7 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DF ⊥ AB$，垂足为$F$，$DE=DG$，$△ ADG$，$△ AED$的面积分别为50，39，则$△ DEF$的面积为 （）

A.11
B.5.5
C.7
D.3.5
（第7题）

7. B 【解析】如图，在 AC 上截取 $AM=AE$，连接 $DM$，过点 $D$ 作 $DN⊥ AC$ 于点 $N$. 由 $△ AED≌△ AMD(\mathrm{SAS})$，得 $DE=DM$，$S_{△ AED}=S_{△ AMD}=39$，$\therefore S_{△ MDG}=S_{△ ADG}-S_{△ ADM}=50-39=11$. 由 $\mathrm{Rt}△ DMN≌\mathrm{Rt}△ DGN(\mathrm{HL})$，得 $S_{△ DMN}=S_{△ DGN}=5.5$. 由 $△ AFD≌△ AND(\mathrm{AAS})$，得 $S_{△ AFD}=S_{△ AND}$，$\therefore S_{△ AFD}-S_{△ AED}=S_{△ AND}-S_{△ AMD}$，$\therefore S_{△ DEF}=S_{△ DMN}=5.5$.

8 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=20$,$BC=10$,$PQ=AB$,$P$,$Q$两点分别在线段$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AX$上运动,且点$P$不与点$A$,$C$重合.当$CP$的长为时,$Rt△ ABC≌ Rt△ QPA$.

8. 10

9 如图，AD是$△ ABC$的高，$AD=BD$，$BE=AC$，$∠ BAC=70°$，则$∠ DBE$的度数为。

9. $25°$

10 教材P33习题T15变式 如图，$AB=AD$，$CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$，$E$，$F$分别是$BC$，$DC$的中点，连接$AE$，$AF$.求证:$AE=AF$.

10. 连接 $AC$. $\because CB ⊥ AB,CD ⊥ AD,\therefore ∠ B = ∠ D = 90°$，$\therefore △ ABC$ 和 $△ ADC$ 均是直角三角形. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中，$\begin{cases} AC=AC, \\ AB=AD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADC\ (\mathrm{HL})$，$\therefore BC=DC$. $\because E,F$ 分别是 $BC,DC$ 的中点，$\therefore BE=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}DC$，$\therefore BE = DF$. 在 $△ ABE$ 和 $△ ADF$ 中，$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ B=∠ D, \\ BE=DF, \end{cases}$ $\therefore △ ABE≌△ ADF(\mathrm{SAS}),\therefore AE=AF$

11 新考向 探究题 我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法.
（1）如图①，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上.若$CE=BD$，则线段$AE$和线段$AD$之间的数量关系是.
（2）如图②，在$△ ABC$中，$90°＜∠ BAC＜180°$，$AB=AC$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上.若$CE=BD$，则线段$AE$与线段$AD$相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由.

11. （1）$AE=AD$ （2）相等 如图，过点 $C$ 作 $CM⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $M$，过点 $B$ 作 $BN⊥ CA$ 交 $CA$ 的延长线于点 $N$，则 $∠ M = ∠ N = 90°$. 在 $△ CAM$ 和 $△ BAN$ 中，$\begin{cases} ∠ M=∠ N, \\ ∠ CAM=∠ BAN, \\ CA=BA, \end{cases}$ $\therefore △ CAM≌△ BAN(\mathrm{AAS}),\therefore CM=BN$，$AM = AN$. 在 $\mathrm{Rt}△ CME$ 和 $\mathrm{Rt}△ BND$ 中，$\begin{cases} CE=BD, \\ CM=BN, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ CME≌\mathrm{Rt}△ BND(\mathrm{HL}),\therefore EM=DN,\therefore EM-AM=DN-AN$，即 $AE=AD$