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11 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - m ＜ 0, \\ 5 - 2x ≤ 1\end{cases}$恰有3个整数解，则$m$的取值范围是 ______ 。
答案
11.$4＜m≤5$
解析
【分析】
解决这类含参数的不等式组整数解问题，思路分为三步：第一步先分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步合并两个解集得到不等式组的公共解集；第三步结合“恰有3个整数解”的条件，先确定公共解集中的整数具体是哪几个，再倒推参数m的取值范围，最后要单独验证端点值是否符合要求，避免漏解或多解。
【解析】
解：分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$x - m ＜ 0$，移项可得：$x ＜ m$；
2. 解不等式$5 - 2x ≤ 1$，移项得$-2x ≤ 1-5$，即$-2x ≤ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ 2$。
因此原不等式组的解集为$2 ≤ x ＜ m$。
已知不等式组恰有3个整数解，可推出这3个整数解为2、3、4，由此可得：
若$m ≤ 4$，则整数解不足3个；若$m ＞ 5$，则整数解会包含5，共4个，都不符合要求，因此$m$的取值范围是$4 ＜ m ≤ 5$。
【答案】
$4＜m≤5$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组的解集，整数解求参数
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，重点考查对不等式组解集的理解和整数解的应用，解题核心是准确确定整数解的范围，尤其要注意端点值的取舍，避免忽略边界情况出错。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的不等式组整数解问题，思路分为三步：第一步先分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步合并两个解集得到不等式组的公共解集；第三步结合“恰有3个整数解”的条件，先确定公共解集中的整数具体是哪几个，再倒推参数m的取值范围，最后要单独验证端点值是否符合要求，避免漏解或多解。
【解析】
解：分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$x - m ＜ 0$，移项可得：$x ＜ m$；
2. 解不等式$5 - 2x ≤ 1$，移项得$-2x ≤ 1-5$，即$-2x ≤ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ 2$。
因此原不等式组的解集为$2 ≤ x ＜ m$。
已知不等式组恰有3个整数解，可推出这3个整数解为2、3、4，由此可得：
若$m ≤ 4$，则整数解不足3个；若$m ＞ 5$，则整数解会包含5，共4个，都不符合要求，因此$m$的取值范围是$4 ＜ m ≤ 5$。
【答案】
$4＜m≤5$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组的解集，整数解求参数
【点评】
本题是一元一次不等式组的常考题型，重点考查对不等式组解集的理解和整数解的应用，解题核心是准确确定整数解的范围，尤其要注意端点值的取舍，避免忽略边界情况出错。
【难度系数】
0.6
三、解答题
12 解不等式组$\begin{cases}2x-(x+1)＜1,①\\\dfrac{x-1}{3}＜\dfrac{x}{2},②\end{cases}$ 把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解.
12 解不等式组$\begin{cases}2x-(x+1)＜1,①\\\dfrac{x-1}{3}＜\dfrac{x}{2},②\end{cases}$ 把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解.
答案
12.解:解不等式①,得$x＜2$,解不等式②,得$x＞-2$,$\therefore$不等式组的解集为$-2＜x＜2$.将解集表示在数轴上如图所示:
,其所有整数解为$-1,0,1$.解析
【分析】
解一元一次不等式组遵循先分别求解每个不等式、再取解集公共部分的思路：首先按照去括号、移项、合并同类项等步骤解两个一元一次不等式，得到各自的解集；再根据“大小小大中间找”的规律确定不等式组的公共解集；接着按照数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，不含端点用空心圆圈）将解集标注在数轴上；最后在解集范围内找出所有整数即可得到整数解。
【解析】
第一步：解不等式①$2x-(x+1)＜1$
去括号得：$2x - x - 1 ＜ 1$
合并同类项、移项得：$x ＜ 2$
第二步：解不等式②$\dfrac{x-1}{3}＜\dfrac{x}{2}$
两边同时乘6去分母（6为正数，不等号方向不变）得：$2(x-1) ＜ 3x$
去括号得：$2x - 2 ＜ 3x$
移项、合并同类项得：$-x ＜ 2$
系数化为1（两边乘-1，不等号方向改变）得：$x ＞ -2$
第三步：确定不等式组的解集
两个解集的公共部分为$-2 ＜ x ＜ 2$，即不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ 2$。
将解集在数轴上表示：在-2和2的位置标空心圆圈，分别向右、向左画线，两线重合的部分即为解集区域。
第四步：找整数解
在$-2 ＜ x ＜ 2$范围内的整数为$-1,0,1$。
【答案】
解:解不等式①,得$x＜2$,解不等式②,得$x＞-2$,$\therefore$不等式组的解集为$-2＜x＜2$.将解集表示在数轴上如图所示:,其所有整数解为$-1,0,1$.
【知识点】
一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，不等式组整数解
【点评】
本题是不等式章节的基础常规题，重点考察一元一次不等式的求解规则、不等式组解集的确定方法，需要注意解不等式时系数为负时不等号要变向，数轴表示解集时空心、实心的区分，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组遵循先分别求解每个不等式、再取解集公共部分的思路：首先按照去括号、移项、合并同类项等步骤解两个一元一次不等式，得到各自的解集；再根据“大小小大中间找”的规律确定不等式组的公共解集；接着按照数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，不含端点用空心圆圈）将解集标注在数轴上；最后在解集范围内找出所有整数即可得到整数解。
【解析】
第一步：解不等式①$2x-(x+1)＜1$
去括号得：$2x - x - 1 ＜ 1$
合并同类项、移项得：$x ＜ 2$
第二步：解不等式②$\dfrac{x-1}{3}＜\dfrac{x}{2}$
两边同时乘6去分母（6为正数，不等号方向不变）得：$2(x-1) ＜ 3x$
去括号得：$2x - 2 ＜ 3x$
移项、合并同类项得：$-x ＜ 2$
系数化为1（两边乘-1，不等号方向改变）得：$x ＞ -2$
第三步：确定不等式组的解集
两个解集的公共部分为$-2 ＜ x ＜ 2$，即不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ 2$。
将解集在数轴上表示：在-2和2的位置标空心圆圈，分别向右、向左画线，两线重合的部分即为解集区域。
第四步：找整数解
在$-2 ＜ x ＜ 2$范围内的整数为$-1,0,1$。
【答案】
解:解不等式①,得$x＜2$,解不等式②,得$x＞-2$,$\therefore$不等式组的解集为$-2＜x＜2$.将解集表示在数轴上如图所示:
,其所有整数解为$-1,0,1$.【知识点】
一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，不等式组整数解
【点评】
本题是不等式章节的基础常规题，重点考察一元一次不等式的求解规则、不等式组解集的确定方法，需要注意解不等式时系数为负时不等号要变向，数轴表示解集时空心、实心的区分，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
13 新华文具店的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该文具店为促销制定了两种优惠办法.甲:买一支毛笔就赠送一本书法练习本;乙:按购买金额打九折付款.某学校欲为书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本$x(x≥10)$本.
(1)请分别写出甲、乙两种优惠办法的实际付款金额$y_甲$(元)，$y_乙$(元)与$x$(本)之间的函数关系式.
(2)当购买的书法练习本数量在什么范围时，用甲种方式付款更优惠？
(1)请分别写出甲、乙两种优惠办法的实际付款金额$y_甲$(元)，$y_乙$(元)与$x$(本)之间的函数关系式.
(2)当购买的书法练习本数量在什么范围时，用甲种方式付款更优惠？
答案
13.解:(1)依题意,得$y_甲=25×10+5(x-10)=5x+200(x≥10)$,$y_乙=(25×10+5x)×0.9=4.5x+225(x≥10)$.
(2)当$y_甲＜y_乙$时,即$5x+200＜4.5x+225$,解得$x＜50$.又$\because x≥10$,$\therefore$当$10≤ x＜50$时,用甲种方式付款更优惠.
(2)当$y_甲＜y_乙$时,即$5x+200＜4.5x+225$,解得$x＜50$.又$\because x≥10$,$\therefore$当$10≤ x＜50$时,用甲种方式付款更优惠.
解析
【分析】
要解决这道题，首先梳理两种优惠方案的计费规则来列函数关系式：
① 甲方案：买1支毛笔赠送1本练习本，购买10支毛笔会赠送10本练习本，因此购买的x本练习本中，仅超出10本的部分需要付费，只需将10支毛笔的总费用和超出部分的练习本费用相加，就能得到$y_甲$的关系式；
② 乙方案：所有商品总金额打九折，先计算10支毛笔和x本练习本的原价总和，再乘以0.9即可得到$y_乙$的关系式。
第二问要找甲种方式更优惠的范围，本质是求$y_甲 ＜ y_乙$时x的取值范围，将第一问得到的两个关系式代入不等式求解，再结合题目给出的$x≥10$的限制条件，就能得到最终的数量范围。
【解析】
(1) 依题意计算甲方案付款金额：
10支毛笔的总费用为$25×10$元，赠送10本练习本，因此需要付费的练习本数量为$(x-10)$本，对应费用为$5(x-10)$元，因此：
$y_甲=25×10+5(x-10)=250+5x-50=5x+200$，其中$x≥10$；
计算乙方案付款金额：
10支毛笔和x本练习本的原价总和为$(25×10+5x)$元，打九折后：
$y_乙=(25×10+5x)×0.9=(250+5x)×0.9=4.5x+225$，其中$x≥10$。
(2) 甲种方式付款更优惠即$y_甲＜y_乙$，代入两个函数关系式得：
$5x+200＜4.5x+225$
移项得：$5x-4.5x＜225-200$
合并同类项得：$0.5x＜25$
解得：$x＜50$
结合题目已知$x≥10$，因此当$10≤ x＜50$时，甲种方式付款更优惠。
【答案】
(1) $y_甲=5x+200(x≥10)$，$y_乙=4.5x+225(x≥10)$；
(2) 当购买的书法练习本数量满足$10≤ x＜50$时，用甲种方式付款更优惠。
【知识点】
列一次函数关系式，一元一次不等式的应用，优惠方案选择
【点评】
本题结合生活常见的促销场景出题，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题时需准确理解优惠规则，不要遗漏题目给出的自变量取值限制条件，按照函数关系和不等式求解步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先梳理两种优惠方案的计费规则来列函数关系式：
① 甲方案：买1支毛笔赠送1本练习本，购买10支毛笔会赠送10本练习本，因此购买的x本练习本中，仅超出10本的部分需要付费，只需将10支毛笔的总费用和超出部分的练习本费用相加，就能得到$y_甲$的关系式；
② 乙方案：所有商品总金额打九折，先计算10支毛笔和x本练习本的原价总和，再乘以0.9即可得到$y_乙$的关系式。
第二问要找甲种方式更优惠的范围，本质是求$y_甲 ＜ y_乙$时x的取值范围，将第一问得到的两个关系式代入不等式求解，再结合题目给出的$x≥10$的限制条件，就能得到最终的数量范围。
【解析】
(1) 依题意计算甲方案付款金额：
10支毛笔的总费用为$25×10$元，赠送10本练习本，因此需要付费的练习本数量为$(x-10)$本，对应费用为$5(x-10)$元，因此：
$y_甲=25×10+5(x-10)=250+5x-50=5x+200$，其中$x≥10$；
计算乙方案付款金额：
10支毛笔和x本练习本的原价总和为$(25×10+5x)$元，打九折后：
$y_乙=(25×10+5x)×0.9=(250+5x)×0.9=4.5x+225$，其中$x≥10$。
(2) 甲种方式付款更优惠即$y_甲＜y_乙$，代入两个函数关系式得：
$5x+200＜4.5x+225$
移项得：$5x-4.5x＜225-200$
合并同类项得：$0.5x＜25$
解得：$x＜50$
结合题目已知$x≥10$，因此当$10≤ x＜50$时，甲种方式付款更优惠。
【答案】
(1) $y_甲=5x+200(x≥10)$，$y_乙=4.5x+225(x≥10)$；
(2) 当购买的书法练习本数量满足$10≤ x＜50$时，用甲种方式付款更优惠。
【知识点】
列一次函数关系式，一元一次不等式的应用，优惠方案选择
【点评】
本题结合生活常见的促销场景出题，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题时需准确理解优惠规则，不要遗漏题目给出的自变量取值限制条件，按照函数关系和不等式求解步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
14 阅读以下例题：
解不等式：$(x+4)(x-1)＞0.$
解:①若$x+4＞0$,则$x-1＞0$,即可以写成$\begin{cases} x+4＞0, \\ x-1＞0, \end{cases}$解不等式组,得$x＞1$.
②若$x+4＜0$,则$x-1＜0$,即可以写成$\begin{cases} x+4＜0, \\ x-1＜0, \end{cases}$解不等式组,得$x＜-4$.
综合以上两种情况,原不等式的解集为$x＞1$或$x＜-4$.
以上解法的依据:当$ab＞0$时,$ab$同号.
请你模仿例题的解法,解不等式:
(1)$(x+1)(x-2)＞0$; (2)$(2x-1)(3x+2)＜0$.
解不等式：$(x+4)(x-1)＞0.$
解:①若$x+4＞0$,则$x-1＞0$,即可以写成$\begin{cases} x+4＞0, \\ x-1＞0, \end{cases}$解不等式组,得$x＞1$.
②若$x+4＜0$,则$x-1＜0$,即可以写成$\begin{cases} x+4＜0, \\ x-1＜0, \end{cases}$解不等式组,得$x＜-4$.
综合以上两种情况,原不等式的解集为$x＞1$或$x＜-4$.
以上解法的依据:当$ab＞0$时,$ab$同号.
请你模仿例题的解法,解不等式:
(1)$(x+1)(x-2)＞0$; (2)$(2x-1)(3x+2)＜0$.
答案
14.(1)$x＞2$或$x＜-1$. (2)$-\frac{2}{3}＜x＜\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题需仿照例题，利用有理数乘法的符号规律（同号得正、异号得负），将两个一次因式乘积形式的不等式转化为两个一元一次不等式组，分类讨论求解后合并解集即可。具体思路：首先根据乘积的符号，确定两个因式的符号对应关系，分情况列出不等式组，分别解每个不等式组取公共解集，最后将所有符合条件的解集合并，就是原不等式的解集。
【解析】
(1) 解不等式$(x+1)(x-2)＞0$，根据“两数相乘，同号得正”，分两种情况讨论：
① 若两个因式同时为正，列不等式组：
$\begin{cases}x+1＞0 \\ x-2＞0\end{cases}$
解第一个不等式得$x＞-1$，解第二个不等式得$x＞2$，取公共解集得$x＞2$；
② 若两个因式同时为负，列不等式组：
$\begin{cases}x+1＜0 \\ x-2＜0\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜-1$，解第二个不等式得$x＜2$，取公共解集得$x＜-1$；
综合两种情况，可得原不等式解集。
(2) 解不等式$(2x-1)(3x+2)＜0$，根据“两数相乘，异号得负”，分两种情况讨论：
① 若第一个因式为正，第二个因式为负，列不等式组：
$\begin{cases}2x-1＞0 \\ 3x+2＜0\end{cases}$
解第一个不等式得$x＞\frac{1}{2}$，解第二个不等式得$x＜-\frac{2}{3}$，无公共解集，该情况无解；
② 若第一个因式为负，第二个因式为正，列不等式组：
$\begin{cases}2x-1＜0 \\ 3x+2＞0\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜\frac{1}{2}$，解第二个不等式得$x＞-\frac{2}{3}$，取公共解集得$-\frac{2}{3}＜x＜\frac{1}{2}$；
综合两种情况，可得原不等式解集。
【答案】
(1)$x＞2$或$x＜-1$；(2)$-\frac{2}{3}＜x＜\frac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法符号法则，一元一次不等式组解法，分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用转化思想，将陌生的乘积型不等式转化为已学的一元一次不等式组求解，解题时注意分类讨论不重不漏，正确取不等式组的公共解集，最后合并所有符合要求的解集即可。
【难度系数】
0.7
本题需仿照例题，利用有理数乘法的符号规律（同号得正、异号得负），将两个一次因式乘积形式的不等式转化为两个一元一次不等式组，分类讨论求解后合并解集即可。具体思路：首先根据乘积的符号，确定两个因式的符号对应关系，分情况列出不等式组，分别解每个不等式组取公共解集，最后将所有符合条件的解集合并，就是原不等式的解集。
【解析】
(1) 解不等式$(x+1)(x-2)＞0$，根据“两数相乘，同号得正”，分两种情况讨论：
① 若两个因式同时为正，列不等式组：
$\begin{cases}x+1＞0 \\ x-2＞0\end{cases}$
解第一个不等式得$x＞-1$，解第二个不等式得$x＞2$，取公共解集得$x＞2$；
② 若两个因式同时为负，列不等式组：
$\begin{cases}x+1＜0 \\ x-2＜0\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜-1$，解第二个不等式得$x＜2$，取公共解集得$x＜-1$；
综合两种情况，可得原不等式解集。
(2) 解不等式$(2x-1)(3x+2)＜0$，根据“两数相乘，异号得负”，分两种情况讨论：
① 若第一个因式为正，第二个因式为负，列不等式组：
$\begin{cases}2x-1＞0 \\ 3x+2＜0\end{cases}$
解第一个不等式得$x＞\frac{1}{2}$，解第二个不等式得$x＜-\frac{2}{3}$，无公共解集，该情况无解；
② 若第一个因式为负，第二个因式为正，列不等式组：
$\begin{cases}2x-1＜0 \\ 3x+2＞0\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜\frac{1}{2}$，解第二个不等式得$x＞-\frac{2}{3}$，取公共解集得$-\frac{2}{3}＜x＜\frac{1}{2}$；
综合两种情况，可得原不等式解集。
【答案】
(1)$x＞2$或$x＜-1$；(2)$-\frac{2}{3}＜x＜\frac{1}{2}$
【知识点】
有理数乘法符号法则，一元一次不等式组解法，分类讨论思想
【点评】
本题核心是利用转化思想，将陌生的乘积型不等式转化为已学的一元一次不等式组求解，解题时注意分类讨论不重不漏，正确取不等式组的公共解集，最后合并所有符合要求的解集即可。
【难度系数】
0.7
