三、解答题
11. 建立适当的平面直角坐标系，并在右图中描出坐标是$A(2,3)$，$B(-2, 3)$，$C(3, -2)$，$D(5, 1)$，$E(0, -4)$，$F(-3, 0)$的各点.

解：
设每个小方格的边长为1个单位长度，选取网格内合适的格点作为坐标原点O，以水平向右的方向为x轴正方向，竖直向上的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系。
按照坐标依次描点：
1. 在x轴上取坐标为2的点作x轴的垂线，在y轴上取坐标为3的点作y轴的垂线，两垂线的交点即为点A(2,3)；
2. 同理，横坐标为-2、纵坐标为3对应的两垂线交点为点B(-2,3)；
3. 横坐标为3、纵坐标为-2对应的两垂线交点为点C(3,-2)；
4. 横坐标为5、纵坐标为1对应的两垂线交点为点D(5,1)；
5. 点E(0,-4)在y轴上，在原点下方4个单位长度的位置描点，标注E；
6. 点F(-3,0)在x轴上，在原点左侧3个单位长度的位置描点，标注F。

【分析】
要解决这道题，首先要明确平面直角坐标系的三要素：原点、正方向、单位长度。第一步我们可以把每个小方格的边长设为1个单位长度，能让坐标数值和网格长度直接对应，更方便计算；选择原点时要注意，给出的点横、纵坐标均有正有负（横坐标最小为-3、最大为5，纵坐标最小为-4、最大为3），所以要选网格中间偏左偏上的格点作为原点，保证正负坐标都有足够的绘制空间；接下来回忆描点方法：对于点$(a,b)$，过x轴上表示$a$的点作x轴的垂线，过y轴上表示$b$的点作y轴的垂线，两条垂线的交点就是目标点，坐标轴上的点可直接定位：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，按这个方法依次描出所有点即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1个单位长度，选取网格内合适的格点作为坐标原点O，以水平向右的方向为x轴正方向，竖直向上的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系。
按照坐标依次描点：
1. 在x轴上取坐标为2的点作x轴的垂线，在y轴上取坐标为3的点作y轴的垂线，两垂线的交点即为点$A(2,3)$；
2. 同理，横坐标为-2、纵坐标为3对应的两垂线交点为点$B(-2,3)$；
3. 横坐标为3、纵坐标为-2对应的两垂线交点为点$C(3,-2)$；
4. 横坐标为5、纵坐标为1对应的两垂线交点为点$D(5,1)$；
5. 点$E(0,-4)$在y轴上，在原点下方4个单位长度的位置描点，标注E；
6. 点$F(-3,0)$在x轴上，在原点左侧3个单位长度的位置描点，标注F。
【答案】
按上述步骤完成平面直角坐标系建立和各点的描点标注即可。
【知识点】
平面直角坐标系建立，点的坐标，描点法
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，重点考查坐标系三要素的确定和根据坐标描点的基本技能，是后续学习函数相关知识的重要基础。
【难度系数】
0.9

12. 已知在平面直角坐标系中的两点$A(4,0)$，$B(0,3)$，若有一个直角三角形与$\mathrm{Rt}△ ABO$全等，且它们有一条公共边，请画出符合要求的图形，并直接写出这个直角三角形未知顶点的坐标.(不必写出计算过程)

12. 如图所示，符合要求的点有：$C_1(4,3),C_2(-4,0),C_3(0,-3),C_4(2.88,3.84)$

【分析】
解题时需先分情况讨论公共边的类型，公共边共3种可能：OB边、OA边、AB边，再结合全等直角三角形对应边相等、对应角为直角的性质，逐一推导未知顶点的坐标：
1. 当公共边为OB时，可将原三角形沿y轴对称得到新三角形，对应顶点在x轴负半轴；
2. 当公共边为OA时，可将原三角形沿x轴对称得到新三角形，对应顶点在y轴负半轴；
3. 当公共边为AB时，有两种情况：一是构造矩形得到AB上方的顶点，二是将原三角形沿AB翻折得到AB另一侧的顶点。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ABO$中，$∠ AOB=90°$，$OA=4$，$OB=3$，分三类讨论：
1. 公共边为OB：
将$\mathrm{Rt}△ABO$沿y轴翻折，x轴负半轴上取点$C_2$使$OC_2=OA=4$，得$C_2(-4,0)$，满足$△ C_2OB≌△ AOB$。
2. 公共边为OA：
将$\mathrm{Rt}△ABO$沿x轴翻折，y轴负半轴上取点$C_3$使$OC_3=OB=3$，得$C_3(0,-3)$，满足$△ AOC_3≌△ AOB$。
3. 公共边为AB：
① 以OA、OB为邻边构造矩形$OAC_1B$，则$C_1$横坐标与A相同，纵坐标与B相同，得$C_1(4,3)$，满足$△ BAC_1≌△ ABO$；
② 将$\mathrm{Rt}△ABO$沿AB翻折，点O的对应点为$C_4$，计算得$C_4(2.88,3.84)$，满足$△ ABC_4≌△ ABO$。
【答案】
符合要求的点有：$C_1(4,3),C_2(-4,0),C_3(0,-3),C_4(2.88,3.84)$
【知识点】
全等三角形的性质；坐标与图形性质；翻折变换
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时要注意不重不漏地枚举所有公共边的可能，公共边为斜边AB时存在两种符合条件的三角形，容易漏解，结合对称、翻折的性质画图能帮助快速找到顶点位置。
【难度系数】
0.6

13. 在平面直角坐标系中，点$A(1,2a+3)$在第一象限.
(1)若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值；
(2)若点A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围.

13. (1) $a=-1$ (2) $-\frac{3}{2}＜a＜-1$

【分析】
首先明确第一象限内点的横坐标、纵坐标均为正数；其次，点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第一象限坐标为正的特征可直接去掉绝对值符号。(1)根据距离相等的条件列一元一次方程求解即可；(2)根据距离的大小关系列不等式，同时结合点在第一象限纵坐标大于0的隐含条件，联立不等式组求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵点$A(1,2a+3)$在第一象限，
∴横坐标$1＞0$，纵坐标$2a+3＞0$。
(1)
∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
点到x轴的距离为纵坐标的长度：$2a+3$，
点到y轴的距离为横坐标的长度：$1$，
∴$2a+3=1$，
移项得$2a=1-3=-2$，解得$a=-1$，
此时$2a+3=1＞0$，符合第一象限点的特征。
(2)
∵点A到x轴的距离小于到y轴的距离，
∴可列不等式组：$\begin{cases}2a+3 ＜ 1 \\ 2a+3 ＞ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$2a ＜ 1-3$，即$2a ＜ -2$，得$a ＜ -1$；
解第二个不等式：$2a ＞ -3$，得$a ＞ -\frac{3}{2}$；
综上，a的取值范围为$-\frac{3}{2} ＜ a ＜ -1$。
【答案】
(1) $a=-1$ (2) $-\frac{3}{2}＜a＜-1$
【知识点】
点的坐标特征；点到坐标轴的距离；解一元一次不等式组
【点评】
本题考查平面直角坐标系内点的基本性质，解题核心是准确将点到坐标轴的距离转化为坐标的对应关系，注意不要忽略第一象限内点的纵坐标为正的隐含限制条件，避免求解取值范围时出现漏解。
【难度系数】
0.7

14. 王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示. 可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴. 只知道游乐园D的坐标为(2，－2)，你能帮她写出其他各景点的坐标吗？

14. $A(0,4),B(-3,2),C(-2,-1),E(3,3)$

【分析】
要确定其他景点的坐标，首先需要根据已知的游乐园D的坐标(2,-2)确定平面直角坐标系的原点、x轴和y轴的方向以及单位长度。点的坐标中横坐标代表水平方向位置（向右为正方向），纵坐标代表竖直方向位置（向上为正方向），已知D(2,-2)说明D在原点右侧2个单位、下方2个单位的位置，由此可推出原点位置，明确坐标系后再分别读取各景点的横、纵坐标即可。
【解析】
第一步：确定平面直角坐标系
已知游乐园D的坐标为(2,-2)，规定水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小方格的边长为1个单位长度。由D的坐标可推出原点(0,0)为点F所在位置（从D点向左平移2个单位、向上平移2个单位的位置）。
第二步：计算各景点坐标
音乐台A：位于y轴上，横坐标为0，在原点上方4个单位，纵坐标为4，即$A(0,4)$；
湖心亭B：在原点左侧3个单位，横坐标为-3，在原点上方2个单位，纵坐标为2，即$B(-3,2)$；
望春亭C：在原点左侧2个单位，横坐标为-2，在原点下方1个单位，纵坐标为-1，即$C(-2,-1)$；
牡丹园E：在原点右侧3个单位，横坐标为3，在原点上方3个单位，纵坐标为3，即$E(3,3)$。
【答案】
$A(0,4),B(-3,2),C(-2,-1),E(3,3)$
【知识点】
平面直角坐标系，点的坐标，坐标确定位置
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题目，解题核心是先通过已知点的坐标反推坐标系的三要素（原点、正方向、单位长度），再根据坐标系读取其余点的坐标，掌握点的坐标和位置的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8