登录
1. 阅读材料:若 $m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16=0$,求m、n的值.
解:$\because m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16=0$,
$\therefore (m^{2}-2mn+n^{2})+(n^{2}-8n+16)=0,\therefore (m-n)^{2}+(n-4)^{2}=0$,
$\therefore (m-n)^{2}=0,(n-4)^{2}=0,\therefore n=4,m=4$.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1) 已知 $x^{2}+2xy+2y^{2}+4y+4=0$,则 $2x+y=$
(2) 已知 $m-n=4,mn+k^{2}-6k+13=0$,则 $m+n+k=$
解:$\because m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16=0$,
$\therefore (m^{2}-2mn+n^{2})+(n^{2}-8n+16)=0,\therefore (m-n)^{2}+(n-4)^{2}=0$,
$\therefore (m-n)^{2}=0,(n-4)^{2}=0,\therefore n=4,m=4$.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1) 已知 $x^{2}+2xy+2y^{2}+4y+4=0$,则 $2x+y=$
2
;(2) 已知 $m-n=4,mn+k^{2}-6k+13=0$,则 $m+n+k=$
3
.答案
1. (1) 2 (2) 3
解析
【分析】本题通过配方法将等式左边转化为几个完全平方的和，利用平方数的非负性（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0），求出各未知数的值，再代入计算所求式子。
【解析】
(1) 对等式 $x^2 + 2xy + 2y^2 + 4y + 4 = 0$ 配方：
$\begin{aligned}x^2 + 2xy + 2y^2 + 4y + 4 &= 0 \\(x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 + 4y + 4) &= 0 \\(x + y)^2 + (y + 2)^2 &= 0\end{aligned}$
因为平方数非负，故 $(x + y)^2 = 0$ 且 $(y + 2)^2 = 0$，解得 $y = -2$，$x = -y = 2$。
则 $2x + y = 2×2 + (-2) = 2$。
(2) 已知 $m - n = 4$，即 $m = n + 4$，代入 $mn + k^2 - 6k + 13 = 0$：
$\begin{aligned}(n + 4)n + k^2 - 6k + 13 &= 0 \\n^2 + 4n + k^2 - 6k + 13 &= 0 \\(n^2 + 4n + 4) + (k^2 - 6k + 9) &= 0 \\(n + 2)^2 + (k - 3)^2 &= 0\end{aligned}$
因为平方数非负，故 $(n + 2)^2 = 0$ 且 $(k - 3)^2 = 0$，解得 $n = -2$，$k = 3$，则 $m = n + 4 = 2$。
所以 $m + n + k = 2 + (-2) + 3 = 3$。
【答案】(1) 2；(2) 3
【知识点】完全平方公式、非负数的性质（平方的非负性）
【点评】本题考查配方法的应用，核心是通过配方将式子转化为完全平方和的形式，利用平方的非负性求解未知数，属于基础题型，关键是掌握正确的配方技巧。
【难度系数】0.5
【解析】
(1) 对等式 $x^2 + 2xy + 2y^2 + 4y + 4 = 0$ 配方：
$\begin{aligned}x^2 + 2xy + 2y^2 + 4y + 4 &= 0 \\(x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 + 4y + 4) &= 0 \\(x + y)^2 + (y + 2)^2 &= 0\end{aligned}$
因为平方数非负，故 $(x + y)^2 = 0$ 且 $(y + 2)^2 = 0$，解得 $y = -2$，$x = -y = 2$。
则 $2x + y = 2×2 + (-2) = 2$。
(2) 已知 $m - n = 4$，即 $m = n + 4$，代入 $mn + k^2 - 6k + 13 = 0$：
$\begin{aligned}(n + 4)n + k^2 - 6k + 13 &= 0 \\n^2 + 4n + k^2 - 6k + 13 &= 0 \\(n^2 + 4n + 4) + (k^2 - 6k + 9) &= 0 \\(n + 2)^2 + (k - 3)^2 &= 0\end{aligned}$
因为平方数非负，故 $(n + 2)^2 = 0$ 且 $(k - 3)^2 = 0$，解得 $n = -2$，$k = 3$，则 $m = n + 4 = 2$。
所以 $m + n + k = 2 + (-2) + 3 = 3$。
【答案】(1) 2；(2) 3
【知识点】完全平方公式、非负数的性质（平方的非负性）
【点评】本题考查配方法的应用，核心是通过配方将式子转化为完全平方和的形式，利用平方的非负性求解未知数，属于基础题型，关键是掌握正确的配方技巧。
【难度系数】0.5
2. 选取二次三项式 $ax^{2}+bx+c(a≠0)$中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.
例如:①选取二次项和一次项配方:$x^{2}-4x+9=(x-2)^{2}+5$;
②选取二次项和常数项配方:$x^{2}-4x+9=(x-3)^{2}+2x$ 或 $x^{2}-4x+9=(x+3)^{2}-10x$;
③选取一次项和常数项配方:$x^{2}-4x+9=(\dfrac{2}{3}x-3)^{2}+\dfrac{5}{9}x^{2}$.
根据上述材料,解决下列问题:
(1) 求代数式 $x^{2}-6x+10$ 的最小值;
(2) 写出代数式 $x^{2}-8x+4$ 的两种不同形式的配方;
(3) 已知 $x^{2}+y^{2}+xy-3y+3=0$,求 $x^{y}$ 的值.
例如:①选取二次项和一次项配方:$x^{2}-4x+9=(x-2)^{2}+5$;
②选取二次项和常数项配方:$x^{2}-4x+9=(x-3)^{2}+2x$ 或 $x^{2}-4x+9=(x+3)^{2}-10x$;
③选取一次项和常数项配方:$x^{2}-4x+9=(\dfrac{2}{3}x-3)^{2}+\dfrac{5}{9}x^{2}$.
根据上述材料,解决下列问题:
(1) 求代数式 $x^{2}-6x+10$ 的最小值;
(2) 写出代数式 $x^{2}-8x+4$ 的两种不同形式的配方;
(3) 已知 $x^{2}+y^{2}+xy-3y+3=0$,求 $x^{y}$ 的值.
答案
2. (1) 1. (2) $(x-4)^{2}-12$或$(x-2)^{2}-4x$(答案不唯一).
(3) $x^{y}=1$.
(3) $x^{y}=1$.
解析
【分析】
本题围绕二次三项式的配方展开，分三小问：
1. 求代数式最小值：利用配方法将二次式转化为“完全平方式+常数”的形式，根据完全平方式的非负性，即可得到最小值；
2. 写两种配方：根据题目给出的示例，分别选取二次项与一次项、二次项与常数项进行配方，构造完全平方式后调整剩余项即可，答案不唯一；
3. 求$x^y$的值：对等式左边的式子进行配方，转化为几个完全平方式的和，利用平方的非负性求出$x$、$y$的值，再代入计算。
【解析】
(1) 对代数式$x^2 -6x +10$配方：
$x^2 -6x +10 = (x^2 -6x +9) +1 = (x-3)^2 +1$，
因为$(x-3)^2 ≥ 0$，所以$(x-3)^2 +1 ≥ 1$，即最小值为1；
(2) 第一种配方（选取二次项和一次项）：
$x^2 -8x +4 = (x^2 -8x +16) -16 +4 = (x-4)^2 -12$；
第二种配方（选取二次项和常数项）：
$x^2 -8x +4 = (x^2 +4) -8x = (x-2)^2 -4x$（答案不唯一）；
(3) 对等式$x^2 + y^2 + xy -3y +3 =0$配方：
将式子变形为关于$x$的二次式：
$x^2 + xy + (y^2 -3y +3) =0$，
对$x$的部分配方：$x^2 + xy = (x + \frac{y}{2})^2 - \frac{y^2}{4}$，代入得：
$(x + \frac{y}{2})^2 - \frac{y^2}{4} + y^2 -3y +3 =0$，
整理得：$(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} -3y +3 =0$，
对$y$的部分配方：$\frac{3y^2}{4} -3y +3 = \frac{3}{4}(y^2 -4y +4) = \frac{3}{4}(y-2)^2$，
因此等式变为：$(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}(y-2)^2 =0$，
因为平方数非负，所以：
$\begin{cases} y-2=0 \\ x + \frac{y}{2}=0 \end{cases}$，
解得$y=2$，$x=-1$，
所以$x^y = (-1)^2 =1$；
【答案】
(1) 1；(2) $(x-4)^2 -12$，$(x-2)^2 -4x$（答案不唯一）；(3) 1
【知识点】
配方法、完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题重点考查配方法的灵活应用，通过配方将代数式转化为完全平方式，利用非负数的性质解决最值和等式问题，需要学生掌握不同的配方思路，尤其是多变量式子的配方，是初中代数的核心题型之一。
【难度系数】
0.6
本题围绕二次三项式的配方展开，分三小问：
1. 求代数式最小值：利用配方法将二次式转化为“完全平方式+常数”的形式，根据完全平方式的非负性，即可得到最小值；
2. 写两种配方：根据题目给出的示例，分别选取二次项与一次项、二次项与常数项进行配方，构造完全平方式后调整剩余项即可，答案不唯一；
3. 求$x^y$的值：对等式左边的式子进行配方，转化为几个完全平方式的和，利用平方的非负性求出$x$、$y$的值，再代入计算。
【解析】
(1) 对代数式$x^2 -6x +10$配方：
$x^2 -6x +10 = (x^2 -6x +9) +1 = (x-3)^2 +1$，
因为$(x-3)^2 ≥ 0$，所以$(x-3)^2 +1 ≥ 1$，即最小值为1；
(2) 第一种配方（选取二次项和一次项）：
$x^2 -8x +4 = (x^2 -8x +16) -16 +4 = (x-4)^2 -12$；
第二种配方（选取二次项和常数项）：
$x^2 -8x +4 = (x^2 +4) -8x = (x-2)^2 -4x$（答案不唯一）；
(3) 对等式$x^2 + y^2 + xy -3y +3 =0$配方：
将式子变形为关于$x$的二次式：
$x^2 + xy + (y^2 -3y +3) =0$，
对$x$的部分配方：$x^2 + xy = (x + \frac{y}{2})^2 - \frac{y^2}{4}$，代入得：
$(x + \frac{y}{2})^2 - \frac{y^2}{4} + y^2 -3y +3 =0$，
整理得：$(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} -3y +3 =0$，
对$y$的部分配方：$\frac{3y^2}{4} -3y +3 = \frac{3}{4}(y^2 -4y +4) = \frac{3}{4}(y-2)^2$，
因此等式变为：$(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}(y-2)^2 =0$，
因为平方数非负，所以：
$\begin{cases} y-2=0 \\ x + \frac{y}{2}=0 \end{cases}$，
解得$y=2$，$x=-1$，
所以$x^y = (-1)^2 =1$；
【答案】
(1) 1；(2) $(x-4)^2 -12$，$(x-2)^2 -4x$（答案不唯一）；(3) 1
【知识点】
配方法、完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题重点考查配方法的灵活应用，通过配方将代数式转化为完全平方式，利用非负数的性质解决最值和等式问题，需要学生掌握不同的配方思路，尤其是多变量式子的配方，是初中代数的核心题型之一。
【难度系数】
0.6
3. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式 $x^{2}+2x+3$ 的最小值.
解:$x^{2}+2x+3=x^{2}+2x+1+2=(x+1)^{2}+2$.
$\because$ 无论x取何实数,都有 $(x+1)^{2}≥0$,
$\therefore (x+1)^{2}+2≥2$,即 $x^{2}+2x+3$ 的最小值为2.
(1) 请直接写出 $2x^{2}+4x+10$ 的最小值:
(2) 求证:无论x取何实数,二次根式$\sqrt{x^{2}+x+2}$都有意义;
(3) 如图,在四边形ABCD中,$AC⊥ BD$,若 $AC+BD=10$,求四边形ABCD面积的最大值.
解:$x^{2}+2x+3=x^{2}+2x+1+2=(x+1)^{2}+2$.
$\because$ 无论x取何实数,都有 $(x+1)^{2}≥0$,
$\therefore (x+1)^{2}+2≥2$,即 $x^{2}+2x+3$ 的最小值为2.
(1) 请直接写出 $2x^{2}+4x+10$ 的最小值:
8
;(2) 求证:无论x取何实数,二次根式$\sqrt{x^{2}+x+2}$都有意义;
(3) 如图,在四边形ABCD中,$AC⊥ BD$,若 $AC+BD=10$,求四边形ABCD面积的最大值.
答案
3. (1) 8 (2) 证明略.
(3) 四边形$ABCD$面积的最大值为$\frac{25}{2}$.
(3) 四边形$ABCD$面积的最大值为$\frac{25}{2}$.
解析
【分析】
本题分为三个小问，均需运用配方法解决：（1）对二次式提取二次项系数后配方，利用平方的非负性求最小值；（2）要证明二次根式有意义，需保证被开方数恒为正，对被开方式配方判断取值范围；（3）利用对角线垂直的四边形面积公式，结合已知条件将面积转化为二次函数，再用配方法求最大值。
【解析】
（1）对$2x^2+4x+10$配方：
$2x^2+4x+10=2(x^2+2x)+10=2(x^2+2x+1-1)+10=2(x+1)^2 -2 +10=2(x+1)^2 +8$
$\because (x+1)^2≥0$，$\therefore 2(x+1)^2 +8≥8$，故最小值为8。
（2）对于二次根式$\sqrt{x^2+x+2}$，需证明被开方数$x^2+x+2＞0$对任意实数$x$成立：
$x^2+x+2=x^2+x+(\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 +2=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$
$\because (x+\frac{1}{2})^2≥0$，$\therefore (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}≥\frac{7}{4}＞0$，即被开方数恒为正，故无论$x$取何实数，该二次根式都有意义。
（3）$\because AC⊥ BD$，$\therefore$四边形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD$。
设$AC=x$，则$BD=10-x$，代入面积公式得：
$S=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}x^2 +5x$
配方得：
$S=-\frac{1}{2}(x^2 -10x)=-\frac{1}{2}[(x-5)^2 -25]=-\frac{1}{2}(x-5)^2 +\frac{25}{2}$
$\because -\frac{1}{2}(x-5)^2≤0$，$\therefore S≤\frac{25}{2}$，即四边形$ABCD$面积的最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $8$；(2) 证明略；(3) $\frac{25}{2}$
【知识点】
配方法应用，二次根式有意义条件，四边形面积计算
【点评】
本题综合考查配方法在代数与几何中的应用，通过配方将问题转化为非负数的性质求解最值，是代数与几何结合的典型题目，需掌握配方法的基本步骤和相关公式。
【难度系数】
0.5
本题分为三个小问，均需运用配方法解决：（1）对二次式提取二次项系数后配方，利用平方的非负性求最小值；（2）要证明二次根式有意义，需保证被开方数恒为正，对被开方式配方判断取值范围；（3）利用对角线垂直的四边形面积公式，结合已知条件将面积转化为二次函数，再用配方法求最大值。
【解析】
（1）对$2x^2+4x+10$配方：
$2x^2+4x+10=2(x^2+2x)+10=2(x^2+2x+1-1)+10=2(x+1)^2 -2 +10=2(x+1)^2 +8$
$\because (x+1)^2≥0$，$\therefore 2(x+1)^2 +8≥8$，故最小值为8。
（2）对于二次根式$\sqrt{x^2+x+2}$，需证明被开方数$x^2+x+2＞0$对任意实数$x$成立：
$x^2+x+2=x^2+x+(\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 +2=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$
$\because (x+\frac{1}{2})^2≥0$，$\therefore (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}≥\frac{7}{4}＞0$，即被开方数恒为正，故无论$x$取何实数，该二次根式都有意义。
（3）$\because AC⊥ BD$，$\therefore$四边形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD$。
设$AC=x$，则$BD=10-x$，代入面积公式得：
$S=\frac{1}{2}x(10-x)=-\frac{1}{2}x^2 +5x$
配方得：
$S=-\frac{1}{2}(x^2 -10x)=-\frac{1}{2}[(x-5)^2 -25]=-\frac{1}{2}(x-5)^2 +\frac{25}{2}$
$\because -\frac{1}{2}(x-5)^2≤0$，$\therefore S≤\frac{25}{2}$，即四边形$ABCD$面积的最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $8$；(2) 证明略；(3) $\frac{25}{2}$
【知识点】
配方法应用，二次根式有意义条件，四边形面积计算
【点评】
本题综合考查配方法在代数与几何中的应用，通过配方将问题转化为非负数的性质求解最值，是代数与几何结合的典型题目，需掌握配方法的基本步骤和相关公式。
【难度系数】
0.5
