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8. a个人b天可做c个零件（设每人速度一样），则b个人用同样速度做a个零件所需天数是（
A.$\frac{a^2}{c}$
B.$\frac{c}{a^2}$
C.$\frac{c^2}{a}$
D.$\frac{a}{c^2}$
A
）A.$\frac{a^2}{c}$
B.$\frac{c}{a^2}$
C.$\frac{c^2}{a}$
D.$\frac{a}{c^2}$
答案
8.A
解析
【分析】
这是一道结合工程问题的分式应用题，解题思路可分为三步：第一步先根据已知条件求出单人每天的工作效率，第二步计算b个人每天的总工作效率，第三步利用“工作时间=工作总量÷总工作效率”的关系列式计算出最终天数。推导过程中要注意理清工作总量、人数、工作时间三者的对应关系，避免分子分母颠倒出错。
【解析】
1. 求单人每天的工作效率：
已知a个人b天做c个零件，总工作量为c，总人天（人数×天数）为$a· b$，因此1个人1天能做的零件数为$\frac{c}{ab}$。
2. 求b个人每天的总工作效率：
b个人每天完成的零件数 = 人数 × 单人每天效率，代入得：
$b×\frac{c}{ab}=\frac{c}{a}$
3. 求做a个零件需要的天数：
根据工作时间=工作总量÷工作效率，总工作量为a，代入得：
$a÷\frac{c}{a}=a×\frac{a}{c}=\frac{a^2}{c}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题基本公式、分式的乘除运算
【点评】
本题是分式应用的基础题型，核心是理清工程类问题的数量关系，先求出单人工作效率是解题的突破口，计算时要注意分式运算的规则，避免约分或者乘除转换时出错。
【难度系数】
0.7
这是一道结合工程问题的分式应用题，解题思路可分为三步：第一步先根据已知条件求出单人每天的工作效率，第二步计算b个人每天的总工作效率，第三步利用“工作时间=工作总量÷总工作效率”的关系列式计算出最终天数。推导过程中要注意理清工作总量、人数、工作时间三者的对应关系，避免分子分母颠倒出错。
【解析】
1. 求单人每天的工作效率：
已知a个人b天做c个零件，总工作量为c，总人天（人数×天数）为$a· b$，因此1个人1天能做的零件数为$\frac{c}{ab}$。
2. 求b个人每天的总工作效率：
b个人每天完成的零件数 = 人数 × 单人每天效率，代入得：
$b×\frac{c}{ab}=\frac{c}{a}$
3. 求做a个零件需要的天数：
根据工作时间=工作总量÷工作效率，总工作量为a，代入得：
$a÷\frac{c}{a}=a×\frac{a}{c}=\frac{a^2}{c}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题基本公式、分式的乘除运算
【点评】
本题是分式应用的基础题型，核心是理清工程类问题的数量关系，先求出单人工作效率是解题的突破口，计算时要注意分式运算的规则，避免约分或者乘除转换时出错。
【难度系数】
0.7
9. 若$(\dfrac{4}{a^2 - 4} + \dfrac{1}{2 - a}) · w = 1(a ≠ \pm 2)$，则$w=$
-a-2
.答案
9.-a-2
解析
【分析】
要求w的值，可根据“因数=积÷另一个因数”，得出w=1除以括号内的分式结果，因此解题步骤为：第一步先对括号内的分式进行化简，先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再将第二个分母2-a变形为-(a-2)，把异分母分式通分转化为同分母分式计算，约分得到括号内的最简结果后，再求其倒数即可得到w的值。
【解析】
先化简括号内的分式：
由平方差公式得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，且$2-a=-(a-2)$，代入得：
$\begin{aligned}\frac{4}{a^2-4}+\frac{1}{2-a}&=\frac{4}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}\\&=\frac{4}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{4-(a+2)}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{2-a}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{-(a-2)}{(a+2)(a-2)}\end{aligned}$
已知$a≠\pm2$，因此$a-2≠0$，约分后得：$\frac{4}{a^2-4}+\frac{1}{2-a}=-\frac{1}{a+2}$
结合原式$(\frac{4}{a^2 - 4} + \frac{1}{2 - a}) · w = 1$，可得：
$w=1÷(-\frac{1}{a+2})=-(a+2)=-a-2$
【答案】
$-a-2$
【知识点】
平方差公式因式分解；分式的加减运算；分式的除法运算
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是掌握异分母分式通分的方法，注意互为相反数的分母的变形技巧，同时要留意分式有意义的条件，确保约分时符合要求。
【难度系数】
0.6
要求w的值，可根据“因数=积÷另一个因数”，得出w=1除以括号内的分式结果，因此解题步骤为：第一步先对括号内的分式进行化简，先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再将第二个分母2-a变形为-(a-2)，把异分母分式通分转化为同分母分式计算，约分得到括号内的最简结果后，再求其倒数即可得到w的值。
【解析】
先化简括号内的分式：
由平方差公式得$a^2-4=(a+2)(a-2)$，且$2-a=-(a-2)$，代入得：
$\begin{aligned}\frac{4}{a^2-4}+\frac{1}{2-a}&=\frac{4}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}\\&=\frac{4}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{4-(a+2)}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{2-a}{(a+2)(a-2)}\\&=\frac{-(a-2)}{(a+2)(a-2)}\end{aligned}$
已知$a≠\pm2$，因此$a-2≠0$，约分后得：$\frac{4}{a^2-4}+\frac{1}{2-a}=-\frac{1}{a+2}$
结合原式$(\frac{4}{a^2 - 4} + \frac{1}{2 - a}) · w = 1$，可得：
$w=1÷(-\frac{1}{a+2})=-(a+2)=-a-2$
【答案】
$-a-2$
【知识点】
平方差公式因式分解；分式的加减运算；分式的除法运算
【点评】
本题是分式运算的常规题型，解题核心是掌握异分母分式通分的方法，注意互为相反数的分母的变形技巧，同时要留意分式有意义的条件，确保约分时符合要求。
【难度系数】
0.6
10. 若$x+\frac{1}{x}=3$，求分式$\frac{x}{x^2+x+1}$的值。
答案
解：由题意知x≠0.
∵$x+\frac{1}{x}=3$，
∴$x^2+1=3x$，
∴$\frac{x}{x^2+x+1} = \frac{x}{3x+x} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$.
∵$x+\frac{1}{x}=3$，
∴$x^2+1=3x$，
∴$\frac{x}{x^2+x+1} = \frac{x}{3x+x} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$.
解析
【分析】
本题为分式求值题，首先明确已知条件$x+\frac{1}{x}=3$隐含$x≠0$（否则$\frac{1}{x}$无意义）；观察所求分式的分母$x^2+x+1$，其中$x^2+1$可通过对已知条件变形得到，无需单独求解x的值，用整体代入的方法就能简化计算：先将已知等式两边同乘x得到$x^2+1=3x$，再将其代入所求分式的分母，化简后即可得到结果。
【解析】
解：由题意得$x≠0$，否则$\frac{1}{x}$无意义。
∵$x+\frac{1}{x}=3$，
等式两边同时乘x，得$x^2+1=3x$，
将$x^2+1=3x$代入$\frac{x}{x^2+x+1}$中可得：
$\frac{x}{x^2+x+1} = \frac{x}{(x^2+1)+x} = \frac{x}{3x+x} = \frac{x}{4x}$，
∵$x≠0$，分子分母同时约去x，得$\frac{x}{4x}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.分式的基本性质
3.整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常见题型，核心是运用整体代入的思想，避开求解x的具体值，通过对已知条件变形替换所求式中的对应部分，减少计算量，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
本题为分式求值题，首先明确已知条件$x+\frac{1}{x}=3$隐含$x≠0$（否则$\frac{1}{x}$无意义）；观察所求分式的分母$x^2+x+1$，其中$x^2+1$可通过对已知条件变形得到，无需单独求解x的值，用整体代入的方法就能简化计算：先将已知等式两边同乘x得到$x^2+1=3x$，再将其代入所求分式的分母，化简后即可得到结果。
【解析】
解：由题意得$x≠0$，否则$\frac{1}{x}$无意义。
∵$x+\frac{1}{x}=3$，
等式两边同时乘x，得$x^2+1=3x$，
将$x^2+1=3x$代入$\frac{x}{x^2+x+1}$中可得：
$\frac{x}{x^2+x+1} = \frac{x}{(x^2+1)+x} = \frac{x}{3x+x} = \frac{x}{4x}$，
∵$x≠0$，分子分母同时约去x，得$\frac{x}{4x}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.分式的基本性质
3.整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常见题型，核心是运用整体代入的思想，避开求解x的具体值，通过对已知条件变形替换所求式中的对应部分，减少计算量，简化运算过程。
【难度系数】
0.7
阅读下面的解题过程:
已知$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4+1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$知$x≠0$，
所以$\frac{x^2+1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$，
所以$\frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$.
故$\frac{x^2}{x^4+1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目:
已知：$\frac{x}{x^2 -3x +1}=\frac{1}{$
$}$，求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.
已知$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4+1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$知$x≠0$，
所以$\frac{x^2+1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$，
所以$\frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$.
故$\frac{x^2}{x^4+1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目:
已知：$\frac{x}{x^2 -3x +1}=\frac{1}{$
$}$，求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.答案
由$\frac{x}{x^2-3x+1} = \frac{1}{5}$知x≠0，
∴$\frac{x^2-3x+1}{x}=5$，
∴$x+\frac{1}{x}-3=5$，
∴$x+\frac{1}{x}=8$，
∴$\frac{x^4+x^2+1}{x^2} = x^2+\frac{1}{x^2}+1=(x+\frac{1}{x})^2 -1=63$，
∴$\frac{x^2}{x^4+x^2+1} = \frac{1}{63}$.
∴$\frac{x^2-3x+1}{x}=5$，
∴$x+\frac{1}{x}-3=5$，
∴$x+\frac{1}{x}=8$，
∴$\frac{x^4+x^2+1}{x^2} = x^2+\frac{1}{x^2}+1=(x+\frac{1}{x})^2 -1=63$，
∴$\frac{x^2}{x^4+x^2+1} = \frac{1}{63}$.
解析
【分析】
观察已知等式和待求分式的结构，直接求解x运算复杂，可采用题干给出的“倒数法”解题：首先由已知等式可判断x≠0，对已知等式取倒数后化简，可求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求分式取倒数，拆分后结合完全平方公式转化为含$x+\frac{1}{x}$的形式，代入计算后再取倒数即可得到结果。
【解析】
由$\frac{x}{x^2-3x+1} = \frac{1}{5}$可知$x ≠ 0$，
∴ 对等式两边取倒数得$\frac{x^2-3x+1}{x}=5$，
拆分分式得$x+\frac{1}{x}-3=5$，
整理得$x+\frac{1}{x}=8$。
对待求分式$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$取倒数，得$\frac{x^4+x^2+1}{x^2}$，
拆分得$x^2+\frac{1}{x^2}+1$，
由完全平方公式变形得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入上式得：
$(x+\frac{1}{x})^2-2+1=(x+\frac{1}{x})^2-1$，
将$x+\frac{1}{x}=8$代入得$8^2-1=63$，
即$\frac{x^4+x^2+1}{x^2}=63$，
∴ $\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{63}$。
【答案】
$\frac{1}{63}$
【知识点】
分式的基本性质、完全平方公式、倒数法求值
【点评】
本题重点考查倒数法在分式求值中的应用，避免了直接求解未知数的繁琐运算，解题核心是熟练掌握分式拆分技巧和完全平方公式的变形，同时要注意先判断x≠0，保证取倒数的操作成立。
【难度系数】
0.6
观察已知等式和待求分式的结构，直接求解x运算复杂，可采用题干给出的“倒数法”解题：首先由已知等式可判断x≠0，对已知等式取倒数后化简，可求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求分式取倒数，拆分后结合完全平方公式转化为含$x+\frac{1}{x}$的形式，代入计算后再取倒数即可得到结果。
【解析】
由$\frac{x}{x^2-3x+1} = \frac{1}{5}$可知$x ≠ 0$，
∴ 对等式两边取倒数得$\frac{x^2-3x+1}{x}=5$，
拆分分式得$x+\frac{1}{x}-3=5$，
整理得$x+\frac{1}{x}=8$。
对待求分式$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$取倒数，得$\frac{x^4+x^2+1}{x^2}$，
拆分得$x^2+\frac{1}{x^2}+1$，
由完全平方公式变形得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入上式得：
$(x+\frac{1}{x})^2-2+1=(x+\frac{1}{x})^2-1$，
将$x+\frac{1}{x}=8$代入得$8^2-1=63$，
即$\frac{x^4+x^2+1}{x^2}=63$，
∴ $\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{1}{63}$。
【答案】
$\frac{1}{63}$
【知识点】
分式的基本性质、完全平方公式、倒数法求值
【点评】
本题重点考查倒数法在分式求值中的应用，避免了直接求解未知数的繁琐运算，解题核心是熟练掌握分式拆分技巧和完全平方公式的变形，同时要注意先判断x≠0，保证取倒数的操作成立。
【难度系数】
0.6
