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8.某校150名学生参加数学竞赛，平均分为55分，其中及格学生的平均分为77分，不及格学生的平均分为47分，则不及格学生的人数为（
A.49
B.101
C.110
D.40
C
）A.49
B.101
C.110
D.40
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先抓住“总分数=总人数×平均分”这一核心关系，全体学生的总分数等于及格学生总分数与不及格学生总分数之和，我们可以设不及格学生人数为未知数，根据上述等量关系列一元一次方程求解，思路直观不易出错。
【解析】
设不及格学生的人数为$x$人，则及格学生的人数为$(150-x)$人。
根据总分数相等列方程：
$47x + 77(150 - x) = 150×55$
展开左边得：$47x + 11550 - 77x = 11550 - 30x$
计算右边得：$150×55 = 8250$
方程转化为：$11550 - 30x = 8250$
移项计算得：$30x = 11550 - 8250 = 3300$
解得：$x = 110$
即不及格学生人数为110人。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、平均数的计算
【点评】
本题属于平均数相关的基础应用题，解题的关键是找准“总分数不变”的等量关系，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“总分数=总人数×平均分”这一核心关系，全体学生的总分数等于及格学生总分数与不及格学生总分数之和，我们可以设不及格学生人数为未知数，根据上述等量关系列一元一次方程求解，思路直观不易出错。
【解析】
设不及格学生的人数为$x$人，则及格学生的人数为$(150-x)$人。
根据总分数相等列方程：
$47x + 77(150 - x) = 150×55$
展开左边得：$47x + 11550 - 77x = 11550 - 30x$
计算右边得：$150×55 = 8250$
方程转化为：$11550 - 30x = 8250$
移项计算得：$30x = 11550 - 8250 = 3300$
解得：$x = 110$
即不及格学生人数为110人。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、平均数的计算
【点评】
本题属于平均数相关的基础应用题，解题的关键是找准“总分数不变”的等量关系，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
9.一个两位数,个位数字与十位数字的和是8,个位数字与十位数字互换后所得的新数比原数小18,则原数是 (
A.26
B.62
C.35
D.53
D
)A.26
B.62
C.35
D.53
答案
9.D
解析
【分析】
本题属于两位数数字类应用题，有两种常用解题思路：①代入排除法：先确认选项中两个数位上的数字和为8（本题四个选项均满足该条件），再计算数位互换后的新数与原数的差，找到差为18的选项即可；②方程法：首先明确两位数的表示规则为“十位数字×10 + 个位数字”，设原数十位数字为未知数，根据数位和为8表示出个位数字，再分别写出原数和新数的表达式，结合“新数比原数小18”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
方法一（方程法）：
设原数的十位数字为$x$，则个位数字为$8-x$。
原数可表示为：$10x + (8-x) = 9x + 8$
数位互换后的新数可表示为：$10(8-x) + x = 80 - 9x$
根据题意“新数比原数小18”，列方程：
$(9x + 8) - (80 - 9x) = 18$
去括号得：$9x + 8 - 80 + 9x = 18$
合并同类项得：$18x - 72 = 18$
移项计算得：$18x = 90$，解得$x=5$
则个位数字为$8-5=3$，原数为53。
方法二（排除法）：
A.26互换后为62，$62-26=36$，新数比原数大，不符合；
B.62互换后为26，$62-26=36≠18$，不符合；
C.35互换后为53，$53-35=18$，新数比原数大，不符合；
D.53互换后为35，$53-35=18$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，两位数的表示
【点评】
本题是数字类基础应用题，解题核心是掌握两位数的正确表示方法，既可以用代入排除法快速锁定答案，也可以通过列方程求解，巩固方程思想的实际应用。
【难度系数】
0.8
本题属于两位数数字类应用题，有两种常用解题思路：①代入排除法：先确认选项中两个数位上的数字和为8（本题四个选项均满足该条件），再计算数位互换后的新数与原数的差，找到差为18的选项即可；②方程法：首先明确两位数的表示规则为“十位数字×10 + 个位数字”，设原数十位数字为未知数，根据数位和为8表示出个位数字，再分别写出原数和新数的表达式，结合“新数比原数小18”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
方法一（方程法）：
设原数的十位数字为$x$，则个位数字为$8-x$。
原数可表示为：$10x + (8-x) = 9x + 8$
数位互换后的新数可表示为：$10(8-x) + x = 80 - 9x$
根据题意“新数比原数小18”，列方程：
$(9x + 8) - (80 - 9x) = 18$
去括号得：$9x + 8 - 80 + 9x = 18$
合并同类项得：$18x - 72 = 18$
移项计算得：$18x = 90$，解得$x=5$
则个位数字为$8-5=3$，原数为53。
方法二（排除法）：
A.26互换后为62，$62-26=36$，新数比原数大，不符合；
B.62互换后为26，$62-26=36≠18$，不符合；
C.35互换后为53，$53-35=18$，新数比原数大，不符合；
D.53互换后为35，$53-35=18$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，两位数的表示
【点评】
本题是数字类基础应用题，解题核心是掌握两位数的正确表示方法，既可以用代入排除法快速锁定答案，也可以通过列方程求解，巩固方程思想的实际应用。
【难度系数】
0.8
10.已知二元一次方程组$\begin{cases}2x+y=7,\\x+2y=8,\end{cases}$则$x-y=$ ______ $,x+y=$ ______ .
答案
10.-1 5
解析
【分析】
求解本题有两种思路：思路一，先按照代入消元法或加减消元法解出二元一次方程组中x、y的取值，再分别代入计算x-y和x+y的值；思路二，观察两个方程的系数特点，通过两个方程直接相减得到x-y的值，直接相加后化简得到x+y的值，无需单独求x、y，计算更简便。
【解析】
先给方程组的两个方程标号：
$\begin{cases}2x+y=7&①\\x+2y=8&②\end{cases}$
方法一：整体加减简便计算
1. 求$x-y$：用①式减去②式，左边化简为$2x+y-(x+2y)=x-y$，右边计算得$7-8=-1$，因此$x-y=-1$。
2. 求$x+y$：用①式加上②式，左边化简为$2x+y+x+2y=3(x+y)$，右边计算得$7+8=15$，两边同时除以3，可得$x+y=5$。
方法二：常规解方程组计算
由①式变形得$y=7-2x$，代入②式得：
$x+2(7-2x)=8$
展开计算：$x+14-4x=8$
合并同类项得$-3x=-6$，解得$x=2$
将$x=2$代入$y=7-2x$，得$y=7-2×2=3$
因此$x-y=2-3=-1$，$x+y=2+3=5$。
【答案】
-1；5
【知识点】
二元一次方程组的解法；代数式求值；整体思想
【点评】
本题既可以通过常规消元法解方程组得到未知数的值再计算，也可以观察系数特征用整体加减的方法快速得出结果，能有效考察学生的运算能力和观察分析能力，灵活运用整体法可大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.9
求解本题有两种思路：思路一，先按照代入消元法或加减消元法解出二元一次方程组中x、y的取值，再分别代入计算x-y和x+y的值；思路二，观察两个方程的系数特点，通过两个方程直接相减得到x-y的值，直接相加后化简得到x+y的值，无需单独求x、y，计算更简便。
【解析】
先给方程组的两个方程标号：
$\begin{cases}2x+y=7&①\\x+2y=8&②\end{cases}$
方法一：整体加减简便计算
1. 求$x-y$：用①式减去②式，左边化简为$2x+y-(x+2y)=x-y$，右边计算得$7-8=-1$，因此$x-y=-1$。
2. 求$x+y$：用①式加上②式，左边化简为$2x+y+x+2y=3(x+y)$，右边计算得$7+8=15$，两边同时除以3，可得$x+y=5$。
方法二：常规解方程组计算
由①式变形得$y=7-2x$，代入②式得：
$x+2(7-2x)=8$
展开计算：$x+14-4x=8$
合并同类项得$-3x=-6$，解得$x=2$
将$x=2$代入$y=7-2x$，得$y=7-2×2=3$
因此$x-y=2-3=-1$，$x+y=2+3=5$。
【答案】
-1；5
【知识点】
二元一次方程组的解法；代数式求值；整体思想
【点评】
本题既可以通过常规消元法解方程组得到未知数的值再计算，也可以观察系数特征用整体加减的方法快速得出结果，能有效考察学生的运算能力和观察分析能力，灵活运用整体法可大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.9
11.把若干本书分别送给若干名学生，每人4本还余12本，每人再加2本则少10本，那么学生有
11
名，书有56
本。答案
11.11 56
解析
【分析】
这是一道分配类应用题，解题核心是找到题目中的不变量：书的总数量是固定不变的。我们可以先设学生人数为未知数，分别用两种不同的分配方式表示出书的总数量，根据总数量相等列出方程，解方程得到学生人数后，再代入任意一种分配方式就能算出书的总数。
【解析】
解：设学生有$ x $名。
根据书的总数量不变，可列方程：
$ 4x + 12 = (4+2)x - 10 $
化简得：
$ 4x + 12 = 6x - 10 $
移项计算：
$ 6x - 4x = 12 + 10 $
$ 2x = 22 $
解得：$ x = 11 $
再计算书的数量：$ 4×11 + 12 = 44 + 12 = 56 $（本）
【答案】
11；56
【知识点】
一元一次方程的应用；等量关系建立
【点评】
本题是典型的分配类应用题，解题关键是抓住分配过程中不变的量建立等式，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤就能快速解答。
【难度系数】
0.8
这是一道分配类应用题，解题核心是找到题目中的不变量：书的总数量是固定不变的。我们可以先设学生人数为未知数，分别用两种不同的分配方式表示出书的总数量，根据总数量相等列出方程，解方程得到学生人数后，再代入任意一种分配方式就能算出书的总数。
【解析】
解：设学生有$ x $名。
根据书的总数量不变，可列方程：
$ 4x + 12 = (4+2)x - 10 $
化简得：
$ 4x + 12 = 6x - 10 $
移项计算：
$ 6x - 4x = 12 + 10 $
$ 2x = 22 $
解得：$ x = 11 $
再计算书的数量：$ 4×11 + 12 = 44 + 12 = 56 $（本）
【答案】
11；56
【知识点】
一元一次方程的应用；等量关系建立
【点评】
本题是典型的分配类应用题，解题关键是抓住分配过程中不变的量建立等式，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤就能快速解答。
【难度系数】
0.8
12. A,B两人到百货商场购物,A购买3件甲商品和2件乙商品后共支付16元,B购买5件甲商品和3件乙商品后共支付25元,问一件甲商品和一件乙商品的售价分别是多少元.
答案
12.一件甲商品的售价是2元，一件乙商品的售价是5元.
解析
【分析】
这是一道典型的二元一次方程组实际应用题，解题思路分为三步：第一步，设未知数，分别设甲、乙商品的售价为两个未知量；第二步，找等量关系，根据A、B两人的消费总金额分别列出方程，组成方程组；第三步，用七年级学过的加减消元法或者代入消元法解方程组，就能得到两种商品的售价。
【解析】
解：设一件甲商品的售价为$ x $元，一件乙商品的售价为$ y $元。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 16 \quad \mathrm{(1)} \\5x + 3y = 25 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用加减消元法求解：
将式(1)两边同时乘3，得：$ 9x + 6y = 48 \quad \mathrm{(3)} $
将式(2)两边同时乘2，得：$ 10x + 6y = 50 \quad \mathrm{(4)} $
用式(4)减去式(3)，得：$ x = 2 $
把$ x=2 $代入式(1)，得：$ 3×2 + 2y = 16 $
计算得：$ 6 + 2y =16 $，解得$ y=5 $
经检验，$ x=2 $、$ y=5 $符合题意。
【答案】
一件甲商品的售价是2元，一件乙商品的售价是5元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是根据题干给出的消费场景准确提取等量关系列出方程组，熟练掌握消元法解方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的二元一次方程组实际应用题，解题思路分为三步：第一步，设未知数，分别设甲、乙商品的售价为两个未知量；第二步，找等量关系，根据A、B两人的消费总金额分别列出方程，组成方程组；第三步，用七年级学过的加减消元法或者代入消元法解方程组，就能得到两种商品的售价。
【解析】
解：设一件甲商品的售价为$ x $元，一件乙商品的售价为$ y $元。
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 16 \quad \mathrm{(1)} \\5x + 3y = 25 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用加减消元法求解：
将式(1)两边同时乘3，得：$ 9x + 6y = 48 \quad \mathrm{(3)} $
将式(2)两边同时乘2，得：$ 10x + 6y = 50 \quad \mathrm{(4)} $
用式(4)减去式(3)，得：$ x = 2 $
把$ x=2 $代入式(1)，得：$ 3×2 + 2y = 16 $
计算得：$ 6 + 2y =16 $，解得$ y=5 $
经检验，$ x=2 $、$ y=5 $符合题意。
【答案】
一件甲商品的售价是2元，一件乙商品的售价是5元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是根据题干给出的消费场景准确提取等量关系列出方程组，熟练掌握消元法解方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13.如图,有黑、白两种小球各若干个,且同色小球质量均相等.图中两次称量天平都恰好平衡.若每个砝码的质量均为5克,则每个黑球和白球的质量各是多少克?
答案
13.每个黑球3克,每个白球1克.
解析
【分析】
解题时首先利用天平平衡时左右两侧质量相等的原理，提炼出两组等量关系：①1个黑球质量+2个白球质量=1个砝码的质量（5克）；②3个黑球质量+1个白球质量=2个砝码的总质量（10克）。随后我们设黑球、白球的质量分别为未知数，将等量关系转化为二元一次方程组，求解方程组即可得到两种球的质量。
【解析】
设每个黑球的质量为$x$克，每个白球的质量为$y$克。
根据第一次称量天平平衡，列方程：
$x + 2y = 5$ ①
已知每个砝码质量为5克，2个砝码总质量为$2×5=10$克，根据第二次称量天平平衡，列方程：
$3x + y = 10$ ②
使用加减消元法解方程组：
将②式两边同时乘2，得$6x + 2y = 20$ ③
用③式减去①式：
$6x+2y - (x+2y) = 20 - 5$
化简得$5x=15$，解得$x=3$。
将$x=3$代入①式，得$3 + 2y = 5$，解得$y=1$。
【答案】
每个黑球3克，每个白球1克。
【知识点】
二元一次方程组的应用、天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的称量场景，考查实际问题转化为数学方程的能力，解题核心是准确提取等量关系，掌握二元一次方程组的基础解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用天平平衡时左右两侧质量相等的原理，提炼出两组等量关系：①1个黑球质量+2个白球质量=1个砝码的质量（5克）；②3个黑球质量+1个白球质量=2个砝码的总质量（10克）。随后我们设黑球、白球的质量分别为未知数，将等量关系转化为二元一次方程组，求解方程组即可得到两种球的质量。
【解析】
设每个黑球的质量为$x$克，每个白球的质量为$y$克。
根据第一次称量天平平衡，列方程：
$x + 2y = 5$ ①
已知每个砝码质量为5克，2个砝码总质量为$2×5=10$克，根据第二次称量天平平衡，列方程：
$3x + y = 10$ ②
使用加减消元法解方程组：
将②式两边同时乘2，得$6x + 2y = 20$ ③
用③式减去①式：
$6x+2y - (x+2y) = 20 - 5$
化简得$5x=15$，解得$x=3$。
将$x=3$代入①式，得$3 + 2y = 5$，解得$y=1$。
【答案】
每个黑球3克，每个白球1克。
【知识点】
二元一次方程组的应用、天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的称量场景，考查实际问题转化为数学方程的能力，解题核心是准确提取等量关系，掌握二元一次方程组的基础解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
14.王大伯用274元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共40千克到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表：
王大伯当天全部卖完这些西红柿和豆角能赚到多少钱？
王大伯当天全部卖完这些西红柿和豆角能赚到多少钱？
答案
14.69.2元
解析
【分析】
要计算王大伯卖完蔬菜赚的总钱数，首先需要求出他批发的西红柿和豆角各自的重量，再结合零售价和批发价的差值算出每千克的利润，最后用重量乘对应每千克利润求和即可。解题时先设其中一种蔬菜的重量为未知数，根据总批发费用列一元一次方程求出两种蔬菜的进货重量，再分别计算利润相加得到结果。
【解析】
解：设王大伯批发了西红柿$x$千克，则批发的豆角重量为$(40-x)$千克。
根据总批发费用为274元，列方程：
$6.2x + 7.2(40-x) = 274$
展开得：$6.2x + 288 - 7.2x = 274$
移项合并得：$-x = -14$
解得：$x=14$
则豆角的重量为：$40-14=26$（千克）
西红柿每千克利润：$7.8-6.2=1.6$（元），西红柿总利润：$14×1.6=22.4$（元）
豆角每千克利润：$9.0-7.2=1.8$（元），豆角总利润：$26×1.8=46.8$（元）
总利润：$22.4+46.8=69.2$（元）
【答案】
69.2元
【知识点】
一元一次方程的应用、利润问题计算、四则混合运算
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题型，解题核心是通过总批发成本求出两种蔬菜的进货量，再结合售价差计算总盈利，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算王大伯卖完蔬菜赚的总钱数，首先需要求出他批发的西红柿和豆角各自的重量，再结合零售价和批发价的差值算出每千克的利润，最后用重量乘对应每千克利润求和即可。解题时先设其中一种蔬菜的重量为未知数，根据总批发费用列一元一次方程求出两种蔬菜的进货重量，再分别计算利润相加得到结果。
【解析】
解：设王大伯批发了西红柿$x$千克，则批发的豆角重量为$(40-x)$千克。
根据总批发费用为274元，列方程：
$6.2x + 7.2(40-x) = 274$
展开得：$6.2x + 288 - 7.2x = 274$
移项合并得：$-x = -14$
解得：$x=14$
则豆角的重量为：$40-14=26$（千克）
西红柿每千克利润：$7.8-6.2=1.6$（元），西红柿总利润：$14×1.6=22.4$（元）
豆角每千克利润：$9.0-7.2=1.8$（元），豆角总利润：$26×1.8=46.8$（元）
总利润：$22.4+46.8=69.2$（元）
【答案】
69.2元
【知识点】
一元一次方程的应用、利润问题计算、四则混合运算
【点评】
本题是贴近生活的实际应用类题型，解题核心是通过总批发成本求出两种蔬菜的进货量，再结合售价差计算总盈利，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
