点$D$,交$AC$于点$E$;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)求$BD$的长.
(1)尺规作图:作$AC$的垂直平分线,交$BC$于点$D$,交$AC$于点$E$;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)求$BD$的长.
答案
(1)如答图所示,直线$DE$即为所求。
(2)连接$AD$,如答图所示。
$\because DE$是线段$AC$的垂直平分线,$\therefore DA=DC$.
设$BD=x$,则$DC=AD=6-x$,
$\because ∠ABC=90°,AB=4$,
$\therefore AB^2+BD^2=AD^2$,即$4^2+x^2=(6-x)^2$,
解得$x=\frac{5}{3}$,$\therefore BD$的长为$\frac{5}{3}$.
10. 如图,在等腰三角形 ABC 中,$AB=AC$,$BC=10$,$BD ⊥ AC$于点 D,且 $BD=8$. 求$△ ABC$的面积.
答案
$\because BD⊥AC,\therefore ∠ADB=∠CDB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△BCD$中,$BD=8,BC=10,BD^2+CD^2=BC^2$,
$\therefore 8^2+CD^2=10^2,CD^2=36,\therefore CD=6$.
设$AB=AC=x$,则$AD=x-6$.
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD^2+BD^2=AB^2$,
即$(x-6)^2+8^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}$.
在$\mathrm{Rt}△BCD$中,$BD=8,BC=10,BD^2+CD^2=BC^2$,
$\therefore 8^2+CD^2=10^2,CD^2=36,\therefore CD=6$.
设$AB=AC=x$,则$AD=x-6$.
在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AD^2+BD^2=AB^2$,
即$(x-6)^2+8^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×\frac{25}{3}×8=\frac{100}{3}$.
11. (2024·东海县期中) 如图, 在$△ ABC$中, $∠ ACB=90°, AC=6, BC=8$, 点$P$从点$A$出发, 在线段$AB$上以每秒1个单位长度的速度向终点$B$运动, 连接$CP$. 设点$P$运动的时间为$t$秒.
(1)$AB$的长为
(2)当$t=$
(3)当$t$的值为多少时,$△ BCP$为等腰三角形.
(1)$AB$的长为
10
;(2)当$t=$
3.6
秒时,线段$CP$的长最小,且$CP$长的最小值为4.8
;(3)当$t$的值为多少时,$△ BCP$为等腰三角形.
答案
(1)10
(2)3.6 4.8
(3)解:①当$BP=BC$时,$AP=AB-BP=10-8=2$,
$\therefore t=2$.
②当$BP=CP$时,$∠B=∠BCP$.
$\because ∠ACB=90°,\therefore ∠B+∠A=∠ACP+∠BCP=90°$,
$\therefore ∠A=∠ACP,\therefore AP=CP$,
$\therefore AP=BP=CP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5,\therefore t=5$;
综上所述,$t$的值为2或5时,$△BCP$为等腰三角形.
(2)3.6 4.8
(3)解:①当$BP=BC$时,$AP=AB-BP=10-8=2$,
$\therefore t=2$.
②当$BP=CP$时,$∠B=∠BCP$.
$\because ∠ACB=90°,\therefore ∠B+∠A=∠ACP+∠BCP=90°$,
$\therefore ∠A=∠ACP,\therefore AP=CP$,
$\therefore AP=BP=CP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5,\therefore t=5$;
综上所述,$t$的值为2或5时,$△BCP$为等腰三角形.
