13. 如图，在$4×4$的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.
（1）求$△ ABC$的周长.
（2）判断$△ ABC$的形状，并说明理由.

（1）$5+3\sqrt{5}$；（2）直角三角形，理由：$AB^2+BC^2=AC^2$，故△ABC为直角三角形。

【分析】
（1）要求△ABC的周长，需先求出AB、BC、AC三边的长度。我们可借助网格特征，将每条边看作直角三角形的斜边，利用勾股定理分别计算三边长度，再将三边长度相加即可得到周长。
（2）判断三角形形状时，先确定三边中的最长边，再计算较短两边的平方和，将其与最长边的平方对比，若二者相等，可根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1。
（1）根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，
因此△ABC的周长为$AB+BC+AC=2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5=5+3\sqrt{5}$。
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
$\because AB^2=(2\sqrt{5})^2=20$，$BC^2=(\sqrt{5})^2=5$，$AC^2=5^2=25$，
$\therefore AB^2+BC^2=20+5=25=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC为直角三角形。
【答案】
（1）$5+3\sqrt{5}$；（2）直角三角形
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形周长计算
【点评】
本题结合正方形网格考查勾股定理相关应用，解题核心是利用网格构造直角三角形求解线段长度，再通过逆定理判断三角形形状，是勾股定理应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

14. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，已知DE平分∠ADC，交AB于点E，过点E作EF//AD，交DC于点F. 求证：四边形AEFD是菱形.

四边形AEFD是菱形，证明过程如上。

【分析】
要证明四边形是菱形，通常优先选择“先证平行四边形，再证一组邻边相等”的思路：首先结合已知的平行关系，先判定四边形AEFD是平行四边形；再利用角平分线和平行线的性质，推导得到一组邻边相等，最终即可判定该平行四边形为菱形。
【解析】
证明：
1.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，即AE//DF
又
∵EF//AD
∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
2.
∵DE平分∠ADC
∴∠1=∠2
∵AB//DC
∴∠2=∠AED（两直线平行，内错角相等）
∴∠1=∠AED
∴AD=AE（等角对等边）
3.
∵平行四边形AEFD中AD=AE
∴平行四边形AEFD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
【答案】
四边形AEFD是菱形
【知识点】
平行四边形的判定与性质；角平分线的定义；菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理，结合平行线和角平分线的性质推导边相等的关系，掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7