三、解答题
11. 如图，点C为AD的中点，过点C的线段BE⊥AD，且AB=DE. 求证：AB//ED.

证明：
∵ 点C为AD的中点，
∴ AC = DC。
∵ BE⊥AD，
∴ ∠ACB = ∠DCE = 90°，
∴ △ACB和△DCE都是直角三角形。
在Rt△ACB和Rt△DCE中，
$\{\begin{array}{l}AB = DE \\AC = DC\end{array} $
∴ Rt△ACB ≌ Rt△DCE（HL）。
∴ ∠A = ∠D，
∴ AB // ED（内错角相等，两直线平行）。

【分析】
要证明AB//ED，可根据平行线的判定规则，先证明内错角∠A=∠D。结合已知条件推导：点C是AD中点，可得AC=DC；BE⊥AD可知△ACB和△DCE均为直角三角形，又已知AB=DE，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等得到∠A=∠D，即可推出两直线平行。
【解析】
证明：
∵ 点C为AD的中点，
∴ AC = DC。
∵ BE⊥AD，
∴ ∠ACB = ∠DCE = 90°，
∴ △ACB和△DCE都是直角三角形。
在Rt△ACB和Rt△DCE中，
$\begin{cases}AB = DE \\AC = DC\end{cases}$
∴ Rt△ACB ≌ Rt△DCE（HL）。
∴ ∠A = ∠D，
∴ AB//ED（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
AB//ED，证明过程如上。
【知识点】
HL全等判定、全等三角形性质、平行线判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查全等三角形和平行线相关的基础定理，解题时可从结论倒推所需条件，结合已知信息找到全等关系即可解决，是几何模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.8

12. 已知：一次函数$y=kx+b$的图象经过$M(0,2)$，$N(1,3)$两点.
(1)求$k$，$b$的值；
(2)若一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴的交点为$A(a,0)$，求$a$的值.

12. (1) $k=1$ , $b=2$
(2) $a=-2$

【分析】
(1) 已知一次函数图象经过两个已知坐标的点，可使用待定系数法求解：将两点坐标分别代入一次函数解析式$y=kx+b$，就能得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k$、$b$的值。
(2) 一次函数与$x$轴交点的纵坐标为0，因此将$x=a$、$y=0$代入已经求出的一次函数解析式，解关于$a$的一元一次方程就能得到$a$的值。
【解析】
(1) 将$M(0,2)$、$N(1,3)$分别代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}0× k + b = 2 \\1× k + b = 3\end{cases}$
由第一个方程直接得$b=2$，将$b=2$代入第二个方程，得$k+2=3$，解得$k=1$。
(2) 由(1)可知一次函数的解析式为$y=x+2$，
因为点$A(a,0)$在该函数图象上，将$x=a$、$y=0$代入解析式得：
$0=a+2$
解得$a=-2$。
【答案】
(1) $k=1$，$b=2$；(2) $a=-2$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题属于一次函数基础题，核心考查函数图象上的点满足对应函数解析式的性质，待定系数法是求解函数解析式的常用方法，掌握一次函数基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

13. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M，N。
(1)求证：∠ADB=∠CDB；
(2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形。

证明：
(1) ∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠CBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB。
(2) ∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ ∠PMD = ∠PND = 90°。
又∵ ∠ADC = 90°，
∴ 四边形MPND的三个内角均为直角，
∴ 四边形MPND是矩形。
由(1)得∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC，
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ 矩形MPND的一组邻边相等，
∴ 四边形MPND是正方形。

【分析】
(1) 要证明∠ADB=∠CDB，可通过证明两角所在的△ABD和△CBD全等实现。已知BD平分∠ABC可得∠ABD=∠CBD，结合已知AB=BC、公共边BD，满足SAS全等判定条件，证得全等后对应角相等即可得到结论。
(2) 要证明四边形MPND是正方形，可先证其为矩形，再证明一组邻边相等。首先由PM⊥AD、PN⊥CD、∠ADC=90°，可得四边形有三个内角为直角，可判定为矩形；再结合(1)的结论得BD平分∠ADC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PM=PN，邻边相等的矩形即为正方形，即可得证。
【解析】
(1)
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠CBD \\BD = BD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB。
(2)
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ ∠PMD = ∠PND = 90°。
又
∵ ∠ADC = 90°，
∴ 四边形MPND的三个内角均为直角，
∴ 四边形MPND是矩形。
由(1)得∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC，
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ 矩形MPND的一组邻边相等，
∴ 四边形MPND是正方形。
【答案】
(1) ∠ADB=∠CDB，得证；
(2) 四边形MPND是正方形，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，考察了三角形全等、角平分线性质和特殊四边形的判定，解题时可利用第一问的结论推导第二问，牢记各判定定理的使用条件即可顺利解答。
【难度系数】
0.7