1. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是()。

A.4,5,6
B.1.5,2,2.5
C.6,8,10
D.1, $\sqrt{3}$, 2

1.C

【分析】
要判断哪组数是勾股数，首先要明确勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足勾股定理，即两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先根据第一个条件排除不符合的选项，再对剩余选项验证勾股定理即可得到正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足勾股定理的三个正整数，即同时满足“均为正整数”和“较小两数的平方和等于最大数的平方”两个条件。
对各选项逐一分析：
A. 4、5、6均为正整数，但$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不满足勾股定理，不是勾股数；
B. 1.5、2.5是小数，不是正整数，不符合勾股数的要求，不是勾股数；
C. 6、8、10均为正整数，且$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，同时满足两个条件，是勾股数；
D. $\sqrt{3}$是无理数，不是正整数，不符合勾股数的要求，不是勾股数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题核心考查勾股数的概念，易错点是容易忽略“勾股数必须是正整数”的前提，只验证数值是否满足勾股定理，解题时可先筛选数的类型，再验证勾股定理，提升做题准确率。
【难度系数】
0.8

2.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是(2,2)，若点P在坐标轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是()。

A.(4,0)
B.(0,$\sqrt{2}$)
C.(-$\sqrt{8}$,0)
D.(0,2)
楚河 汉界

2.B

【分析】
要解决这道题，首先明确等腰三角形的判定条件：有两边长度相等的三角形是等腰三角形。已知O是原点，A(2,2)，P在坐标轴上，我们可以先算出OA的长度，再逐个验证每个选项中的P点是否满足△APO有两边相等，就能快速判断出不可能的坐标。
【解析】
第一步：计算OA的长度，根据平面直角坐标系两点间距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，因此$OA=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
第二步：逐个验证选项：
选项A：$P(4,0)$，$OP=4$，$AP=\sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，可得$AP=OA$，$△ APO$是等腰三角形，不符合题意，排除；
选项B：$P(0,\sqrt{2})$，$OP=\sqrt{2}$，$AP=\sqrt{(0-2)^2+(\sqrt{2}-2)^2}=\sqrt{4+(6-4\sqrt{2})}=\sqrt{10-4\sqrt{2}}$，对比三条边长度：$OA=2\sqrt{2}$、$OP=\sqrt{2}$、$AP=\sqrt{10-4\sqrt{2}}$，三边均不相等，$△ APO$不是等腰三角形，符合题意；
选项C：$P(-\sqrt{8},0)$，$OP=\sqrt{8}=2\sqrt{2}=OA$，可得$OP=OA$，$△ APO$是等腰三角形，不符合题意，排除；
选项D：$P(0,2)$，$OP=2$，$AP=\sqrt{(0-2)^2+(2-2)^2}=2$，可得$OP=AP$，$△ APO$是等腰三角形，不符合题意，排除。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形判定，两点间距离公式，分类讨论思想
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查等腰三角形的判定，既可以通过直接验证选项快速得到答案，也可以分类讨论等腰的三种情况（OA为腰且O为顶点、OA为腰且A为顶点、OA为底边）求出所有符合条件的P点再筛选，解题时要注意覆盖坐标轴上x轴、y轴两类位置。
【难度系数】
0.7

3.右图是两人某次棋局棋盘上的一部分,若棋盘中每个小正方形的边长为1,则“車”“帥”两棋子所在格点之间的距离为()。

A.3
B.$\sqrt{3}$
C.5
D.$\sqrt{5}$

3.D

【分析】
解题时我们可以结合网格特征，利用勾股定理计算两点距离：首先确定“車”与“帥”在水平方向、竖直方向的间隔长度，这两个长度可作为直角三角形的两条直角边，两点的距离就是该直角三角形的斜边长，代入勾股公式计算即可。
【解析】
观察网格可得，“車”和“帥”的水平间隔为2个单位长度，竖直间隔为1个单位长度。
根据勾股定理，两点之间的距离为：
$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；网格中两点距离计算
【点评】
本题结合象棋棋盘的生活化情境考查勾股定理的基础应用，解题核心是准确数出两点在水平、竖直方向的单位间隔，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8

4.如右图，一架25 m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24 m。如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2 m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是()。

A.$(10\sqrt{6}-24)\mathrm{m}$
B.$1\mathrm{ m}$
C.$2\mathrm{ m}$
D.$(4-\sqrt{5})\mathrm{m}$

4.A

【分析】
本题考查勾股定理在实际场景中的应用，解题思路如下：首先明确梯子滑动过程中自身长度始终不变，是两个直角三角形的公共斜边；第一步先在初始状态的Rt△AOB中，用勾股定理求出梯子底端到墙的距离OB；第二步结合底端向墙移动2m的条件，得到移动后底端到墙的距离OD，再在新的Rt△COD中用勾股定理求出移动后梯子顶端到地面的高度OC；最后用OC减去初始高度AO，即可得到顶端向上滑动的距离。
【解析】
在Rt△AOB中，∠O=90°，AB=25m，AO=24m，根据勾股定理：
$OB^2 = AB^2 - AO^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$
解得$OB=7\mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
梯子底端向墙移动2m，因此移动后底端到墙的距离$OD=OB - 2 = 7 - 2 = 5\mathrm{m}$，此时梯子长度不变，$CD=AB=25\mathrm{m}$。
在Rt△COD中，∠O=90°，根据勾股定理：
$OC^2 = CD^2 - OD^2 = 25^2 - 5^2 = 625 - 25 = 600$
解得$OC=\sqrt{600}=10\sqrt{6}\mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
因此梯子顶端向上滑动的距离为$OC - AO = (10\sqrt{6} - 24)\mathrm{m}$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，实际问题应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含条件，分别在两个直角三角形中计算对应边长即可，需注意根式化简的正确性，避免凭直觉认为滑动距离和底端移动距离相等的错误。
【难度系数】
0.6

1. 如,要为一段高为5 m,长为13 m 的楼梯铺上红地毯,则红地毯至少要 m。

1.17

【分析】
要计算红地毯的最小长度，可利用平移思想求解：楼梯的所有竖直台阶的高度之和等于楼梯总高，所有水平台阶的长度之和等于楼梯底部的水平宽度，因此红地毯总长度就等于竖直总高度加水平总宽度。我们首先需要根据勾股定理计算出楼梯所在直角三角形的水平直角边长度，再与竖直高度相加即可得到结果。
【解析】
解：已知楼梯所在直角三角形的竖直直角边长为5m，斜边长为13m。
根据勾股定理，水平直角边的长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$（m）
由平移的性质可知，红地毯长度=竖直总高度+水平总宽度，即：
$5 + 12 = 17$（m）
【答案】
17
【知识点】
勾股定理、平移的应用
【点评】
本题是生活实际与几何知识结合的典型题型，解题核心是通过平移将不规则的台阶总长转化为直角三角形两条直角边的和，避免了逐个计算台阶长度的繁琐，能很好地考查学生对知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7