一、在下面的圈里填上合适的数。

12 和 15 的最小公倍数是()。 9 和 18 的最小公倍数是()。

12的倍数（左圈非重叠部分）：12、24、36、48
12和15的公倍数（重叠部分）：60、120
15的倍数（右圈非重叠部分）：15、30、45、75
12和15的最小公倍数是(60)。
9的倍数（左圈非重叠部分）：9、27、45、63
9和18的公倍数（重叠部分）：18、36、54
18的倍数（右圈非重叠部分）：无符合条件的数，无需填写
9和18的最小公倍数是(18)。

【分析】
解题思路如下：1. 首先回忆相关概念：一个数的倍数是该数依次乘1、2、3……得到的数，倍数的个数是无限的；两个数公有的倍数叫做它们的公倍数，公倍数中最小的数就是最小公倍数。2. 对于12和15：先分别列举出较小的几个12的倍数、15的倍数，把只属于12的倍数填到12的倍数圈非重叠区域，只属于15的倍数填到15的倍数圈非重叠区域，两者共有的倍数填到重叠的公倍数区域，再从公倍数里找到最小的就是最小公倍数。3. 对于9和18：先观察两数关系，18是9的倍数，存在倍数关系的两个数，最小公倍数是较大的那个数，再分别列举9的倍数、18的倍数，按要求填入对应区域即可。
【解析】
第一组：12和15
1. 列举12的倍数：$12×1=12$，$12×2=24$，$12×3=36$，$12×4=48$，$12×5=60$，$12×10=120$……其中不是15的倍数的有12、24、36、48，填入12的倍数圈非重叠部分。
2. 列举15的倍数：$15×1=15$，$15×2=30$，$15×3=45$，$15×4=60$，$15×5=75$……其中不是12的倍数的有15、30、45、75，填入15的倍数圈非重叠部分。
3. 两者共有的公倍数有60、120……填入重叠区域，其中最小的是60，因此12和15的最小公倍数是60。
第二组：9和18
1. 列举9的倍数：$9×1=9$，$9×2=18$，$9×3=27$，$9×4=36$，$9×5=45$，$9×6=54$，$9×7=63$……其中不是18的倍数的有9、27、45、63，填入9的倍数圈非重叠部分。
2. 列举18的倍数：$18×1=18$，$18×2=36$，$18×3=54$……因为18是9的倍数，所有18的倍数都是9的倍数，没有仅属于18的倍数的数，因此18的倍数圈非重叠部分无需填写。
3. 两者共有的公倍数有18、36、54……填入重叠区域，其中最小的是18，因此9和18的最小公倍数是18。
【答案】
12的倍数（左圈非重叠部分）：12、24、36、48
12和15的公倍数（重叠部分）：60、120
15的倍数（右圈非重叠部分）：15、30、45、75
12和15的最小公倍数是(60)。
9的倍数（左圈非重叠部分）：9、27、45、63
9和18的公倍数（重叠部分）：18、36、54
18的倍数（右圈非重叠部分）：无需填写
9和18的最小公倍数是(18)。
【知识点】
倍数的认识，公倍数，最小公倍数
【点评】
本题通过韦恩图的形式考查对倍数、公倍数、最小公倍数概念的理解和运用，能直观区分两个数独有的倍数和公有的倍数，解题时要注意：如果两个数存在倍数关系，那么较大数就是它们的最小公倍数。
【难度系数】
0.8

二、找出下面每组数的最小公倍数。
1. 3和7 5和6 1和9 4和11
() () () ()
我发现:当两个数的最大公因数是()时,这两个数的最小公倍数是()。
2. 9和3 5和10 8和40 51和17
() () () ()
我发现:当两个数中较大数是较小数的()时,这两个数的最小公倍数是()。

1. 21 30 9 44 1 这两个数的乘积
2. 9 10 40 51 倍数 较大数

【分析】
解题时先回忆求两个数最小公倍数的常用方法，再按每组数的关系分类计算：
1. 先判断第一组的数的公因数特点：3和7都是质数、公因数只有1；5和6是相邻自然数、公因数只有1；1和任何数的公因数只有1；4和11没有除1外的公因数。对于公因数只有1的两个数，最小公倍数就是它们的乘积，计算出每组结果后总结对应规律。
2. 再判断第二组的数的大小关系：9是3的倍数，10是5的倍数，40是8的倍数，51是17的倍数。当两个数存在倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数，得出结果后总结对应规律即可。
【解析】
1. 计算第一组最小公倍数：
3和7互质，最小公倍数=3×7=21
5和6互质，最小公倍数=5×6=30
1和9互质，最小公倍数=1×9=9
4和11互质，最小公倍数=4×11=44
观察可知这几组数的最大公因数都是1，因此规律为：当两个数的最大公因数是1时，这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。
2. 计算第二组最小公倍数：
9是3的倍数，最小公倍数为较大数9
10是5的倍数，最小公倍数为较大数10
40是8的倍数，最小公倍数为较大数40
51是17的倍数，最小公倍数为较大数51
观察可知每组里较大数都是较小数的倍数，因此规律为：当两个数中较大数是较小数的倍数时，这两个数的最小公倍数是较大数。
【答案】
1. 21 30 9 44 1 这两个数的乘积
2. 9 10 40 51 倍数 较大数
【知识点】
最小公倍数求法，互质数性质，倍数关系特征
【点评】
本题通过两组特殊关系数的最小公倍数计算，引导学生总结通用规律，既巩固了最小公倍数的基础计算方法，又能帮助学生掌握快速求解特殊关系数最小公倍数的技巧，属于最小公倍数知识点的基础应用题型。
【难度系数】
0.8

三、谁先到家，写出下列每组数的最小公倍数。

24 120 72 140 36 63 77 72

【分析】
本题要求计算每组两个数的最小公倍数，我们可以根据每组数的特点选择简便方法计算：①若两个数是倍数关系，较大数就是二者的最小公倍数；②若两个数是公因数只有1的互质数，二者的乘积就是最小公倍数；③若两个数既不是倍数关系也不互质，用短除法，将公有的质因数和各自独有的质因数相乘，结果就是最小公倍数，按顺序计算每组数即可。
【解析】
1. 6和24：24是6的倍数，最小公倍数为24；
2. 8和15：8和15是互质数，最小公倍数为$8×15=120$；
3. 9和8：9和8是互质数，最小公倍数为$9×8=72$；
4. 20和35：用短除法，公有质因数是5，独有质因数分别是4和7，最小公倍数为$5×4×7=140$；
5. 9和12：用短除法，公有质因数是3，独有质因数分别是3和4，最小公倍数为$3×3×4=36$；
6. 63和21：63是21的倍数，最小公倍数为63；
7. 11和7：11和7是互质数，最小公倍数为$11×7=77$；
8. 24和18：用短除法，公有质因数是2和3，独有质因数分别是4和3，最小公倍数为$2×3×4×3=72$。
【答案】
24、120、72、140、36、63、77、72
【知识点】
求最小公倍数，倍数关系性质，互质数性质
【点评】
本题核心考查最小公倍数的计算能力，解题时优先观察两个数的关系可以简化计算步骤，熟练掌握短除法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7

四、判断题。(对的画“√”,错的画“×”)
1. 两个数的公倍数是有限的。 ()
2. 两个数的公倍数一定比这两个数都大。 ()
3. 相邻两个自然数(0除外)的最小公倍数是它们的乘积。 ()
4. 两个数的积一定比这两个数的最小公倍数大。 ()
5. 两个数互质,最小公倍数是14,这两个数可能是2和7。 ()
6. 如果两个数的最大公因数是1,那么最小公倍数一定是它们的积。 ()

1. × 2. × 3. √ 4. × 5. √ 6. √

【分析】
做这组判断题，我们首先要回忆公倍数、最小公倍数、互质数的相关核心知识点：①一个数的倍数个数是无限的，因此两个数的公倍数个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数；②如果两个数是倍数关系，它们的最小公倍数是较大数；如果两个数互质（最大公因数是1），它们的最小公倍数是两数的乘积；③相邻的非0自然数是互质数，两个不同的质数也是互质数。做题时遇到带“一定”的表述可以尝试举反例验证，带“可能”的表述只要存在符合条件的情况就正确。
【解析】
1. 一个数的倍数有无限个，两个数公有的倍数（公倍数）自然也有无限个，因此“公倍数是有限的”表述错误。
2. 举反例：2和4的公倍数包括4，4和其中较大的数相等，并非比两个数都大，表述错误。
3. 相邻两个非0自然数的最大公因数是1，也就是互质，互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积，表述正确。
4. 举反例：2和3互质，它们的积是6，最小公倍数也是6，二者相等，并非积一定比最小公倍数大，表述错误。
5. 互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积，2和7互质，且2×7=14，符合条件，因此这两个数可能是2和7，表述正确。
6. 两个数的最大公因数是1说明两数互质，互质的两个数的最小公倍数就是它们的乘积，表述正确。
【答案】
1. × 2. × 3. √ 4. × 5. √ 6. √
【知识点】
公倍数的特征；最小公倍数计算；互质数的性质
【点评】
本组题目围绕公倍数与最小公倍数的性质设题，重点考查特殊关系（互质、倍数关系）的两个数的最小公倍数规律，做题时可通过举反例的方法快速验证“一定”类表述的正误，注意区分“一定”和“可能”的判断标准。
【难度系数】
0.8