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【典例1】判断下列函数的奇偶性：
(1)(一题多解)$f(x)=x^3+x$；
(2)$f(x)=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2-1}$；
(3)$f(x)=\frac{2x^2+2x}{x+1}$；
(4)$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2+1, & x＞0, \\ -\frac{1}{2}x^2-1, & x＜0. \end{cases}$
解题指导 第1步:求函数定义域,看是否关于原点对称.
第2步:根据$f(-x)$和$f(x)$的关系得结论.
答案 解:(1)(一题多解)方法1(定义法):$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$,关于原点对称.因为$∀ x\in\mathbb{R}$,都有$-x\in\mathbb{R}$,且$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$,所以$f(x)$是奇函数.
方法2(性质法):设$g(x)=x^3,h(x)=x$.因为$g(x)=x^3$和$h(x)=x$都是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数,故$f(x)=g(x)+h(x)=x^3+x$也是奇函数.
(2)由题意,得$\begin{cases}1-x^2≥0, \\ x^2-1≥0,\end{cases}$解得$x=\pm1$,所以$f(x)$的定义域为$\{-1,1\}$,关于原点对称,此时$f(x)=0$,所以$f(x)$既是奇函数又是偶函数.
(3)由题意,得$x+1≠0$,所以$x≠-1$,所以$f(x)$的定义域为$(-∞,-1)\cup(-1,+∞)$,不关于原点对称,(判断奇偶性时,勿忽略定义域关于原点对称)所以$f(x)$是非奇非偶函数.
(4)$f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,关于原点对称.
当$x＞0$时,$-x＜0,f(-x)=-\frac{1}{2}(-x)^2-1=-(\frac{1}{2}x^2+1)=-f(x)$；
当$x＜0$时,$-x＞0,f(-x)=\frac{1}{2}(-x)^2+1=\frac{1}{2}x^2+1=-(-\frac{1}{2}x^2-1)=-f(x)$.
综上,$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2+1, & x＞0, \\ -\frac{1}{2}x^2-1, & x＜0 \end{cases}$ 是奇函数.
(1)(一题多解)$f(x)=x^3+x$；
(2)$f(x)=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2-1}$；
(3)$f(x)=\frac{2x^2+2x}{x+1}$；
(4)$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2+1, & x＞0, \\ -\frac{1}{2}x^2-1, & x＜0. \end{cases}$
解题指导 第1步:求函数定义域,看是否关于原点对称.
第2步:根据$f(-x)$和$f(x)$的关系得结论.
答案 解:(1)(一题多解)方法1(定义法):$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$,关于原点对称.因为$∀ x\in\mathbb{R}$,都有$-x\in\mathbb{R}$,且$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$,所以$f(x)$是奇函数.
方法2(性质法):设$g(x)=x^3,h(x)=x$.因为$g(x)=x^3$和$h(x)=x$都是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数,故$f(x)=g(x)+h(x)=x^3+x$也是奇函数.
(2)由题意,得$\begin{cases}1-x^2≥0, \\ x^2-1≥0,\end{cases}$解得$x=\pm1$,所以$f(x)$的定义域为$\{-1,1\}$,关于原点对称,此时$f(x)=0$,所以$f(x)$既是奇函数又是偶函数.
(3)由题意,得$x+1≠0$,所以$x≠-1$,所以$f(x)$的定义域为$(-∞,-1)\cup(-1,+∞)$,不关于原点对称,(判断奇偶性时,勿忽略定义域关于原点对称)所以$f(x)$是非奇非偶函数.
(4)$f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,关于原点对称.
当$x＞0$时,$-x＜0,f(-x)=-\frac{1}{2}(-x)^2-1=-(\frac{1}{2}x^2+1)=-f(x)$；
当$x＜0$时,$-x＞0,f(-x)=\frac{1}{2}(-x)^2+1=\frac{1}{2}x^2+1=-(-\frac{1}{2}x^2-1)=-f(x)$.
综上,$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2+1, & x＞0, \\ -\frac{1}{2}x^2-1, & x＜0 \end{cases}$ 是奇函数.
答案
解：
(1) 方法1（定义法）：
$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，关于原点对称。
对任意$x\in\mathbb{R}$，都有$-x\in\mathbb{R}$，且
$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$，
所以$f(x)$是奇函数。
方法2（性质法）：
设$g(x)=x^3$，$h(x)=x$。
因为$g(x)=x^3$和$h(x)=x$都是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，
故$f(x)=g(x)+h(x)=x^3+x$也是奇函数。
(2) 由题意得$\begin{cases}1-x^2≥0 \\ x^2-1≥0\end{cases}$，
解得$x=\pm1$，
所以$f(x)$的定义域为$\{-1,1\}$，关于原点对称，
此时$f(x)=0$，满足$f(-x)=f(x)$且$f(-x)=-f(x)$，
所以$f(x)$既是奇函数又是偶函数。
(3) 由题意得$x+1≠0$，即$x≠-1$，
所以$f(x)$的定义域为$(-∞,-1)\cup(-1,+∞)$，不关于原点对称，
所以$f(x)$是非奇非偶函数。
(4) $f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$，关于原点对称。
当$x＞0$时，$-x＜0$，$f(-x)=-\frac{1}{2}(-x)^2-1=-(\frac{1}{2}x^2+1)=-f(x)$；
当$x＜0$时，$-x＞0$，$f(-x)=\frac{1}{2}(-x)^2+1=\frac{1}{2}x^2+1=-(-\frac{1}{2}x^2-1)=-f(x)$。
综上，对定义域内任意$x$都有$f(-x)=-f(x)$，
所以$f(x)$是奇函数。
(1) 方法1（定义法）：
$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，关于原点对称。
对任意$x\in\mathbb{R}$，都有$-x\in\mathbb{R}$，且
$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)$，
所以$f(x)$是奇函数。
方法2（性质法）：
设$g(x)=x^3$，$h(x)=x$。
因为$g(x)=x^3$和$h(x)=x$都是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，
故$f(x)=g(x)+h(x)=x^3+x$也是奇函数。
(2) 由题意得$\begin{cases}1-x^2≥0 \\ x^2-1≥0\end{cases}$，
解得$x=\pm1$，
所以$f(x)$的定义域为$\{-1,1\}$，关于原点对称，
此时$f(x)=0$，满足$f(-x)=f(x)$且$f(-x)=-f(x)$，
所以$f(x)$既是奇函数又是偶函数。
(3) 由题意得$x+1≠0$，即$x≠-1$，
所以$f(x)$的定义域为$(-∞,-1)\cup(-1,+∞)$，不关于原点对称，
所以$f(x)$是非奇非偶函数。
(4) $f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$，关于原点对称。
当$x＞0$时，$-x＜0$，$f(-x)=-\frac{1}{2}(-x)^2-1=-(\frac{1}{2}x^2+1)=-f(x)$；
当$x＜0$时，$-x＞0$，$f(-x)=\frac{1}{2}(-x)^2+1=\frac{1}{2}x^2+1=-(-\frac{1}{2}x^2-1)=-f(x)$。
综上，对定义域内任意$x$都有$f(-x)=-f(x)$，
所以$f(x)$是奇函数。
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)=\frac{1}{x}-2x$；
(2)$f(x)=|x-2|+|x+2|$；
(1)$f(x)=\frac{1}{x}-2x$；
(2)$f(x)=|x-2|+|x+2|$；
答案
(1)依题意,得$x ≠ 0$,所以$f(x)$的定义域为$(-∞,0)\cup(0,+∞)$,关于原点对称.因为$∀ x \in (-∞,0)\cup(0,+∞)$,都有$-x \in (-∞,0)\cup(0,+∞)$,且$f(-x)=\frac{1}{-x}-2 · (-x)=-\frac{1}{x}+2x=-(\frac{1}{x}-2x)=-f(x)$,所以函数$f(x)$为奇函数.
(2)函数$f(x)=|x-2|+|x+2|$的定义域为$\mathbb{R}$,关于原点对称.因为$∀ x \in \mathbb{R}$,都有$-x \in \mathbb{R}$,且$f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x)$,所以函数$f(x)=|x-2|+|x+2|$为偶函数.
(2)函数$f(x)=|x-2|+|x+2|$的定义域为$\mathbb{R}$,关于原点对称.因为$∀ x \in \mathbb{R}$,都有$-x \in \mathbb{R}$,且$f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x)$,所以函数$f(x)=|x-2|+|x+2|$为偶函数.
