三、解答题
12 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”将这些数按由小到大的顺序连接起来.
$+5,-3.5,\frac{1}{2},-1\frac{1}{2},-4,0,2.5.$

12. 如图所示 $-4＜-3.5＜-1\dfrac{1}{2}＜0＜\dfrac{1}{2}＜2.5＜+5$

【分析】
解题时可以采用两种思路：一是利用有理数大小比较的规则直接排序，先将所有数分为负数、0、正数三类，负数根据“绝对值越大，数值越小”的规则比较，正数按照正数大小比较规则比较，再按“负数＜0＜正数”的规律拼接排序；二是利用数轴的性质“数轴上越靠右的数越大”，直接按照数轴上各点从左到右的顺序排列对应数字即可。
【解析】
步骤1：分类整理给出的数
负数：$-4、-3.5、-1\dfrac{1}{2}$；0；正数：$\dfrac{1}{2}、2.5、+5$
步骤2：比较负数的大小
计算各负数的绝对值：$|-4|=4$，$|-3.5|=3.5$，$|-1\dfrac{1}{2}|=1.5$
根据“负数比较大小，绝对值越大的数越小”，可得：$-4＜-3.5＜-1\dfrac{1}{2}$
步骤3：比较正数的大小
$\dfrac{1}{2}=0.5$，根据正数大小比较规则可得：$\dfrac{1}{2}＜2.5＜+5$
步骤4：拼接所有数的排序
按照“负数＜0＜正数”的规则，最终从小到大排序为：$-4＜-3.5＜-1\dfrac{1}{2}＜0＜\dfrac{1}{2}＜2.5＜+5$，对应数轴上的点从左到右依次为上述数字。
【答案】
如图所示 $-4＜-3.5＜-1\dfrac{1}{2}＜0＜\dfrac{1}{2}＜2.5＜+5$

【知识点】
有理数大小比较、数轴的应用
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，既可以通过分类比较的方法计算排序，也可以借助数轴直观得到结果，两种方法可以互相验证，需熟练掌握不同的比较方式。
【难度系数】
0.9

13 计算：
(1) $(-3.9)+(-5.4)+(-1.1)+(+5.4)$；
(2) $15÷(\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{3})$；
(3) $(-\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})÷(-\dfrac{1}{24})$；
(4) $-7÷\dfrac{7}{22}+26×(-\dfrac{22}{7})-2×3\dfrac{1}{7}$。

13. (1) $-5$ (2) $-90$ (3) $12$ (4) $-110$

【分析】
这四道题均为有理数混合运算，解题时优先观察算式特征，巧用运算律简化计算：（1）可通过加法交换律、结合律，将互为相反数、同号的数分别分组计算，降低计算量；（2）按照运算顺序，先计算括号内的分数减法，再将除法转化为乘法计算；（3）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开计算，避免通分的复杂步骤；（4）先将所有乘除运算统一为乘法形式，发现各项均含公因数$\frac{22}{7}$，逆用乘法分配律提取公因数简化计算。
【解析】
(1) 利用加法交换律和结合律分组：
$\begin{aligned}原式&=[(-3.9)+(-1.1)] + [(-5.4)+(+5.4)]\\&=-5 + 0\\&=-5\end{aligned}$
(2) 先算括号内的减法，再算除法：
$\begin{aligned}原式&=15÷(\frac{9}{6}-\frac{10}{6})\\&=15÷(-\frac{1}{6})\\&=15×(-6)\\&=-90\end{aligned}$
(3) 先将除法转化为乘法，再用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}原式&=(-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{12})×(-24)\\&=(-\frac{3}{4})×(-24) + \frac{5}{6}×(-24) + (-\frac{7}{12})×(-24)\\&=18 - 20 + 14\\&=12\end{aligned}$
(4) 统一为乘法形式，逆用乘法分配律计算：
先把带分数化为假分数：$3\dfrac{1}{7}=\frac{22}{7}$，因此：
$\begin{aligned}原式&=-7×\frac{22}{7} + 26×(-\frac{22}{7}) - 2×\frac{22}{7}\\&=\frac{22}{7}×(-7 -26 -2)\\&=\frac{22}{7}×(-35)\\&=-110\end{aligned}$
【答案】
(1) $-5$ (2) $-90$ (3) $12$ (4) $-110$
【知识点】
有理数加减运算、有理数乘除运算、运算律的简便应用
【点评】
本题是有理数混合运算的常规题型，核心考查运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，熟练运用交换律、结合律、分配律可有效简化计算，降低运算出错概率。
【难度系数】
0.75

14 对于有理数 $ a(a ≠ 1) $，我们把 $ \frac{1}{1 - a} $ 称为 $ a $ 的差倒数，如2的差倒数是 $ \frac{1}{1 - 2} = -1 $，-1的差倒数是 $ \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2} $。已知 $ a_1 = -3 $，$ a_2 $ 是 $ a_1 $ 的差倒数，$ a_3 $ 是 $ a_2 $ 的差倒数，$ a_4 $ 是 $ a_3 $ 的差倒数……依此类推，解答下面的问题：
(1) $ a_2 = $ ，$ a_3 = $ ；
(2) 求 $ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{2022} + a_{2023} + a_{2024} + a_{2025} $ 的值。

14. (1) $\dfrac{1}{4}$；$\dfrac{4}{3}$
(2) 因为 $a_1=-3,a_2=\dfrac{1}{1-a_1}=\dfrac{1}{1-(-3)}=\dfrac{1}{4},a_3=\dfrac{1}{1-a_2}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4}{3},a_4=\dfrac{1}{1-a_3}=\dfrac{1}{1-\dfrac{4}{3}}=-3\dots\dots$所以从$a_1$开始每三个数为一个循环,这三个数的和为定值$-\dfrac{17}{12}.$又因为$2\ 025 ÷ 3 = 675,$所以 $a_1 + a_2 + \dots + a_{2025} = 675 × (-\dfrac{17}{12})=-\dfrac{3\ 825}{4}$

【分析】
本题是新定义结合规律探究的题型，解题思路如下：
(1) 首先准确理解“差倒数”的定义：对于$a(a≠1)$，差倒数为$\frac{1}{1-a}$，直接将已知的$a_1$代入公式即可求出$a_2$，再将$a_2$代入公式求出$a_3$；
(2) 求解求和问题时，先依次计算出前几个数，观察发现数列存在固定的循环周期，算出一个周期内三个数的和，再计算2025个数里包含多少个完整周期，用周期数乘单个周期的和即可得到最终结果。
【解析】
(1) 根据差倒数的定义：
已知$a_1=-3$，则$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-3)}=\frac{1}{4}$；
将$a_2=\frac{1}{4}$代入得$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$。
(2) 继续计算$a_4$：$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-\frac{4}{3}}=-3$，可发现$a_4=a_1$，即数列从$a_1$开始每3个数为一个循环周期，周期内的数为$-3,\frac{1}{4},\frac{4}{3}$。
先计算单个周期的和：$a_1+a_2+a_3=-3+\frac{1}{4}+\frac{4}{3}=\frac{-36+3+16}{12}=-\frac{17}{12}$。
再计算周期总数：$2025÷3=675$，即2025个数刚好包含675个完整周期。
因此总和为：$675×(-\frac{17}{12})=-\frac{3825}{4}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}$；$\dfrac{4}{3}$
(2) $-\dfrac{3825}{4}$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题重点考查对新定义规则的理解和应用能力，解题的核心是通过计算前几项归纳出数列的循环规律，将长序列求和转化为多个固定周期和的计算，计算过程中要注意有理数通分、运算符号的准确性。
【难度系数】
0.7