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1. 下列因式分解正确的是 （
A.$ab + ac + a = a(b + c)$
B.$a^2 - 4b^2 = (a + 4b)(a - 4b)$
C.$9a^2 + 6a + 1 = 3a(3a + 2) + 1$
D.$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2$
D
）A.$ab + ac + a = a(b + c)$
B.$a^2 - 4b^2 = (a + 4b)(a - 4b)$
C.$9a^2 + 6a + 1 = 3a(3a + 2) + 1$
D.$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查因式分解的判断，解题思路为：先明确因式分解的核心要求（将多项式化为几个整式乘积的形式），再结合提公因式法、平方差公式、完全平方公式逐个验证选项，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，结合定义和因式分解的方法逐一分析选项：
A选项：对$ab+ac+a$提取公因式$a$，可得$a(b+c+1)$，选项结果漏了常数项1，分解错误；
B选项：$a^2-4b^2$符合平方差公式结构，可分解为$a^2-(2b)^2=(a+2b)(a-2b)$，选项错误套用公式系数，分解错误；
C选项：等号右侧$3a(3a+2)+1$是整式乘积与常数的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误；
D选项：$a^2-4ab+4b^2$符合完全平方差公式结构，可分解为$a^2-2· a· 2b+(2b)^2=(a-2b)^2$，变形正确，符合因式分解要求。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法因式分解；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，需要准确掌握因式分解的定义，同时熟练运用提公因式法和乘法公式进行因式分解，注意避免漏项、错用公式、结果不是乘积形式等常见错误。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解的判断，解题思路为：先明确因式分解的核心要求（将多项式化为几个整式乘积的形式），再结合提公因式法、平方差公式、完全平方公式逐个验证选项，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，结合定义和因式分解的方法逐一分析选项：
A选项：对$ab+ac+a$提取公因式$a$，可得$a(b+c+1)$，选项结果漏了常数项1，分解错误；
B选项：$a^2-4b^2$符合平方差公式结构，可分解为$a^2-(2b)^2=(a+2b)(a-2b)$，选项错误套用公式系数，分解错误；
C选项：等号右侧$3a(3a+2)+1$是整式乘积与常数的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误；
D选项：$a^2-4ab+4b^2$符合完全平方差公式结构，可分解为$a^2-2· a· 2b+(2b)^2=(a-2b)^2$，变形正确，符合因式分解要求。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法因式分解；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，需要准确掌握因式分解的定义，同时熟练运用提公因式法和乘法公式进行因式分解，注意避免漏项、错用公式、结果不是乘积形式等常见错误。
【难度系数】
0.8
2. $\sqrt{16}$的算术平方根为（
A.4
B.$\pm 4$
C.2
D.$\pm 2$
C
）A.4
B.$\pm 4$
C.2
D.$\pm 2$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先要明确题目所求为$\sqrt{16}$的算术平方根，而非16的算术平方根，因此需要分两步思考：第一步先化简计算出$\sqrt{16}$的结果，第二步再根据算术平方根的定义求该结果的算术平方根。要注意算术平方根的结果是唯一的非负数，需和平方根的概念区分开，避免出现多解或者计算对象错误的问题。
【解析】
解：首先化简$\sqrt{16}$，根据二次根式的计算规则可得$\sqrt{16}=4$；
再根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根。
因为$2^2=4$，所以4的算术平方根是2，即$\sqrt{16}$的算术平方根为2。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简；平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题是基础易错题，常见错误有两种：一是未先化简$\sqrt{16}$，直接求16的算术平方根误选A；二是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负的选项。解题时需先审清计算对象，牢记算术平方根的非负性，避免低级错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题目所求为$\sqrt{16}$的算术平方根，而非16的算术平方根，因此需要分两步思考：第一步先化简计算出$\sqrt{16}$的结果，第二步再根据算术平方根的定义求该结果的算术平方根。要注意算术平方根的结果是唯一的非负数，需和平方根的概念区分开，避免出现多解或者计算对象错误的问题。
【解析】
解：首先化简$\sqrt{16}$，根据二次根式的计算规则可得$\sqrt{16}=4$；
再根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根。
因为$2^2=4$，所以4的算术平方根是2，即$\sqrt{16}$的算术平方根为2。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简；平方根与算术平方根的区别
【点评】
本题是基础易错题，常见错误有两种：一是未先化简$\sqrt{16}$，直接求16的算术平方根误选A；二是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负的选项。解题时需先审清计算对象，牢记算术平方根的非负性，避免低级错误。
【难度系数】
0.6
3.已知点$P(2a+6,4+a)$在第一象限,则$a$的取值范围是 (
A.$-4＜a＜-3$
B.$a＜-3$
C.$a＞-3$
D.$a≥-4$
C
)A.$-4＜a＜-3$
B.$a＜-3$
C.$a＞-3$
D.$a≥-4$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆第一象限内点的坐标特征：第一象限的点横坐标大于0，纵坐标也大于0。我们可以根据这个特征列出关于a的一元一次不等式组，再分别解不等式，最后取两个解集的公共部分，就能得到a的取值范围，匹配对应选项即可。
【解析】
∵点$P(2a+6,4+a)$在第一象限，第一象限内点的横、纵坐标均为正数，
∴可列不等式组：
$\{\begin{array}{l}2a + 6 ＞ 0&① \\ 4 + a ＞ 0&② \end{array} $
解不等式①：移项得$2a ＞ -6$，两边同时除以2，得$a ＞ -3$。
解不等式②：移项得$a ＞ -4$。
根据“同大取大”的不等式组解集确定规则，两个解集的公共部分为$a ＞ -3$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平面直角坐标系中各象限点坐标符号规律的记忆，以及一元一次不等式组的求解能力，掌握基础概念和不等式解法即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆第一象限内点的坐标特征：第一象限的点横坐标大于0，纵坐标也大于0。我们可以根据这个特征列出关于a的一元一次不等式组，再分别解不等式，最后取两个解集的公共部分，就能得到a的取值范围，匹配对应选项即可。
【解析】
∵点$P(2a+6,4+a)$在第一象限，第一象限内点的横、纵坐标均为正数，
∴可列不等式组：
$\{\begin{array}{l}2a + 6 ＞ 0&① \\ 4 + a ＞ 0&② \end{array} $
解不等式①：移项得$2a ＞ -6$，两边同时除以2，得$a ＞ -3$。
解不等式②：移项得$a ＞ -4$。
根据“同大取大”的不等式组解集确定规则，两个解集的公共部分为$a ＞ -3$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平面直角坐标系中各象限点坐标符号规律的记忆，以及一元一次不等式组的求解能力，掌握基础概念和不等式解法即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
4. 将分式方程$1-\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{3}{x-1}$去分母，得到的整式方程是（
A.$1-2x=3$
B.$x-1-2x=3$
C.$1+2x=3$
D.$x-1+2x=3$
B
）A.$1-2x=3$
B.$x-1-2x=3$
C.$1+2x=3$
D.$x-1+2x=3$
答案
4.B
解析
【分析】
要解决分式方程去分母的问题，首先需要确定方程中所有分式的最简公分母，再根据等式的性质，给方程的每一项都乘这个最简公分母，约掉分母即可得到整式方程，注意不能漏乘不含分母的项。本题中两个分式的分母都是$x-1$，因此最简公分母为$x-1$，给原方程每一项都乘$x-1$即可推导结果。
【解析】
原分式方程为：$1-\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{3}{x-1}$
观察得分母的最简公分母为$x-1$，根据等式的性质，给方程左右两边的每一项同时乘$x-1$（$x≠1$），可得：
$1×(x-1) - \dfrac{2x}{x-1}×(x-1) = \dfrac{3}{x-1}×(x-1)$
约分后化简得到整式方程：$x-1-2x=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程去分母 2.等式的基本性质
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，主要考查去分母的规范操作，易错点是容易漏乘不含分母的常数项，解题时要牢记给方程所有项都乘最简公分母，避免出现漏乘错误。
【难度系数】
0.8
要解决分式方程去分母的问题，首先需要确定方程中所有分式的最简公分母，再根据等式的性质，给方程的每一项都乘这个最简公分母，约掉分母即可得到整式方程，注意不能漏乘不含分母的项。本题中两个分式的分母都是$x-1$，因此最简公分母为$x-1$，给原方程每一项都乘$x-1$即可推导结果。
【解析】
原分式方程为：$1-\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{3}{x-1}$
观察得分母的最简公分母为$x-1$，根据等式的性质，给方程左右两边的每一项同时乘$x-1$（$x≠1$），可得：
$1×(x-1) - \dfrac{2x}{x-1}×(x-1) = \dfrac{3}{x-1}×(x-1)$
约分后化简得到整式方程：$x-1-2x=3$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程去分母 2.等式的基本性质
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，主要考查去分母的规范操作，易错点是容易漏乘不含分母的常数项，解题时要牢记给方程所有项都乘最简公分母，避免出现漏乘错误。
【难度系数】
0.8
5. 关于直线$ l: y = kx + k(k ≠ 0) $，下列说法正确的是（
A.$ l $经过定点$(1,0)$
B.$ l $经过定点$(-1,0)$
C.$ l $经过第二、三、四象限
D.$ l $经过第一、二、三象限
B
）A.$ l $经过定点$(1,0)$
B.$ l $经过定点$(-1,0)$
C.$ l $经过第二、三、四象限
D.$ l $经过第一、二、三象限
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查一次函数的相关知识，解题思路如下：1. 判断定点：可将选项中给出的点坐标代入直线表达式，若等式对任意k≠0都成立，则该点是直线经过的定点；也可将表达式变形为y=k(x+1)，要让式子和k的取值无关，需x+1=0，即可求出定点坐标。2. 判断直线经过的象限：一次函数y=kx+b的象限由k（斜率）和b（截距）的符号共同决定，本题中b=k，k的正负不确定，因此无法唯一确定直线经过的所有象限，可据此判断C、D选项的正误。
【解析】
分别将选项中的点代入直线表达式$y = kx + k(k≠0)$验证：
1. 验证A选项：将$(1,0)$代入，左边$y=0$，右边$=k×1 +k=2k$，仅当$k=0$时等式成立，不符合$k≠0$的要求，故A错误；
2. 验证B选项：将$(-1,0)$代入，左边$y=0$，右边$=k×(-1)+k=-k +k=0$，等式对任意$k≠0$都成立，故B正确；
3. 分析C、D选项：一次函数$y=kx+b$中，$k$决定倾斜方向，$b$决定与y轴交点位置，本题中$b=k$：当$k＞0$时，直线过第一、二、三象限；当$k＜0$时，直线过第二、三、四象限。因$k$的正负不确定，C、D描述的情况均不必然成立，故C、D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数过定点判断
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题关键是掌握一次函数图象的性质，判断定点时可通过代入验证简化计算，判断象限时要注意分析参数的取值范围，避免漏情况导致判断错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的相关知识，解题思路如下：1. 判断定点：可将选项中给出的点坐标代入直线表达式，若等式对任意k≠0都成立，则该点是直线经过的定点；也可将表达式变形为y=k(x+1)，要让式子和k的取值无关，需x+1=0，即可求出定点坐标。2. 判断直线经过的象限：一次函数y=kx+b的象限由k（斜率）和b（截距）的符号共同决定，本题中b=k，k的正负不确定，因此无法唯一确定直线经过的所有象限，可据此判断C、D选项的正误。
【解析】
分别将选项中的点代入直线表达式$y = kx + k(k≠0)$验证：
1. 验证A选项：将$(1,0)$代入，左边$y=0$，右边$=k×1 +k=2k$，仅当$k=0$时等式成立，不符合$k≠0$的要求，故A错误；
2. 验证B选项：将$(-1,0)$代入，左边$y=0$，右边$=k×(-1)+k=-k +k=0$，等式对任意$k≠0$都成立，故B正确；
3. 分析C、D选项：一次函数$y=kx+b$中，$k$决定倾斜方向，$b$决定与y轴交点位置，本题中$b=k$：当$k＞0$时，直线过第一、二、三象限；当$k＜0$时，直线过第二、三、四象限。因$k$的正负不确定，C、D描述的情况均不必然成立，故C、D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数过定点判断
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题关键是掌握一次函数图象的性质，判断定点时可通过代入验证简化计算，判断象限时要注意分析参数的取值范围，避免漏情况导致判断错误。
【难度系数】
0.8
6.若一组数据1,2,x,4的平均数是2,则这组数据的众数为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先要利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，再根据众数的定义（一组数据中出现次数最多的数即为众数）确定最终答案。第一步先根据“平均数=所有数据之和÷数据总个数”的公式列方程求解x；第二步将x代入原数据，统计每个数的出现次数，出现次数最多的数就是众数。
【解析】
解：已知这组数据的平均数是2，数据总个数为4，根据平均数计算公式列方程：
$\frac{1+2+x+4}{4}=2$
等式两边同时乘4得：$1+2+x+4=8$
整理计算得：$7+x=8$，解得$x=1$
此时这组数据为1、2、1、4，统计各数出现次数：1出现2次，2和4各出现1次，出现次数最多的是1，因此这组数据的众数是1。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，众数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过平均数公式求出未知数据，再结合众数的概念判断结果，熟练掌握统计类基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要利用平均数的计算公式求出未知数据x的值，再根据众数的定义（一组数据中出现次数最多的数即为众数）确定最终答案。第一步先根据“平均数=所有数据之和÷数据总个数”的公式列方程求解x；第二步将x代入原数据，统计每个数的出现次数，出现次数最多的数就是众数。
【解析】
解：已知这组数据的平均数是2，数据总个数为4，根据平均数计算公式列方程：
$\frac{1+2+x+4}{4}=2$
等式两边同时乘4得：$1+2+x+4=8$
整理计算得：$7+x=8$，解得$x=1$
此时这组数据为1、2、1、4，统计各数出现次数：1出现2次，2和4各出现1次，出现次数最多的是1，因此这组数据的众数是1。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，众数的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过平均数公式求出未知数据，再结合众数的概念判断结果，熟练掌握统计类基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
7. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BCD=60°$，$∠ ABC$，$∠ BCD$的平分线交于边$AD$上一点$E$，且$BE=\sqrt{3}$，则线段$CE$的长为 （
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$3$
第7题图 第8题图
D
）A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$3$
第7题图 第8题图
答案
7.D
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手：首先平行四边形邻角互补，可求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义，算出△BEC中两个内角的度数，可判断△BEC是直角三角形；接着利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出斜边BC的长度，最后用勾股定理即可计算出CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC + ∠BCD = 180°
∵∠BCD = 60°
∴∠ABC = 180° - 60° = 120°
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 60°，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠BCD = 30°
在△BEC中，∠BEC = 180° - ∠EBC - ∠ECB = 180° - 60° - 30° = 90°，即△BEC是直角三角形
在Rt△BEC中，∠ECB=30°，其对边为BE
∴BC = 2BE = 2×$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$
由勾股定理得：$CE=\sqrt{BC^2 - BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3$
故选D
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将平行四边形、角平分线、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是先判定△BEC为直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.7
解题时先从平行四边形的性质入手：首先平行四边形邻角互补，可求出∠ABC的度数，再结合角平分线的定义，算出△BEC中两个内角的度数，可判断△BEC是直角三角形；接着利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出斜边BC的长度，最后用勾股定理即可计算出CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC + ∠BCD = 180°
∵∠BCD = 60°
∴∠ABC = 180° - 60° = 120°
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD
∴∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 60°，∠ECB = $\frac{1}{2}$∠BCD = 30°
在△BEC中，∠BEC = 180° - ∠EBC - ∠ECB = 180° - 60° - 30° = 90°，即△BEC是直角三角形
在Rt△BEC中，∠ECB=30°，其对边为BE
∴BC = 2BE = 2×$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$
由勾股定理得：$CE=\sqrt{BC^2 - BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=\sqrt{9}=3$
故选D
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；角平分线的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将平行四边形、角平分线、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是先判定△BEC为直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.7
8.如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，点$E$，$G$分别在边$AB$，$AC$上，连接$DE$，$DG$，过点$D$作$DF ⊥ AB$于点$F$。已知$DE=DG$，$S_{△ ADG}=12$，$S_{△ AED}=8$，则$△ DEF$的面积为（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
8.A
解析
【分析】
首先利用角平分线的性质，过点D作AC的垂线DH，可得DF=DH；再结合已知DE=DG，用HL判定证明Rt△DEF≌Rt△DGH，二者面积相等；接着证明Rt△ADF≌Rt△ADH，二者面积也相等；最后通过面积的和差关系建立方程，即可求出△DEF的面积。
【解析】
解：过点D作$DH⊥AC$于点H。
∵AD平分$∠BAC$，$DF⊥AB$，$DH⊥AC$，
∴$DF=DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△ DEF$和$Rt△ DGH$中：
$\{\begin{array}{l}DE=DG\\ DF=DH\end{array} $
∴$Rt△ DEF≌Rt△ DGH(HL)$，故$S_{△ DEF}=S_{△ DGH}$。
设$S_{△ DEF}=x$，则$S_{△ DGH}=x$。
同理，在$Rt△ ADF$和$Rt△ ADH$中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DH\end{array} $
∴$Rt△ ADF≌Rt△ ADH(HL)$，故$S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$。
∵$S_{△ ADF}=S_{△ AED}+S_{△ DEF}=8+x$，
$S_{△ ADH}=S_{△ ADG}-S_{△ DGH}=12-x$，
∴$8+x=12-x$，解得$x=2$，即$S_{△ DEF}=2$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将未知面积和已知面积建立关联，利用全等三角形面积相等的性质列方程求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先利用角平分线的性质，过点D作AC的垂线DH，可得DF=DH；再结合已知DE=DG，用HL判定证明Rt△DEF≌Rt△DGH，二者面积相等；接着证明Rt△ADF≌Rt△ADH，二者面积也相等；最后通过面积的和差关系建立方程，即可求出△DEF的面积。
【解析】
解：过点D作$DH⊥AC$于点H。
∵AD平分$∠BAC$，$DF⊥AB$，$DH⊥AC$，
∴$DF=DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△ DEF$和$Rt△ DGH$中：
$\{\begin{array}{l}DE=DG\\ DF=DH\end{array} $
∴$Rt△ DEF≌Rt△ DGH(HL)$，故$S_{△ DEF}=S_{△ DGH}$。
设$S_{△ DEF}=x$，则$S_{△ DGH}=x$。
同理，在$Rt△ ADF$和$Rt△ ADH$中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DF=DH\end{array} $
∴$Rt△ ADF≌Rt△ ADH(HL)$，故$S_{△ ADF}=S_{△ ADH}$。
∵$S_{△ ADF}=S_{△ AED}+S_{△ DEF}=8+x$，
$S_{△ ADH}=S_{△ ADG}-S_{△ DGH}=12-x$，
∴$8+x=12-x$，解得$x=2$，即$S_{△ DEF}=2$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将未知面积和已知面积建立关联，利用全等三角形面积相等的性质列方程求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
