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【变式1】把下列各数：$2^{\frac{2}{3}}$，$(\dfrac{5}{3})^{-\frac{1}{3}}$，$(-\dfrac{2}{3})^3$，$(\dfrac{3}{2})^{\frac{2}{3}}$，按由小到大的顺序排列：
$(-\frac{2}{3})^3 ＜ (\frac{5}{3})^{-\frac{1}{3}} ＜ (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} ＜ 2^{\frac{2}{3}}$
。答案
$(-\frac{2}{3})^3 ＜ (\frac{5}{3})^{-\frac{1}{3}} ＜ (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} ＜ 2^{\frac{2}{3}}$
因为幂函数$y=x^{\frac{2}{3}}$在$[0,+∞)$上单调递增,且$1＜\frac{3}{2}＜2$,所以$1＜(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}＜2^{\frac{2}{3}}$.
因为$(\frac{5}{3})^{-\frac{1}{3}}=(\frac{3}{5})^{\frac{1}{3}}＜1$,所以$0＜(\frac{5}{3})^{-\frac{1}{3}}＜1$.
又$(-\frac{2}{3})^3＜0$,所以$(-\frac{2}{3})^3 ＜ (\frac{5}{3})^{-\frac{1}{3}} ＜ (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} ＜ 2^{\frac{2}{3}}$.
因为幂函数$y=x^{\frac{2}{3}}$在$[0,+∞)$上单调递增,且$1＜\frac{3}{2}＜2$,所以$1＜(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}＜2^{\frac{2}{3}}$.
因为$(\frac{5}{3})^{-\frac{1}{3}}=(\frac{3}{5})^{\frac{1}{3}}＜1$,所以$0＜(\frac{5}{3})^{-\frac{1}{3}}＜1$.
又$(-\frac{2}{3})^3＜0$,所以$(-\frac{2}{3})^3 ＜ (\frac{5}{3})^{-\frac{1}{3}} ＜ (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} ＜ 2^{\frac{2}{3}}$.
【典例2】已知$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$，求$a$的取值范围.
解题指导 将$(a+1)^{-1}$和$(3-2a)^{-1}$看作是幂函数$y=x^{-1}$的两个函数值，结合定义域分类讨论，并根据单调性列出不等式组求解.
答案 解:①当$a+1＞0$，且$3-2a＞0$时，
因为$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$，
所以$\begin{cases}a+1＞0, \\3-2a＞0, \\a+1＞3-2a,\end{cases}$ 解得$\frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2}$.
②当$a+1＜0$，且$3-2a＞0$时，
（注意勿漏掉此种情况）
因为$(a+1)^{-1}＜0,(3-2a)^{-1}＞0$，符合题意，
所以$\begin{cases}a+1＜0, \\3-2a＞0,\end{cases}$
解得$a＜-1$.
③当$a+1＜0$，且$3-2a＜0$时，
因为$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$，
所以$\begin{cases}a+1＜0, \\3-2a＜0, \\a+1＞3-2a,\end{cases}$
不等式组的解集为$∅$.
综上所述，$a$的取值范围为$(-∞,-1)\cup(\frac{2}{3},\frac{3}{2})$.
解题指导 将$(a+1)^{-1}$和$(3-2a)^{-1}$看作是幂函数$y=x^{-1}$的两个函数值，结合定义域分类讨论，并根据单调性列出不等式组求解.
答案 解:①当$a+1＞0$，且$3-2a＞0$时，
因为$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$，
所以$\begin{cases}a+1＞0, \\3-2a＞0, \\a+1＞3-2a,\end{cases}$ 解得$\frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2}$.
②当$a+1＜0$，且$3-2a＞0$时，
（注意勿漏掉此种情况）
因为$(a+1)^{-1}＜0,(3-2a)^{-1}＞0$，符合题意，
所以$\begin{cases}a+1＜0, \\3-2a＞0,\end{cases}$
解得$a＜-1$.
③当$a+1＜0$，且$3-2a＜0$时，
因为$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$，
所以$\begin{cases}a+1＜0, \\3-2a＜0, \\a+1＞3-2a,\end{cases}$
不等式组的解集为$∅$.
综上所述，$a$的取值范围为$(-∞,-1)\cup(\frac{2}{3},\frac{3}{2})$.
答案
解：幂函数$y=x^{-1}$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$，且在区间$(-∞,0)$和$(0,+∞)$上分别单调递减，据此分三类讨论：
① 当$a+1＞0$且$3-2a＞0$时，两个自变量都属于$y=x^{-1}$的正单调区间，由$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$结合单调性可得$a+1＞3-2a$，
联立不等式组：
$\begin{cases}a+1＞0 \\3-2a＞0 \\a+1＞3-2a\end{cases}$
解得$\frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2}$。
② 当$a+1＜0$且$3-2a＞0$时，$(a+1)^{-1}＜0$，$(3-2a)^{-1}＞0$，显然满足$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$，
联立不等式组：
$\begin{cases}a+1＜0 \\3-2a＞0\end{cases}$
解得$a＜-1$。
③ 当$a+1＜0$且$3-2a＜0$时，两个自变量都属于$y=x^{-1}$的负单调区间，由$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$结合单调性可得$a+1＞3-2a$，
联立不等式组：
$\begin{cases}a+1＜0 \\3-2a＜0 \\a+1＞3-2a\end{cases}$
该不等式组解集为$∅$。
综上，$a$的取值范围是$(-∞,-1)\cup(\frac{2}{3},\frac{3}{2})$。
① 当$a+1＞0$且$3-2a＞0$时，两个自变量都属于$y=x^{-1}$的正单调区间，由$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$结合单调性可得$a+1＞3-2a$，
联立不等式组：
$\begin{cases}a+1＞0 \\3-2a＞0 \\a+1＞3-2a\end{cases}$
解得$\frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2}$。
② 当$a+1＜0$且$3-2a＞0$时，$(a+1)^{-1}＜0$，$(3-2a)^{-1}＞0$，显然满足$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$，
联立不等式组：
$\begin{cases}a+1＜0 \\3-2a＞0\end{cases}$
解得$a＜-1$。
③ 当$a+1＜0$且$3-2a＜0$时，两个自变量都属于$y=x^{-1}$的负单调区间，由$(a+1)^{-1}＜(3-2a)^{-1}$结合单调性可得$a+1＞3-2a$，
联立不等式组：
$\begin{cases}a+1＜0 \\3-2a＜0 \\a+1＞3-2a\end{cases}$
该不等式组解集为$∅$。
综上，$a$的取值范围是$(-∞,-1)\cup(\frac{2}{3},\frac{3}{2})$。
【变式2】已知幂函数$f(x)=(m^2 - 3m + 3)x^{m+1}$的图象关于原点对称，若$(a+1)^m ＞ (3-2a)^m$，则实数$a$的取值范围为
$(\frac{2}{3},4)$
。答案
$(\frac{2}{3},4)$
由幂函数的定义,可知$m^2-3m+3=1$,
解得$m=1$或$m=2$.根据题意,得幂函数$f(x)$是奇函数,
所以$m=2$,所以原不等式化为$(a+1)^2＞(3-2a)^2$.整理,
得$3a^2-14a+8＜0$,解得$\frac{2}{3}＜a＜4$.
由幂函数的定义,可知$m^2-3m+3=1$,
解得$m=1$或$m=2$.根据题意,得幂函数$f(x)$是奇函数,
所以$m=2$,所以原不等式化为$(a+1)^2＞(3-2a)^2$.整理,
得$3a^2-14a+8＜0$,解得$\frac{2}{3}＜a＜4$.
1.若$f(x)=mx^a +2n -4$是幂函数，则$m+n=$（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.C
由题意,得$\begin{cases}m=1,\\2n-4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=2,\end{cases}$所以$m+n=3$.
由题意,得$\begin{cases}m=1,\\2n-4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=2,\end{cases}$所以$m+n=3$.
2.幂函数$y=x^α(α\in\mathbb{R})$的图象一定不经过（
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
A
）A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
答案
2.A
当$x＞0$时,$y=x^α＞0$,所以幂函数$y=x^α$的图象一定不经过第四象限.(幂函数的图象一定经过第一象限,一定不经过第四象限)
当$x＞0$时,$y=x^α＞0$,所以幂函数$y=x^α$的图象一定不经过第四象限.(幂函数的图象一定经过第一象限,一定不经过第四象限)
3.若$a=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$，$b=(\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}}$，$c=(-2)^3$，则$a,b,c$的大小关系为（
A.$a＜b＜c$
B.$c＜a＜b$
C.$b＜a＜c$
D.$c＜b＜a$
D
）A.$a＜b＜c$
B.$c＜a＜b$
C.$b＜a＜c$
D.$c＜b＜a$
答案
3.D
因为幂函数$y=x^{\frac{1}{2}}$在$[0,+∞)$上单调递增,值域为$[0,+∞)$,且$\frac{1}{2}＞\frac{1}{5}$,所以$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}＞(\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}}＞0$.
又$(-2)^3=-8＜0$,所以$c＜b＜a$.
因为幂函数$y=x^{\frac{1}{2}}$在$[0,+∞)$上单调递增,值域为$[0,+∞)$,且$\frac{1}{2}＞\frac{1}{5}$,所以$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}＞(\frac{1}{5})^{\frac{1}{2}}＞0$.
又$(-2)^3=-8＜0$,所以$c＜b＜a$.
