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4.(多选)已知函数$f(x)=(m^2 -8m +8)x^{m-3}$是幂函数，则下列结论中，正确的是 （
A.$m=7$
B.$f(x)$的图象关于$y$轴对称
C.$f(-1)=1$
D.若$f(2)＞1$，则$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{16}$
BCD
）A.$m=7$
B.$f(x)$的图象关于$y$轴对称
C.$f(-1)=1$
D.若$f(2)＞1$，则$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{16}$
答案
4.BCD
由$f(x)=(m^2-8m+8)x^{m-3}$是幂函数,得$m^2-8m+8=1$,即$m^2-8m+7=(m-7)(m-1)=0$,解得$m=1$或$m=7$,故A错误.
当$m=1$时,$f(x)=x^{-2}$,有$f(-x)=(-x)^{-2}=x^{-2}=f(x)$,且$f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,故$f(x)$为偶函数,即$f(x)$的图象关于$y$轴对称;
当$m=7$时,$f(x)=x^4$,有$f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)$,且$f(x)$的定义域为R,故$f(x)$为偶函数,即$f(x)$的图象关于$y$轴对称.
综上可得,$f(x)$的图象关于$y$轴对称,故B正确.
当$m=1$时,$f(x)=x^{-2}$,$f(-1)=(-1)^{-2}=1$;
当$m=7$时,$f(x)=x^4$,$f(-1)=(-1)^4=1$.故C正确.
当$m=1$时,$f(x)=x^{-2}$,$f(2)=2^{-2}=\frac{1}{4}＜1$,不符合条件;
当$m=7$时,$f(x)=x^4$,$f(2)=2^4=16＞1$,符合条件,则$f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$,故D正确.
由$f(x)=(m^2-8m+8)x^{m-3}$是幂函数,得$m^2-8m+8=1$,即$m^2-8m+7=(m-7)(m-1)=0$,解得$m=1$或$m=7$,故A错误.
当$m=1$时,$f(x)=x^{-2}$,有$f(-x)=(-x)^{-2}=x^{-2}=f(x)$,且$f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,故$f(x)$为偶函数,即$f(x)$的图象关于$y$轴对称;
当$m=7$时,$f(x)=x^4$,有$f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)$,且$f(x)$的定义域为R,故$f(x)$为偶函数,即$f(x)$的图象关于$y$轴对称.
综上可得,$f(x)$的图象关于$y$轴对称,故B正确.
当$m=1$时,$f(x)=x^{-2}$,$f(-1)=(-1)^{-2}=1$;
当$m=7$时,$f(x)=x^4$,$f(-1)=(-1)^4=1$.故C正确.
当$m=1$时,$f(x)=x^{-2}$,$f(2)=2^{-2}=\frac{1}{4}＜1$,不符合条件;
当$m=7$时,$f(x)=x^4$,$f(2)=2^4=16＞1$,符合条件,则$f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}$,故D正确.
5.已知幂函数$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$.若$f(7-a)＜f(2a-2)$,则$a$的取值范围为
$(3,7]$
.答案
5.$(3,7]$
因为$f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}(x≥0)$,(勿忽视自变量的取值范围)所以$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递增.
又$f(7-a)＜f(2a-2)$,所以$\begin{cases}2a-2≥0,\\7-a≥0,\\2a-2＞7-a,\end{cases}$解得$\begin{cases}a≥1,\\a≤7,\\a＞3,\end{cases}$
所以$3＜a≤7$.
因为$f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}(x≥0)$,(勿忽视自变量的取值范围)所以$f(x)$在$[0,+∞)$上单调递增.
又$f(7-a)＜f(2a-2)$,所以$\begin{cases}2a-2≥0,\\7-a≥0,\\2a-2＞7-a,\end{cases}$解得$\begin{cases}a≥1,\\a≤7,\\a＞3,\end{cases}$
所以$3＜a≤7$.
6.函数$y=x^{-3}$在区间$[-4,-2]$上的最小值是
$-\frac{1}{8}$
。答案
6.$-\frac{1}{8}$
因为函数$y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$在$(-∞,0)$上单调递减,
所以在区间$[-4,-2]$上,$y_{\mathrm{min}}=(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}$.
因为函数$y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$在$(-∞,0)$上单调递减,
所以在区间$[-4,-2]$上,$y_{\mathrm{min}}=(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}$.
7.已知点$(\sqrt{2},2)$在幂函数$f(x)$的图象上，点$(-2,\dfrac{1}{4})$在幂函数$g(x)$的图象上，求当$x$为何值时，有：
(1)$f(x)＞g(x)$；
(2)$f(x)=g(x)$；
(3)$f(x)＜g(x)$。
(1)$f(x)＞g(x)$；
(2)$f(x)=g(x)$；
(3)$f(x)＜g(x)$。
答案
7.解:设$f(x)=x^α$.由点$(\sqrt{2},2)$在幂函数$f(x)$的图象上,得$(\sqrt{2})^α=2$,所以$α=2$,则$f(x)=x^2$.
设$g(x)=x^β$.由点$(-2,\frac{1}{4})$在幂函数$g(x)$的图象上,得$(-2)^β=\frac{1}{4}$,所以$β=-2$,则$g(x)=x^{-2}$.
在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象,如图所示.
(1)观察图象可得,当$x＞1$或$x＜-1$时,$f(x)＞g(x)$.
(2)观察图象可得,当$x=1$或$x=-1$时,$f(x)=g(x)$.
(3)观察图象可得,当$-1＜x＜1$,且$x≠0$时,$f(x)＜g(x)$.
8.若$a=(\dfrac{4}{5})^{\frac{1}{2}},b=(\dfrac{5}{4})^{\frac{1}{5}},c=(\dfrac{3}{4})^{\frac{3}{4}}$,则$a,b,c$的大小关系为 （
A.$c＜a＜b$
B.$c＜b＜a$
C.$a＜c＜b$
D.$b＜c＜a$
A
）A.$c＜a＜b$
B.$c＜b＜a$
C.$a＜c＜b$
D.$b＜c＜a$
答案
8.A
因为$a=(\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}}=(\frac{16}{25})^{\frac{1}{2}}＜1$,$b=(\frac{5}{4})^{\frac{1}{5}}＞1$,$c=(\frac{3}{4})^{\frac{3}{4}}=(\frac{27}{64})^{\frac{1}{4}}＜1$,且$y=x^{\frac{1}{2}}$在$[0,+∞)$上单调递增,
所以$c=(\frac{27}{64})^{\frac{1}{4}}＜(\frac{16}{25})^{\frac{1}{2}}=a$.综上,$c＜a＜b$.
因为$a=(\frac{4}{5})^{\frac{1}{2}}=(\frac{16}{25})^{\frac{1}{2}}＜1$,$b=(\frac{5}{4})^{\frac{1}{5}}＞1$,$c=(\frac{3}{4})^{\frac{3}{4}}=(\frac{27}{64})^{\frac{1}{4}}＜1$,且$y=x^{\frac{1}{2}}$在$[0,+∞)$上单调递增,
所以$c=(\frac{27}{64})^{\frac{1}{4}}＜(\frac{16}{25})^{\frac{1}{2}}=a$.综上,$c＜a＜b$.
9.已知函数$f(x)=(m^2 - 3m - 3)x^{2m - 1}$是幂函数，对任意的$x_1,x_2\in(-∞,0)$且$x_1≠ x_2$，满足$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}＞0$。若$a,b\in\mathbb{R},a + b＜0$，则$f(a)+f(b)$的值（
A.恒大于0
B.恒小于0
C.等于0
D.无法判断
B
）A.恒大于0
B.恒小于0
C.等于0
D.无法判断
答案
9.B
因为函数$f(x)=(m^2-3m-3)x^{2m-1}$是幂函数,
所以$m^2-3m-3=1$,解得$m=4$或$m=-1$,
所以$f(x)=x^7$或$f(x)=x^{-3}$.
因为对任意的$x_1,x_2\in(-∞,0)$且$x_1≠x_2$,满足$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＞0$,
所以$f(x)$在$(-∞,0)$上单调递增,
(若$f(x)$在区间上单调递增,则$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＞0$或$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]＞0$;若$f(x)$在区间上单调递减,则$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＜0$或$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]＜0$)
所以$f(x)=x^7$.
因为$f(-x)=(-x)^7=-x^7=-f(x)$,
所以$f(x)$是定义在R上单调递增的奇函数.
因为$a+b＜0$,所以$a＜-b$,
所以$f(a)＜f(-b)=-f(b)$,故$f(a)+f(b)＜0$.
因为函数$f(x)=(m^2-3m-3)x^{2m-1}$是幂函数,
所以$m^2-3m-3=1$,解得$m=4$或$m=-1$,
所以$f(x)=x^7$或$f(x)=x^{-3}$.
因为对任意的$x_1,x_2\in(-∞,0)$且$x_1≠x_2$,满足$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＞0$,
所以$f(x)$在$(-∞,0)$上单调递增,
(若$f(x)$在区间上单调递增,则$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＞0$或$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]＞0$;若$f(x)$在区间上单调递减,则$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}＜0$或$(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]＜0$)
所以$f(x)=x^7$.
因为$f(-x)=(-x)^7=-x^7=-f(x)$,
所以$f(x)$是定义在R上单调递增的奇函数.
因为$a+b＜0$,所以$a＜-b$,
所以$f(a)＜f(-b)=-f(b)$,故$f(a)+f(b)＜0$.
10.已知幂函数$f(x)=(m^2 - m - 1)x^{m^2 - 2m - 1}$。
(1)求$f(x)$的解析式；
(2)若$f(x)$的图象不经过坐标原点，判断$f(x)$的奇偶性并证明；
(3)若$f(x)$的图象经过坐标原点，解不等式$f(2 - x) ＞ f(x)$。
(提示:(1)根据幂函数的系数为1列方程求解;(2)根据函数图象不经过坐标原点确定函数的解析式,进而化简$f(-x)$确定奇偶性;(3)根据函数图象经过坐标原点确定函数的解析式,进而根据$f(2 - x) ＞ f(x)$列出不等式求解)
(1)求$f(x)$的解析式；
(2)若$f(x)$的图象不经过坐标原点，判断$f(x)$的奇偶性并证明；
(3)若$f(x)$的图象经过坐标原点，解不等式$f(2 - x) ＞ f(x)$。
(提示:(1)根据幂函数的系数为1列方程求解;(2)根据函数图象不经过坐标原点确定函数的解析式,进而化简$f(-x)$确定奇偶性;(3)根据函数图象经过坐标原点确定函数的解析式,进而根据$f(2 - x) ＞ f(x)$列出不等式求解)
答案
10.解:(1)因为$f(x)$为幂函数,所以$m^2-m-1=1$,
解得$m=-1$或$m=2$,故$f(x)=x^2$或$f(x)=x^{-1}$.
(2)当$f(x)=x^2$时,$f(x)$的图象经过坐标原点,不满足要求;当$f(x)=x^{-1}$时,$f(x)$的图象不经过坐标原点,
所以$f(x)=x^{-1}$.
$f(x)$为奇函数.证明如下:
因为$f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,图象关于原点对称,(证明函数的奇偶性时,需先说明定义域关于原点对称)$f(-x)=(-x)^{-1}=-x^{-1}=-f(x)$,
所以$f(x)$为奇函数.
(3)由(2),得若$f(x)$的图象经过坐标原点,则$f(x)=x^2$.
由$f(2-x)＞f(x)$,得$(2-x)^2＞x^2$,解得$x＜1$,所以原不等式的解集为$(-∞,1)$.
解得$m=-1$或$m=2$,故$f(x)=x^2$或$f(x)=x^{-1}$.
(2)当$f(x)=x^2$时,$f(x)$的图象经过坐标原点,不满足要求;当$f(x)=x^{-1}$时,$f(x)$的图象不经过坐标原点,
所以$f(x)=x^{-1}$.
$f(x)$为奇函数.证明如下:
因为$f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,图象关于原点对称,(证明函数的奇偶性时,需先说明定义域关于原点对称)$f(-x)=(-x)^{-1}=-x^{-1}=-f(x)$,
所以$f(x)$为奇函数.
(3)由(2),得若$f(x)$的图象经过坐标原点,则$f(x)=x^2$.
由$f(2-x)＞f(x)$,得$(2-x)^2＞x^2$,解得$x＜1$,所以原不等式的解集为$(-∞,1)$.
