6 [2024宜宾]某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间(单位:分钟):65,67,75,65,75,80,75,88,78,80. 对这组数据判断正确的是 ()

A.方差为0
B.众数为75
C.中位数为77.5
D.平均数为75

6.B

【分析】
本题考查常见统计量的判断，解题思路为：首先将已知数据从小到大排序，再依次根据方差、众数、中位数、平均数的定义分别计算对应数值，逐一判断选项正误即可。
【解析】
首先将10名学生的锻炼时间从小到大排序：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88。
逐一分析选项：
A. 方差为0的前提是所有数据完全相同，本组数据存在差异，方差不为0，故A错误；
B. 众数是一组数据中出现次数最多的数，75共出现3次，出现次数最多，因此众数为75，故B正确；
C. 数据共10个，为偶数个，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$\frac{75+75}{2}=75$，不是77.5，故C错误；
D. 平均数为$\frac{65×2+67+75×3+78+80×2+88}{10}=\frac{748}{10}=74.8$，不是75，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
众数的判定；中位数的计算；平均数的计算
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查各基础统计量的定义和计算方法，解题时需注意计算中位数前要先对数据排序，避免直接取原数据中间位置的数导致出错。
【难度系数】
0.8

7 [2025姑苏区二模]某学习小组5名同学的测试成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了15分，老师加回分数后，下列说法正确的是 （）

A.小刚的成绩位于组内中上等水平
B.该小组成绩不存在中位数
C.小组的成绩稳定性增加，方差变小
D.小组平均分增加2分

7.C

【分析】
解题首先需要从统计图中提取5名同学的原始成绩，计算小刚补加分数后的成绩，再结合中位数、方差、平均数的定义和性质逐一判断选项：先对修改前后的成绩排序，判断小刚的排名和中位数是否存在；再根据总分变化计算平均分的涨幅；最后根据数据波动程度的变化判断方差的变化情况。
【解析】
首先提取原始成绩：从统计图可得5名同学的原始成绩为：A:88分、B:80分、小刚:70分、D:92分、E:90分，小刚补加15分后成绩为$70+15=85$分。
对各选项逐一分析：
A. 将加分后的成绩从小到大排序：$80,85,88,90,92$，小刚成绩85分低于中位数88分，属于中等偏下水平，该选项错误；
B. 5个数据排序后第3个数据就是中位数，该组成绩中位数为88分，存在中位数，该选项错误；
C. 方差反映数据的波动程度，原来小刚的70分属于远低于平均分的极端值，加分后85分更接近平均水平，整体数据波动变小，因此方差变小，成绩稳定性增加，该选项正确；
D. 小组总分增加15分，共5名同学，平均分增加$15÷5=3$分，不是2分，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
中位数，方差，平均数
【点评】
本题结合统计图考查统计量的性质，需要准确理解各统计量的含义，其中方差反映数据波动程度的特征是判断的关键，解题时注意结合数据变化的规律分析，不需要复杂计算即可快速判断。
【难度系数】
0.7

8 [2024常州]小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位:m)，此时这组成绩数据的平均数是20，方差是$s_1^2$.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩数据的方差是$s_2^2$，则$s_1^2$ $s_2^2$(填“＞”“＜”或“=”).

8.＞ 【解析】由题意，可得前9次投掷标枪成绩的平均数和10次投掷标枪成绩的平均数相同，均为20 m. $\because$ 第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，$\therefore$ 易得$s_{2}^{2}=\frac{9}{10}s_{1}^{2},\therefore s_{1}^{2}＞s_{2}^{2}$。

【分析】
解题时首先回忆方差的计算公式：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，用于衡量数据的波动大小。第一步先判断加入第10次成绩后平均数是否改变：前9次平均数为20，第10次成绩为20，可计算得10次成绩的平均数仍为20；第二步分别推导两个方差的表达式，对比即可得到大小关系。
【解析】
解：
∵前9次成绩的平均数为20，第10次成绩为20，
∴10次成绩的平均数为$\frac{9×20 + 20}{10}=20$，即两次计算方差的平均数相同。
设前9次成绩与平均数20的差的平方和为$S$，
则$s_1^2=\frac{S}{9}$，即$S=9s_1^2$。
第10次成绩与平均数的差为$20-20=0$，对应差的平方为0，
因此10次成绩的方差$s_2^2=\frac{S + 0}{10}=\frac{9s_1^2}{10}$，
∴$s_1^2 ＞ s_2^2$。
【答案】
＞
【知识点】
方差的计算、平均数的性质
【点评】
本题考查方差的相关计算，解题的关键是明确当新增的数据恰好等于原数据的平均数时，新数据组的平均数不变，且新增数据对方差的贡献为0，由此可快速判断方差的变化情况。
【难度系数】
0.7

9 一组数据2,3,4,x,y的平均数是3,离差平方和是4,则xy的值为。

9.8 【解析】$\because$ 数据2,3,4,x,y的平均数是3，$\therefore \frac{1}{5}×(2+3+4+x+y)=3$，即$x+y=6$①.$\because$ 数据2,3,4,x,y的离差平方和是4，$\therefore [(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(x-3)^2+(y-3)^2]=4$，即$(x-3)^2+(y-3)^2=2$②. 由①$^2-$②，得$2xy+6(x+y)-18=34$，即$2xy+6×6-18=34$，解得$xy=8$。

【分析】
解题时首先从已知的平均数条件入手，根据平均数的计算公式先求出x与y的和；再结合离差平方和的定义，列出关于x、y的第二个关系式；最后利用完全平方公式对两个关系式进行变形，消去x²和y²项，即可求出xy的值。
【解析】
$\because$ 数据2,3,4,x,y的平均数是3，
$\therefore \frac{2+3+4+x+y}{5}=3$，
整理得$x+y=6$ ①。
$\because$ 这组数据的离差平方和是4，即每个数据与平均数的差的平方和为4，
$\therefore (2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(x-3)^2+(y-3)^2=4$，
计算已知项的平方和：$(-1)^2+0^2+1^2=2$，
代入得$2+(x-3)^2+(y-3)^2=4$，
整理得$(x-3)^2+(y-3)^2=2$ ②。
将②式展开：$x^2-6x+9+y^2-6y+9=2$，
即$x^2+y^2-6(x+y)+18=2$，
把①式$x+y=6$代入上式，得：
$x^2+y^2-6×6+18=2$，
解得$x^2+y^2=20$。
将①式两边平方得：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=36$，
把$x^2+y^2=20$代入得：$20+2xy=36$，
解得$xy=8$。
【答案】
8
【知识点】
平均数的计算，离差平方和，完全平方公式
【点评】
本题是统计概念与代数变形相结合的基础题型，重点考查对平均数、离差平方和概念的理解，以及完全平方公式的灵活运用，解题的核心是根据已知条件建立关于x、y的关系式，再通过整式变形求出目标值。
【难度系数】
0.7

10 某校九年级(1)班甲、乙两名同学在5次引体向上测试中的有效次数如下：
甲:8,8,7,8,9;乙:5,9,7,10,9.
甲、乙两名同学引体向上有效次数的平均数、众数、中位数、方差如下：

根据以上信息,回答下列问题:
(1) 表格中,$a=$,$b=$,$c=$.
(2) 体育老师根据这5次的成绩,决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛,选择甲的理由是.班主任李老师根据去年比赛的成绩(至少9次才能获奖),决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛,选择乙的理由是.
(3) 如果乙同学再做一次引体向上,有效次数为8,那么乙同学6次引体向上成绩的平均数,中位数,方差(填“变大”“变小”或“不变”).

10. (1) 8 8 9 (2) 甲的方差较小,比较稳定 乙的中位数是9,众数是9,引体向上达到9次及以上的次数较多 (3) 不变 变小 变小

【分析】
解题思路如下：
(1) 分别根据对应统计量的定义计算：平均数为所有数据之和除以数据个数；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数需先将数据从小到大排序，奇数个数据取中间位置的数，偶数个取中间两个数的平均值。
(2) 结合统计量的意义分析选人的理由：方差越小说明成绩波动越小、越稳定；中位数、众数反映数据的集中趋势，可判断高分出现的频率。
(3) 加入新数据后，结合统计量的性质判断变化：加入等于原平均数的数据时平均数不变；排序后观察中间位置数值的变化判断中位数；新增数据接近平均数会降低数据波动程度，方差变小。
【解析】
(1) 计算各值：
① 乙的平均数$a=\frac{5+9+7+10+9}{5}=\frac{40}{5}=8$；
② 甲的成绩为8,8,7,8,9，其中8出现次数最多，故众数$b=8$；
③ 将乙的成绩从小到大排序为：5,7,9,9,10，共5个数据，第3个为中位数，故$c=9$。
(2) 选甲的理由：甲的方差为0.4，远小于乙的方差3.2，说明甲的成绩更稳定；
选乙的理由：乙的众数和中位数都是9，5次成绩中有3次达到9次及以上，达到获奖标准的次数更多，获奖概率更大。
(3) 乙新增1次成绩8后：
① 6次成绩的平均数为$\frac{40+8}{6}=8$，和原平均数相等，故平均数不变；
② 将6次成绩从小到大排序为：5,7,8,9,9,10，中位数为$\frac{8+9}{2}=8.5$，比原中位数9小，故中位数变小；
③ 新增成绩等于平均数，数据的波动程度减小，故方差变小。
【答案】
(1) 8；8；9
(2) 甲的方差较小，成绩比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，引体向上达到9次及以上的次数较多
(3) 不变；变小；变小
【知识点】
统计量计算；方差的意义；统计量应用
【点评】
本题考查统计相关基础知识点，需要熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的计算方法和实际意义，能结合不同场景选择合适的统计量分析数据特征，属于统计模块的常规题型。
【难度系数】
0.7

11 已知一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差是$s^2$，则一组新数据$ax_1+3,ax_2+3,\dots,ax_n+3$（$a$为常数，$a≠0$）的方差是（用含$a,s^2$的代数式表示）。

11.$a^2s^2$

【分析】
解题思路可分为两步：第一步先回忆方差的定义，即方差是一组数据中各数据与它们平均数的差的平方的平均数，反映数据的离散程度；第二步先设原数据的平均数，再推导新数据的平均数，最后代入方差公式计算即可。另外也可以结合方差的性质思考：给一组数据的每一个数都加上同一个常数，数据的离散程度不变，因此方差不变；给每一个数都乘以同一个非零常数a，方差变为原来的$a^2$倍，结合两个规律可直接得出结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，根据方差的定义，原数据的方差满足：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
先计算新数据的平均数$\overline{x}'$：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(ax_1+3)+(ax_2+3)+\dots+(ax_n+3)]$
$=\frac{1}{n}[a(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n]$
$=a·\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+3=a\overline{x}+3$
再计算新数据的方差$s'^2$：
$s'^2=\frac{1}{n}[(ax_1+3-\overline{x}')^2+(ax_2+3-\overline{x}')^2+\dots+(ax_n+3-\overline{x}')^2]$
将$\overline{x}'=a\overline{x}+3$代入上式，化简每一项的底数：
$ax_i+3-\overline{x}'=ax_i+3-(a\overline{x}+3)=a(x_i-\overline{x})$
因此：
$s'^2=\frac{1}{n}\{[a(x_1-\overline{x})]^2+[a(x_2-\overline{x})]^2+\dots+[a(x_n-\overline{x})]^2\}$
$=\frac{1}{n}[a^2(x_1-\overline{x})^2+a^2(x_2-\overline{x})^2+\dots+a^2(x_n-\overline{x})^2]$
$=a^2·\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
$=a^2s^2$
【答案】
$a^2s^2$
【知识点】
1. 方差的定义
2. 方差的性质
【点评】
本题既可以通过方差的定义逐步推导得出结果，也可以直接利用方差的变化规律快速解题，熟练掌握方差反映数据离散程度的本质，就能轻松判断数据变换后方差的变化情况。
【难度系数】
0.8