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6.$□ ABCD$的对角线AC与BD相交于点O，AC=4，BD=6，则AB的长度可能是 （
A.1
B.3
C.5
D.7
B
）A.1
B.3
C.5
D.7
答案
6.B
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此先求出对角线一半的长度。再观察AB所在的△AOB，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求出AB的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=4，BD=6，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$。
在△AOB中，根据三角形三边关系：
$OB - OA ＜ AB ＜ OA + OB$，
代入数值计算得$3-2 ＜ AB ＜ 3+2$，即$1 ＜ AB ＜ 5$。
结合选项，只有3满足该取值范围，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，将平行四边形的性质与三角形三边关系结合考查，解题的关键是通过平行四边形对角线的性质将已知条件转化到同一个三角形中，再利用三边关系确定未知边的取值范围。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，据此先求出对角线一半的长度。再观察AB所在的△AOB，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求出AB的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=4，BD=6，
∴根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得：
$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3$。
在△AOB中，根据三角形三边关系：
$OB - OA ＜ AB ＜ OA + OB$，
代入数值计算得$3-2 ＜ AB ＜ 3+2$，即$1 ＜ AB ＜ 5$。
结合选项，只有3满足该取值范围，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，将平行四边形的性质与三角形三边关系结合考查，解题的关键是通过平行四边形对角线的性质将已知条件转化到同一个三角形中，再利用三边关系确定未知边的取值范围。
【难度系数】
0.8
7.如图，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O.若$OD=1.5$，$AB=5$，$BC=4$，则$□ ABCD$的面积为
12
. 答案
7.12
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的性质推导相关边长：首先平行四边形对边相等，可得AD的长度；其次平行四边形对角线互相平分，可由OD的长度求出BD的长度。再观察△ABD的三边长，用勾股定理逆定理判断该三角形为直角三角形，得到直角后即可通过三角形面积推导平行四边形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC=4，BD=2OD（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
已知OD=1.5，因此BD=2×1.5=3
在△ABD中，AD=4，BD=3，AB=5
∵ 3²+4²=9+16=25=5²，即BD²+AD²=AB²
∴ 根据勾股定理逆定理，△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，即BD⊥AD
平行四边形ABCD的面积=2×S△ABD
S△ABD=½×AD×BD=½×4×3=6
因此平行四边形ABCD的面积=2×6=12
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，平行四边形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是先通过平行四边形性质求出BD的长度，再利用勾股定理逆定理判断出直角三角形，进而求出面积，能有效考查对基础性质和定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形的性质推导相关边长：首先平行四边形对边相等，可得AD的长度；其次平行四边形对角线互相平分，可由OD的长度求出BD的长度。再观察△ABD的三边长，用勾股定理逆定理判断该三角形为直角三角形，得到直角后即可通过三角形面积推导平行四边形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD=BC=4，BD=2OD（平行四边形对边相等、对角线互相平分）
已知OD=1.5，因此BD=2×1.5=3
在△ABD中，AD=4，BD=3，AB=5
∵ 3²+4²=9+16=25=5²，即BD²+AD²=AB²
∴ 根据勾股定理逆定理，△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，即BD⊥AD
平行四边形ABCD的面积=2×S△ABD
S△ABD=½×AD×BD=½×4×3=6
因此平行四边形ABCD的面积=2×6=12
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，平行四边形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是先通过平行四边形性质求出BD的长度，再利用勾股定理逆定理判断出直角三角形，进而求出面积，能有效考查对基础性质和定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
8.如图，在$□ ABCD$中，点M在边AD上，且$AM=DM$，$CM$，$BA$的延长线相交于点E.
(1)求证：$AE=AB$；
(2)如果BM平分$∠ ABC$，求证：$BM⊥ CE$.
(1)求证：$AE=AB$；
(2)如果BM平分$∠ ABC$，求证：$BM⊥ CE$.
答案
8.证明：(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD.
∴∠E=∠DCM.
在△AEM和△DCM中，
$\begin{cases}∠E=∠DCM,\\∠AME=∠DMC,\\AM=DM,\end{cases}$
∴△AEM≌△DCM(AAS).
∴AE=CD.
∴AE=AB.
(2)
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC.
∴∠CBM=∠AMB.
∴∠ABM=∠AMB.
∴AB=AM.
∵AB=AE,AM=DM，
∴BE=2AB,BC=AD=2AM.
∴BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形.
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,AB=CD.
∴∠E=∠DCM.
在△AEM和△DCM中，
$\begin{cases}∠E=∠DCM,\\∠AME=∠DMC,\\AM=DM,\end{cases}$
∴△AEM≌△DCM(AAS).
∴AE=CD.
∴AE=AB.
(2)
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC.
∴∠CBM=∠AMB.
∴∠ABM=∠AMB.
∴AB=AM.
∵AB=AE,AM=DM，
∴BE=2AB,BC=AD=2AM.
∴BC=BE，
∴△BCE是等腰三角形.
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE.
解析
【分析】
(1) 要证AE=AB，结合平行四边形对边相等的性质可知AB=CD，因此只需证明AE=CD即可。观察图形可得AE、CD分别属于△AEM和△DCM，已知AM=DM，再利用平行四边形对边平行的性质可得一组内错角相等，结合对顶角相等，可通过AAS判定两三角形全等，得到AE=CD，进而证得AE=AB。
(2) 要证BM⊥CE，可通过等腰三角形“三线合一”的性质推导。首先根据角平分线定义和平行四边形对边平行的性质，可得∠ABM=∠AMB，推出AB=AM；结合(1)的结论和AM=DM，可推导得到BC=BE，即△BCE为等腰三角形，再结合BM是∠ABC的角平分线，即可利用三线合一证明BM⊥CE。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠E=∠DCM。
在△AEM和△DCM中，
$\begin{cases}∠E=∠DCM,\\∠AME=∠DMC,\\AM=DM,\end{cases}$
∴△AEM≌△DCM(AAS)，
∴AE=CD，
又
∵AB=CD，
∴AE=AB。
(2)
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM，
由(1)得AE=AB，且已知AM=DM，
∴BE=AB+AE=2AB，BC=AD=AM+DM=2AM=2AB，
∴BC=BE，即△BCE是等腰三角形，
又
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合）。
【答案】
(1) AE=AB得证；
(2) BM⊥CE得证。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形、全等三角形、等腰三角形的相关知识，解题时需学会将待证结论转化为可通过已知性质推导的角、线段关系，逐步推理，有助于提升几何逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AE=AB，结合平行四边形对边相等的性质可知AB=CD，因此只需证明AE=CD即可。观察图形可得AE、CD分别属于△AEM和△DCM，已知AM=DM，再利用平行四边形对边平行的性质可得一组内错角相等，结合对顶角相等，可通过AAS判定两三角形全等，得到AE=CD，进而证得AE=AB。
(2) 要证BM⊥CE，可通过等腰三角形“三线合一”的性质推导。首先根据角平分线定义和平行四边形对边平行的性质，可得∠ABM=∠AMB，推出AB=AM；结合(1)的结论和AM=DM，可推导得到BC=BE，即△BCE为等腰三角形，再结合BM是∠ABC的角平分线，即可利用三线合一证明BM⊥CE。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠E=∠DCM。
在△AEM和△DCM中，
$\begin{cases}∠E=∠DCM,\\∠AME=∠DMC,\\AM=DM,\end{cases}$
∴△AEM≌△DCM(AAS)，
∴AE=CD，
又
∵AB=CD，
∴AE=AB。
(2)
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠ABM=∠AMB，
∴AB=AM，
由(1)得AE=AB，且已知AM=DM，
∴BE=AB+AE=2AB，BC=AD=AM+DM=2AM=2AB，
∴BC=BE，即△BCE是等腰三角形，
又
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合）。
【答案】
(1) AE=AB得证；
(2) BM⊥CE得证。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了平行四边形、全等三角形、等腰三角形的相关知识，解题时需学会将待证结论转化为可通过已知性质推导的角、线段关系，逐步推理，有助于提升几何逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
